L’insieme dei Naturali
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Indice degli argomenti
I numeri
I naturali: definizioni
Operazioni nei naturali
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I Numeri
In tutte le culture antiche troviamo
traccia della conoscenza dei numeri,
di forme di rappresentazione
e di manipolazione
dei numeri interi.
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Egiziani
Pur essendo gli inventori della geometria, gli Egiziani
non tenevano in gran conto l’aritmetica; non la
consideravano più di uno strumento per registrare il
passaggio dei giorni e per la manutenzione degli
appezzamenti di terreno
Per rappresentare i numeri si usava una scrittura geroglifica
1
10
100
1000
10000
(Bastoncino)
(Arco)
(Laccio)
(Fior di loto)
(Dito piegato)
⌒
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Babilonesi
Il sistema babilonese è stato il più evoluto del mondo
antico: un “sistema posizionale” a base 60 in cui
venivano usati solamente due segni cuneiformi
(⋎ per le unità, ≺ per le decine)
e il medesimo simbolo per rappresentare quantità diverse
Le «cifre» elementari erano costituite da sequenze di
codesti simboli raggruppati a formare additivamente
valori fino a 59
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Greci
L'atteggiamento dei Greci nei confronti
dell’aritmetica era completamente diverso da
quello egiziano:
per essi numeri e filosofia erano inseparabili,
e degni entrambi di essere presi molto sul serio.
La filosofia di Pitagora ruotava attorno a un dogma
fondamentale
tutto è numero
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Gli assiomi di Peano
Dobbiamo all'opera di un grande matematico e logico italiano di fine
Ottocento, Giuseppe Peano (1858-1932) la formulazione di un
insieme di proposizioni che esprimono quelle che intuiamo come le
caratteristiche intrinseche dei numeri naturali e delle modalità con cui
noi li operiamo
il numero stesso, del quale perciò non si dà nessuna
descrizione;
un oggetto numerico particolare chiamato zero (che indichiamo
con il consueto simbolo 0);
una funzione che, a partire dallo zero, genera tutti i numeri, la
funzione: "successivo di"
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L'insieme dei numeri naturali, indicato col simbolo N, è poi caratterizzato da cinque
proposizioni che definiscono implicitamente i tre enti-primitivi, dandone le
reciproche relazioni
0 è un numero
Se a è un numero, il successivo di a è un numero
0 non è il successivo di alcun numero
Due numeri i cui successivi siano uguali, sono uguali
Se un insieme S di numeri è tale che:
1. S contiene 0
2. per ogni a di S, il successivo di a appartiene anch'esso a S
allora ogni numero è contenuto in S.
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Linsieme dei Numeri Naturali
I numeri naturali sono tutti gli interi positivi, compreso lo 0.
L’insieme dei numeri naturali, che si indica con N, è limitato
inferiormente (dallo 0) ma non ha un limite superiore (i
numeri naturali sono infiniti).
N è anche un insieme ordinato, infatti i numeri sono posti in
ordine crescente (crescono man mano).
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,………., }
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Le operazioni nell’insieme N
Le operazioni definite nell’insieme N sono:
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Elevamento a potenza
Un’operazione si dice INTERNA ad un insieme se il risultato
.
dell’operazione è ancora un valore dell’insieme
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Proprietà dell’addizione
Addizione: si dice somma di due numeri naturali quel numero che si
ottiene contando di seguito ad un numero tante unità quante l’altro
numero. I due numeri si dicono addendi e l’addizione si indica con +
Proprietà dell’addizione:
Commutativa: invertendo l’ordine degli addendi, il risultato non cambia
es. 8 + 2 = 2 + 8 = 10
Associativa: se raggruppo gli addendi in modi diversi, il risultato non
cambia es. (3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5) = 10
Esistenza dell’elemento neutro (lo zero): aggiungendo lo zero ad un
numero, il numero resta invariato. Es. 6 + 0 = 0 + 6 = 6
L’addizione è un’operazione interna all’insieme N.
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Proprietà della sottrazione
Sottrazione: si dice differenza tra due numeri naturali, il primo detto
minuendo e il secondo sottraendo, quel numero che si ottiene
togliendo dal minuendo il sottraendo. La sottrazione si indica con il
simbolo -
Proprietà della sottrazione:
Invariantiva: sottraendo o aggiungendo ad entrambi i termini la stessa
quantità, il risultato non cambia:
es. 3 - 2 = 1 = (3+4) – (2+4)
aggiungo 4 ad entrambi
La sottrazione non ha altre proprietà (provate e vedrete che le proprietà
valide per l’addizione non sono applicabili alla sottrazione).
La sottrazione NON è un’operazione interna all’insieme N. Infatti se
il minuendo è più piccolo del sottraendo, il risultato è negativo ed i
numeri negativi non appartengono all’insieme N.
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Proprietà della moltiplicazione
Moltiplicazione: si dice prodotto tra due numeri naturali quel numero che si
ottiene addizionando tanti addendi uguali al primo numero quante sono le unità
del secondo. La indicheremo con il simbolo * per non confonderla con il prodotto
cartesiano tra due insiemi. Es. 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6
Proprietà della moltiplicazione:
commutativa: come per l’addizione 3 * 2 = 2 * 3 = 6
associativa: come per l’addizione (3 * 2) * 5 = 3 * (2 * 5) = 30
esistenza dell’elemento neutro (il numero 1): 1 * 3 = 3 * 1 = 3
distributiva rispetto alla somma e alla sottrazione, infatti:
3 * (2 + 5) = (3 * 2) + (3 * 5) = 21
3 * (5 - 2) = (3 * 5) - (3 * 2) = 9
esistenza di un elemento detto assorbente (lo zero), perché “assorbe”
qualunque altro numero, infatti: 0 * 3 = 3 * 0 = 0 (il risultato della moltiplicazione
di qualunque numero per 0 ha sempre 0 come risultato)
(legge di annullamento del prodotto: se uno dei due fattori è 0, il risultato è 0)
La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N.
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Proprietà della divisione
Divisione: si dice quoziente tra due numeri naturali detti il primo dividendo e il
secondo divisore, quel numero che moltiplicato per il divisore, fornisce come
risultato il dividendo, cioè dividendo : divisore = quoziente.
Si indica con ilsimbolo :
Proprietà della divisione:
Nell’insieme dei naturali la divisione non è possibile in due casi:
Quando il divisore è 0: si dice impossibile
Quando non esiste un numero intero come risultato: 9 : 2 non dà un
numero intero, allora si dice che 9: 2 = 4 col resto di 1
La divisione 0:0 si dice indeterminata.
Proprietà della divisione:
invariantiva: come per la sottrazione 4 : 2 = (4*2) : (2*2) = 2
“In una divisione, se si moltiplica o divide per uno stesso numero, diverso da zero, sia il dividendo che il
divisore, il quoziente non cambia.
Con i limiti scritti sopra, la divisione è un’operazione interna all’insieme N.
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Le Potenze
Esponente
25
Base
Se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori
quanti vengono indicati dall’esponente, tutti uguali alla base
25=2x2x2x2x2=32
Elevando a 0 un numero naturale diverso da o si ottiene 1, n0=1 con n≠0
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Le proprietà delle potenze
Le proprietà delle
potenze ci aiutano a
eseguire i calcoli più
facilmente.
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Il prodotto di potenze con la stessa base.
Il prodotto di due o più potenze con la stessa
base è una potenza che ha per
base la
stessa base e come esponente la somma degli
esponenti.
Esempio 42 x 45 = 4 2+5 = 47
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Il quoziente di potenze con la stessa base.
Il quoziente di due o più potenze con la stessa base è
una potenza che ha per base la stessa base e come
esponente la differenza degli esponenti.
Esempio 46 : 42 = 44
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Potenza di potenza
La potenza di potenza è una
potenza che ha per base la
stessa base e per esponente
il prodotto degli esponenti.
Esempio (53)2 = 56
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Il prodotto di potenze con lo stesso esponente...
Il prodotto di due o più potenze con lo stesso
esponente... è una potenza che ha per base il
prodotto delle basi e come esponente lo stesso
esponente.
Esempio 42 x 32 = 122
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Le potenze : Curiosità
Perché 30 fa 1?
Perché corrisponde al quoziente
di 2 numeri uguali .
Es : 32: 32= 30=1
9 : 9= 1
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