Matematica Discreta I - Matematica e Informatica

Matematica Discreta I
Lezione del giorno 29 ottobre 2007
Anche per calcolare il determinante delle matrici 3x3 esiste una regola pratica (detta di Sarrus): si
ricopiano le prime due righe sotto la terza e si prendono i 6 prodotti nelle diagonali (quelle che
contengono 3 termini ciascuna), con il loro segno quelli lungo le diagonali \ da sinistra in alto verso
destra in basso, e con il segno opposto quelli lungo le altre diagonali / :
 a 11

M=  a 21
a
 31
a11
a21
a 12
a 22
a 32
a12
a22
a 13 

a 23 
a 33 
a13
a23
Per le matrici nxn con n>3, può essere complicato calcolare il determinante usando la semplice
definizione (per esempio in una matrice 4x4 vi sono 4!=24 prodotti da sommare), quindi si usa un
metodo di calcolo detto metodo di Laplace, che si basa sui concetti di minore complementare e di
complemento algebrico.
Sia M una matrice nxn (quadrata) e si fissi un elemento aij nella matrice : l’elemento si trova dunque
nella riga i e nella colonna j.
Si definisce minore complementare dell’elemento aij il determinante della matrice quadrata
ottenuta cancellando, nella matrice data, la riga i e la colonna j (quindi è il determinante di una
matrice (n-1)x(n-1)) .
Esempio. Nella seguente matrice 3x3:
 a 11

M =  a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13 

a 23 
a 33 
il minore complementare dell’elemento a23 è il determinante della matrice 2x2 ottenuta cancellando
la riga 2 e la colonna 3, quindi è il seguente determinante:
a 12 
a
 = a11a32 – a12a31
det 11
a
a
32 
 31
Si definisce invece complemento algebrico dell’elemento aij il minore complementare
dell’elemento aij moltiplicato per (-1)i+j : quindi, in pratica, se i+j è pari il complemento algebrico
coincide con il minore complementare, mentre se i+j è dispari il complemento algebrico coincide
con l’opposto del minore complementare.
Nell’esempio precedente, essendo i+j=2+3=5 dispari, il minore complementare dell’elemento a23 è
l’opposto del minore complementare:
- (a11a32 – a12a31) = - a11a32 + a12a31 .
Esponiamo ora il metodo di Laplace per il calcolo del determinante (metodo di cui non esporremo
la dimostrazione): data una matrice quadrata nxn, il suo determinante si può ottenere fissando a
piacere una riga o una colonna e sommando tutti i prodotti degli elementi della riga (o della
colonna) moltiplicati per i loro complementi algebrici. Si parla di sviluppo di Laplace secondo
una riga (o secondo una colonna).
Poiché i complementi algebrici sono determinanti di matrici con 1 riga e 1 colonna in meno, il
calcolo del determinante viene ricondotto a matrici con un numero sempre più piccolo di righe e
colonne, fino a pervenire a matrici 3x3, a cui si può applicare la regola pratica di Sarrus.
E’ ovvio che, da un punto di vista strategico, conviene fissare una riga o una colonna con molti
elementi nulli, perché il loro prodotto con i rispettivi complementi algebrici sarà 0.
Esempio: calcoliamo il determinante della seguente matrice 4x4:
1

1
M= 
2

 1

3
0
0
2
2 3

3  1
1 2

1 1 
Fissata la seconda colonna (che contiene 2 zeri) basta sommare i prodotti degli elementi non nulli
della colonna (che sono i numeri 3 e 2) per i loro complementi algebrici.
Si ottiene il seguente calcolo:
 1 3  1
1 2 3 




det(M) = -3∙det  2 1 2  +2∙det  1 3 - 1
 1 1 1 
2 1 2 




Il calcolo si può completare applicando la regola di Sarrus alle 2 matrici 3x3.
Aritmetica dei numeri naturali.
Dell’insieme dei numeri naturali N supporremo note le seguenti proprietà:
1) La definizione delle operazioni di somma a+b e prodotto ab fra 2 generici numeri naturali a,b,
con le relative proprietà:
a) Proprietà associativa: per ogni a,b,cN si ha (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)
b) Proprietà commutativa: per ogni a,bN si ha a+b=b+a, ab=ba
c) Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto: per ogni a,b,cN si ha a(b+c)=ab+ac
2) L’ordinamento dei numeri naturali cioè il significato di a<b per 2 generici numeri naturali a,b,
con le relative proprietà:
a) per ogni a,b,cN se a<b si ha (ac)<(bc) e (a+c)<(b+c)
b) per ogni a,b,c,dN se a<b e se c<d si ha (a+c)<(b+d) e (ac)<(bc)
Scriveremo ab per indicare che a<b oppure a=b.
A queste proprietà aggiungeremo il cosiddetto Assioma del minimo (o Assioma del buon
ordinamento dei naturali):
3) In ogni sottoinsieme non vuoto S di N esiste sempre un numero minimo, cioè esiste un sS tale
che sia abbia sx per ogni xS.
Convenzione: Estenderemo il concetti di “somma” e di “prodotto” anche al caso di 1 solo addendo
o 1 solo fattore, nel quale caso il risultato dell’operazione sarà coincidente per convenzione con
l’unico addendo o fattore.
Principio di induzione
Supponiamo di avere un predicato P(n) nella variabile n, variabile che assume valori nell’insieme N
dei numeri naturali. Se volessimo dimostrare che P(n) è vero per ogni valore della variabile n, non
potremmo procedere con una verifica per tutti i valori di n, che sono infiniti.
Possiamo però usare il seguente risultato, detto Principio di induzione:
Teorema. Sia P(n) un predicato nella variabile n, che assume valori in N.
Se sono vere le due seguenti ipotesi:
a) P(1) è vero
b) Ogni volta che P(n) è vero, per un certo valore n della variabile, allora è anche vero P(k+1)
allora P(n) è vero per tutti i valori della variabile n.
Dimostrazione :
Per assurdo supponiamo vere le ipotesi a),b) e falsa la tesi (quindi supponiamo che vi sia qualche
valore della variabile n che rende falso P(n)).
Costruiamo l’insieme (non vuoto) contenente tutti i numeri naturali che rendono falso P(n):
S = { nN / P(n) è falso }
Per l’Assioma del minimo, esiste un sS minimo in S: quindi s è un numero naturale e inoltre P(s) è
falso.
Per l’ipotesi a), certamente s1, quindi s>1 ed s-1>0. Allora (s-1) è un numero naturale , e poiché
(s-1)<s (ed s è il minimo in S) si ha (s-1)S, ossia P(s-1) è vero. Per l’ipotesi b), sarà vero anche
P((s-1)+1)=P(s), contraddizione.
Esempio.
Dimostriamo che per ogni naturale n, la somma dei primi n numeri naturali consecutivi è =n(n+1)/2.
Si tratta di applicare il principio di induzione al predicato:
P(n)=”la somma dei primi n naturali consecutivi è =n(n+1)/2”.
Basta verificare le ipotesi a),b) del principio di induzione:
a) P(1) è vero, perché la somma del primo naturale è 1 (vedere convenzione precedente) ed
1=1(1+1)/2.
b) Se supponiamo vero P(n)=”la somma dei primi n naturali consecutivi è =n(n+1)/2”, dimostriamo
che è vero anche P(n+1)=”la somma dei primi (n+1) naturali consecutivi è =(n+1)(n+2)/2” .
Ma la la somma dei primi (n+1) naturali consecutivi si ottiene sommando la la somma dei primi n
naturali consecutivi (che per ipotesi è n(n+1)/2)) con il naturale (n+1), ottenendo:
n(n+1)/2+(n+1)=[n(n+1)+2(n+1)]/2=(n+1)(n+2)/2, come si voleva.