Matematica Discreta I Lezione del giorno 29 ottobre 2007 Anche per calcolare il determinante delle matrici 3x3 esiste una regola pratica (detta di Sarrus): si ricopiano le prime due righe sotto la terza e si prendono i 6 prodotti nelle diagonali (quelle che contengono 3 termini ciascuna), con il loro segno quelli lungo le diagonali \ da sinistra in alto verso destra in basso, e con il segno opposto quelli lungo le altre diagonali / : a 11 M= a 21 a 31 a11 a21 a 12 a 22 a 32 a12 a22 a 13 a 23 a 33 a13 a23 Per le matrici nxn con n>3, può essere complicato calcolare il determinante usando la semplice definizione (per esempio in una matrice 4x4 vi sono 4!=24 prodotti da sommare), quindi si usa un metodo di calcolo detto metodo di Laplace, che si basa sui concetti di minore complementare e di complemento algebrico. Sia M una matrice nxn (quadrata) e si fissi un elemento aij nella matrice : l’elemento si trova dunque nella riga i e nella colonna j. Si definisce minore complementare dell’elemento aij il determinante della matrice quadrata ottenuta cancellando, nella matrice data, la riga i e la colonna j (quindi è il determinante di una matrice (n-1)x(n-1)) . Esempio. Nella seguente matrice 3x3: a 11 M = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 il minore complementare dell’elemento a23 è il determinante della matrice 2x2 ottenuta cancellando la riga 2 e la colonna 3, quindi è il seguente determinante: a 12 a = a11a32 – a12a31 det 11 a a 32 31 Si definisce invece complemento algebrico dell’elemento aij il minore complementare dell’elemento aij moltiplicato per (-1)i+j : quindi, in pratica, se i+j è pari il complemento algebrico coincide con il minore complementare, mentre se i+j è dispari il complemento algebrico coincide con l’opposto del minore complementare. Nell’esempio precedente, essendo i+j=2+3=5 dispari, il minore complementare dell’elemento a23 è l’opposto del minore complementare: - (a11a32 – a12a31) = - a11a32 + a12a31 . Esponiamo ora il metodo di Laplace per il calcolo del determinante (metodo di cui non esporremo la dimostrazione): data una matrice quadrata nxn, il suo determinante si può ottenere fissando a piacere una riga o una colonna e sommando tutti i prodotti degli elementi della riga (o della colonna) moltiplicati per i loro complementi algebrici. Si parla di sviluppo di Laplace secondo una riga (o secondo una colonna). Poiché i complementi algebrici sono determinanti di matrici con 1 riga e 1 colonna in meno, il calcolo del determinante viene ricondotto a matrici con un numero sempre più piccolo di righe e colonne, fino a pervenire a matrici 3x3, a cui si può applicare la regola pratica di Sarrus. E’ ovvio che, da un punto di vista strategico, conviene fissare una riga o una colonna con molti elementi nulli, perché il loro prodotto con i rispettivi complementi algebrici sarà 0. Esempio: calcoliamo il determinante della seguente matrice 4x4: 1 1 M= 2 1 3 0 0 2 2 3 3 1 1 2 1 1 Fissata la seconda colonna (che contiene 2 zeri) basta sommare i prodotti degli elementi non nulli della colonna (che sono i numeri 3 e 2) per i loro complementi algebrici. Si ottiene il seguente calcolo: 1 3 1 1 2 3 det(M) = -3∙det 2 1 2 +2∙det 1 3 - 1 1 1 1 2 1 2 Il calcolo si può completare applicando la regola di Sarrus alle 2 matrici 3x3. Aritmetica dei numeri naturali. Dell’insieme dei numeri naturali N supporremo note le seguenti proprietà: 1) La definizione delle operazioni di somma a+b e prodotto ab fra 2 generici numeri naturali a,b, con le relative proprietà: a) Proprietà associativa: per ogni a,b,cN si ha (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) b) Proprietà commutativa: per ogni a,bN si ha a+b=b+a, ab=ba c) Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto: per ogni a,b,cN si ha a(b+c)=ab+ac 2) L’ordinamento dei numeri naturali cioè il significato di a<b per 2 generici numeri naturali a,b, con le relative proprietà: a) per ogni a,b,cN se a<b si ha (ac)<(bc) e (a+c)<(b+c) b) per ogni a,b,c,dN se a<b e se c<d si ha (a+c)<(b+d) e (ac)<(bc) Scriveremo ab per indicare che a<b oppure a=b. A queste proprietà aggiungeremo il cosiddetto Assioma del minimo (o Assioma del buon ordinamento dei naturali): 3) In ogni sottoinsieme non vuoto S di N esiste sempre un numero minimo, cioè esiste un sS tale che sia abbia sx per ogni xS. Convenzione: Estenderemo il concetti di “somma” e di “prodotto” anche al caso di 1 solo addendo o 1 solo fattore, nel quale caso il risultato dell’operazione sarà coincidente per convenzione con l’unico addendo o fattore. Principio di induzione Supponiamo di avere un predicato P(n) nella variabile n, variabile che assume valori nell’insieme N dei numeri naturali. Se volessimo dimostrare che P(n) è vero per ogni valore della variabile n, non potremmo procedere con una verifica per tutti i valori di n, che sono infiniti. Possiamo però usare il seguente risultato, detto Principio di induzione: Teorema. Sia P(n) un predicato nella variabile n, che assume valori in N. Se sono vere le due seguenti ipotesi: a) P(1) è vero b) Ogni volta che P(n) è vero, per un certo valore n della variabile, allora è anche vero P(k+1) allora P(n) è vero per tutti i valori della variabile n. Dimostrazione : Per assurdo supponiamo vere le ipotesi a),b) e falsa la tesi (quindi supponiamo che vi sia qualche valore della variabile n che rende falso P(n)). Costruiamo l’insieme (non vuoto) contenente tutti i numeri naturali che rendono falso P(n): S = { nN / P(n) è falso } Per l’Assioma del minimo, esiste un sS minimo in S: quindi s è un numero naturale e inoltre P(s) è falso. Per l’ipotesi a), certamente s1, quindi s>1 ed s-1>0. Allora (s-1) è un numero naturale , e poiché (s-1)<s (ed s è il minimo in S) si ha (s-1)S, ossia P(s-1) è vero. Per l’ipotesi b), sarà vero anche P((s-1)+1)=P(s), contraddizione. Esempio. Dimostriamo che per ogni naturale n, la somma dei primi n numeri naturali consecutivi è =n(n+1)/2. Si tratta di applicare il principio di induzione al predicato: P(n)=”la somma dei primi n naturali consecutivi è =n(n+1)/2”. Basta verificare le ipotesi a),b) del principio di induzione: a) P(1) è vero, perché la somma del primo naturale è 1 (vedere convenzione precedente) ed 1=1(1+1)/2. b) Se supponiamo vero P(n)=”la somma dei primi n naturali consecutivi è =n(n+1)/2”, dimostriamo che è vero anche P(n+1)=”la somma dei primi (n+1) naturali consecutivi è =(n+1)(n+2)/2” . Ma la la somma dei primi (n+1) naturali consecutivi si ottiene sommando la la somma dei primi n naturali consecutivi (che per ipotesi è n(n+1)/2)) con il naturale (n+1), ottenendo: n(n+1)/2+(n+1)=[n(n+1)+2(n+1)]/2=(n+1)(n+2)/2, come si voleva.