Si consideri l`insieme A di tutte le combinazioni con ripetizione degli

Esercitazioni di Matematica Discreta
07-03-2005
1. Si consideri l’insieme A di tutte le sequenze non ordinate (combinazioni) con
ripetizione di 5 elementi presi nell’insieme degli elementi {a,c,d,e,f,g,h,i}
presi. Contare il numero di combinazioni in A che non soddisfano nessuna
delle seguenti condizioni: a) contengono l'elemento c; b) l'elemento d è ripetuto
esattamente 2 volte.
Sol. L’insieme A si determina contando le sequenze non ordinate con
ripetizioni di r = 5 elementi in un insieme di n = 8 elementi, quindi contiene
 n  r  1 12 

    elementi. Contiamo quelle che soddisfano a): un elemento
r

 5
su cinque è fissato ed è c, e gli altri si possono scegliere tra gli 8 elementi,
pertanto sono combinazioni con ripetizioni di r = 4 su n = 8 elementi e dunque
 n  r  1 11
sono 
    ; contiamo quelle che soddisfano b): sono fissati 2
r

 4
elementi su 5 e gli altri 3 si possono scegliere in un insieme di 7 elementi
(perché d è escluso), quindi sono combinazioni con ripetizioni di r = 3 su n = 7
 n  r  1  9 
elementi e dunque sono 
    ; contiamo quelle che soddisfano a) e
r

  3
b): sono fissati 3 elementi su 5 e gli altri 2 si possono scegliere in un insieme di
7 elementi (perché d è escluso), quindi sono combinazioni con ripetizioni di r =
 n  r  1  8 
2 su n = 7 elementi e dunque sono 
    . Per il principio di
r

  2
12  11  9   8 
inclusione-esclusione la risposta è   -   -   +   .
5   4  3  2
2. Si consideri l’insieme X di tutti i numeri decimali di 6 cifre, ottenuti
utilizzando solo cifre diverse da zero. Contare quanti sono gli elementi di X
che non soddisfano nessuna delle seguenti condizioni: a) tutte le loro cifre sono
dispari ; b) sono minori di 700000
Sol. Si usa il principio di inclusione-esclusione. Gli elementi di X sono
sequenze ordinate (disposizioni) con ripetizione di r = 6 elementi in un insieme
di n = 9 elementi e quindi nr = 96. Contiamo gli elementi che soddisfano a):
sono sequenze ordinate (disposizioni) con ripetizione di r = 6 elementi in un
insieme di n = 5 elementi (1, 3, 5, 7, 9) e quindi nr = 56. Contiamo gli elementi
che soddisfano b): la prima cifra può assumere 6 valori da 1 a 6, e le altre 5
sono sequenze ordinate con ripetizione di r = 5 elementi in un insieme di n = 9,
e quindi 95 . Quindi sono in tutto 6  95. Contiamo gli elementi che soddisfano
a) e b): la prima cifra può assumere 3 valori (1, 3 o 5) le rimanenti 5 cifre
possono essere scelte tra (1,3,5,7,9) e sono disposizioni con ripetizioni di 5
elementi su 5, cioè 55. Quindi sono in tutto 3  55 . La risposta per il principio di
inclusione esclusione è 96- 56 - 6  95 + 3  55.