NUMERI PRIMI
I numeri naturali godono di varie proprietà, rispetto alle quali i numeri stessi si dividono in due classi: quelli che ne
sono dotati e quelli che ne sono privi. Per es. esiste la proprietà di essere pari … o la proprietà di essere un quadrato
perfetto… ma la suddivisione di gran lunga più importante [] è quella tra i numeri che sono PRIMI e quelli che non lo
sono (in genere detti:composti).
Il numero 1 è un caso speciale e per convenzione non lo si considera primo. Il motivo principale per cui i numeri primi
sono così importanti era già noto al matematico greco Euclide (ca 350-300 a.C.), il quale nel libro IX dei suoi Elementi
(una summa di 13 volumi di tutto lo scibile matematico di allora) dimostrò quello che oggi è noto come teorema
fondamentale dell’aritmetica: ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo , o può essere espresso come prodotto di
numeri primi in modo unico, a parte l’ordine in cui questi sono disposti. (questo prodotto si chiama scomposizione in
fattori primi del numero: poiché essa è unica, si potrebbe dire che i fattori primi che la compongono rappresentano in
qualche modo il “codice genetico” del numero, qualcosa che appartiene soltanto a quel numero e lo identifica). Il
teorema dice che i numeri primi sono i “mattoni” con cui sono costruiti tutti i numeri naturali… La conoscenza della
scomposizione in f. p. di un numero offre al matematico informazioni quasi complete su quel numero.
Il primo quesito a proposito dei n. p. è quanto siano frequenti. Osservando la tabella in cui n è il numero di primi
minori di n e
n / n
è la loro densità
n
n
n / n
1000
10000
100000
1000000
168
1229
9592
78498
0.168
0.123
0.096
0.078
si nota una progressiva rarefazione dei numeri primi man mano che si procede nella sequenza dei numeri naturali. Ma
finiscono per esaurirsi completamente? La risposta è no. Anche questo fatto fu dimostrato da Euclide , usando un argomento
che a tutt’oggi rimane un modello di eleganza del ragionamento matematico. Immaginiamo i numeri primi disposti in ordine
p1, p2 , p3... si tratta di dimostrare che questa successione deve continuare all’infinito,ovvero, che per ogni n,
avendo enumerato p1 , p2 ,... pn deve esistere un altro numero primo, più grande di pn . La dimostrazione procede per
crescente:
assurdo: supponiamo che i numeri primi siano finiti e mostriamo che questo porta ad una contraddizione. Il trucco consiste
N p1 * p2 * ... * pn 1 ottenuto moltiplicando fra loro tutti i numeri primi fino a pn e poi
sommando 1 al risultato. Ovviamente N è > di pn , cosicché se N fosse primo sapremmo che esiste un numero primo
oltre pn che è quanto vogliamo dimostrare. D’altro canto, se N non fosse primo, sarebbe divisibile per qualche primo,
diciamo p. Ma se si prova a dividere N per uno qualunque tra i numeri primi p1 , p2 ,... pn si ottiene sempre resto 1, il
nel considerare il numero
medesimo 1 che era stato aggiunto nella costruzione di N: quindi p (benché primo) non può essere uno dei fattori del prodotto
p1 * p2 * ... * pn
. Così il nostro divisore primo p deve essere un numero primo diverso da quelli della lista e dunque i
numeri primi del prodotto menzionato sopra non sono tutti i numeri primi. Pertanto, in ogni caso ci sarà un numero primo
maggiore di
pn , il che ci permette di concludere che la lista dei numeri primi continua all’infinito.
Facciamo un esempio: se tutti i numeri primi fossero quelli dell’insieme P[3,5,7] il numero della dimostrazione sarebbe
3*5*7+1=105+1=106. N è effettivamente un numero composto 106=2*53 il cui sottomultiplo 53 è primo e non è certamente
un divisore del prodotto 3*5*7 infatti i divisori che lo compongono (3,5,7) non possono dividere esattamente 106 perché
darebbero resto 1 e quindi non è contenuto fra i suoi fattori primi. 53 è un nuovo numero primo maggiore di quelli
dell’insieme iniziale P, che quindi non può rappresentare l’insieme di tutti i numeri primi.
In effetti nessuno sa se ci sia un numero infinito di numeri primi della forma di N né viceversa un numero infinito di numeri
composti della stessa forma: questo è soltanto uno dei tanti quesiti sui numeri primi di cui non conosciamo la risposta. Uno dei
più famosi quesiti irrisolti sui numeri primi è la congettura di Goldbach, in cui si ipotizza che ogni numero pari >2 sia somma
di 2 numeri primi ad es. 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7; grazie ai calcolatori, la congettura di Goldbach è stata
verificata per tutti i numeri pari fino a 400 miliardi ma ad oggi non ne è stata dimostrata definitivamente la verità o la falsità.
Gli ultimi anni hanno visto un notevole sviluppo di metodi che consentono di appurare se un numero è primo o meno (test di
primalità). Un metodo detto della divisione per tentativi è quello di controllare se il numero è divisibile successivamente per 2,
per 3, per 5, per 7 e così via: se si arriva a n senza trovare un numero che divida n ,allora n deve essere primo. Questo
processo funziona abbastanza bene per numeri relativamente piccoli, ma diventa di difficile applicazione quando entrano in
gioco numeri molto grandi. (per un n di 10 cifre è istantaneo, per un numero di 20 cifre, due ore per un numero di 50 cifre ci
vorrebbe un miliardo di anni usando il più veloce calcolatore esistente). Una applicazione pratica si trova nel campo della
crittografia.
Liberamente tratto da Keith Devlin “Dove va la matematica” Bollati Boringhieri e da L. Prosperino B. Isonni “Storie di
Matematica” Ghisetti e Corvi editori.
