P 2 - Dmi Unipg

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L’idea di “Scienza” e di
“scienziato” che la
maggior parte delle
persone ha in testa è
probabilmente questa
In questa accezione, la percezione del matematico come
scienziato e la legittimità della collocazione della matematica tra le Scienze risulta difficile da cogliere perfino
dagli altri scienziati, fisici, chimici etc.
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In effetti spesso anche gli addetti ai lavori non
sanno spiegare perché anche la Matematica è
una Scienza, al di là di fumosi riconoscimenti
che essa è “la base di tutto” ovvero “serve”…
argomentazioni che varrebbero parimenti per la
scrittura, la stampa, etc.
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Un matematico che si accinge a dimostrare un’affermazione
non fa altro che applicare il metodo scientifico di Galileo
La prova della correttezza di un’ipotesi formulata,
che nelle scienze sperimentali si fa attraverso gli
esperimenti, in Matematica giunge attraverso la
DIMOSTRAZIONE.
La DIMOSTRAZIONE è l’esperimento del Matematico.
“Un matematico è una macchina che trasforma il caffè
in teoremi”. Paul Erdos
Fino a quando non é corredata
da una dimostrazione
un’affermazione matematica é
UNA CONGETTURA
Congettura dei
primi gemelli
Congetture
di Goldbach
Ultimo Teorema
di Fermat
Congettura dei primi gemelli
3-5
5-7
11-13
17-19
29-31
41-43
Esistono infiniti numeri primi p
tale che anche p + 2 sia un numero primo.
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Congettura forte di Goldbach
Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto
come somma di tre numeri primi.
Congettura debole di Goldbach
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto
come somma di due numeri primi
Per esempio,
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
L’ultimo Teorema di Fermat
Non esistono soluzioni intere positive all'equazione:
an + bn = cn
se n > 2.
n =2 terne pitagoriche
Esempi: ( 3, 4, 5); ( 5, 12, 13); ( 7, 24, 25); ( 8, 15, 17);
( 9, 40, 41) ….
La struttura di un enunciato matematico é sempre
rappresentabile come
P1  P2
ipotesi
tesi
A = { elementi che soddisfano P1}
A
B = { elementi che soddisfano P2}
B
Il ruolo del controesempio é
analogo a quello della dimostrazione
Quello che interessa al matematico
é stabilire se un’affermazione é vera o falsa
Vera
Falsa
dimostrazione
controesempio
ESEMPIO
A = { elementi che soddisfano P1}
B = { elementi che soddisfano P2}
A
x
B
Il punto x é un controesempio
per l’affermazione
P2  P1
La quale é quindi
FALSA
perché esiste il
controesempio x
Cosa dimostra la presenza
del punto x?
1) Che P1  P2 ma P2  P1
2) Che P2  P1 ma P1  P2
3) Che P2  P1
4) Che le affermazioni P1 e P2
non sono confrontabili
A = { elementi che soddisfano P1}
B = { elementi che soddisfano P2}
x
B
z
A
y
Quale degli elementi é un controesempio all’affermazione
P1  P2?
1) x
2) y
3)z
4) Tutti e tre
A = { elementi che soddisfano P1}
B = { elementi che soddisfano P2}
x
B
z
A
y
L’esistenza di z prova che
1) P1  P2 ma P2  P1
2) P2  P1 ma P1  P2
3) P1  P2
4) Non prova nessuna implicazione
P1 = insegnante in questa stanza
P2 = portatori di occhiali
P1  P2
“Tutte le insegnanti in questa stanza portano gli occhiali”
A = { elementi che soddisfano P1} = { Borghetti, Buzzi,
Cinti, Maccaglia, Martellotti, Venturi}
B = { elementi che soddisfano P2} =
E viceversa?
P1 = insegnante in questa stanza
P2 = portatori di occhiali
P2  P1
A = { elementi che soddisfano P1} = { Borghetti, Buzzi,
Cinti, Maccaglia, Martellotti, Venturi}
B = { elementi che soddisfano P2} =
“Tutti i portatori di occhiali sono insegnanti e si trovano
in questa stanza”
Riassumendo
L’esempio … dimostra che
1) Che P1  P2 ma P2  P1
Quale tra i seguenti é un controesempio alla (o al viceversa della)
affermazione
P1  P2?
2) Che P2  P1 ma P1  P2
3) Che P2  P1
4) Che le affermazioni P1 e P2 non
sono confrontabili
oppure
4 bis ) non prova nessuna implicazione
….
1)
2)
3)
4)
Esempio A
Esempio B
Esempio C
Esempio D
oppure
4 bis) nessuno dei precedenti
4 ter) vanno bene tutti e tre
….