Test finale
18 aprile 2014
Esercizio 1. Trovare tutte le coppie (x, y) di interi che soddisfano
x2 + x + 1 = y 2 .
Esercizio 2. Trovare il più piccolo intero positivo il cui cubo termina per
888.
Esercizio 3. Due amici si danno appuntamento davanti a scuola. Ciascuno
dei due arriva in un orario casuale tra le sette e le otto e attende l’amico per
dieci minuti a meno che non suoni la campanella delle otto e debba quindi
entrare. Con quale probabilità i due amici si incontrano davanti a scuola?
Esercizio 4. Quanti sono i numeri naturali palindromi pari di 7 cifre?
Esercizio 5. Sia p(x) un polinomio monico di terzo grado a coefficienti interi
per il quale valgono p(0) = 0, p(1) = 1 e p(2) = 2. Quanto vale p(10)?
Esercizio 6. Siano a1 , a2 ,. . . , a10 dieci numeri reali in progressione geometrica che soddisfano le uguaglianze
a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 1 e a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 2.
Quanto vale a5 ?
√
Esercizio 7. Sia ABCD un quadrilatero convesso di lati AB = BC = 13 2,
CD = 24 e AD = 10 e diagonale AC = 26. Sia X il punto di intersezione
delle diagonali. Qual è la lunghezza di AX?
Esercizio 8. Nel triangolo ABC l’angolo ABC è il doppio dell’angolo BAC,
AB = 2 e BC = 1. Calcolare la lunghezza di AC e la misura dell’angolo
ACB.
