Cos’è un controesempio? RISPOSTE Trovare un controesempio per ciascuna delle seguenti affermazioni false. a) Tutti i numeri dispari sono multipli di 3. Controesempio: 1 è un numero dispari che non è multiplo di 3. (Esistono infiniti altri controesempi: 5, 7, 11, …) b) Se un numero è un cubo perfetto, allora è anche un quadrato perfetto. Controesempio: 8 è un cubo perfetto, ma non è un quadrato perfetto. (Esistono infiniti altri controesempi: 27, 125, 216, …) c) Per ogni intero positivo n, si ha che n2 > 2n. Controesempio: Sono controesempi n=1 (infatti 12 < 21) e n=2 (infatti 22 = 22). È facile dimostrare che non esistono altri controesempi: basta osservare che, se n > 2, allora n2 > 2n. La seconda disuguaglianza si ottiene dalla prima moltiplicando entrambi i membri per n. d) Nessun numero primo è divisibile per 23. Controesempio: L’unico controesempio è il numero primo 23.