Fasci di coniche

Geometria analitica del piano
Le coniche II parte
Definizione di conica
Si
chiama conica una curva del piano rappresentata da un
‘equazione di secondo grado nelle variabili x ed y:
ax 2  by 2  cxy  dx  ey  f  0
dove a, b, c, d,e, f sono numeri reali e almeno uno dei coefficienti a, b
e c è diverso da zero. Si può porre in forma matriciale e pertanto
indichiamo i coefficienti della conica con un doppio indice:
a11 x 2  a 22 y 2  2a12 xy  2a13 x  2a 23 y  a 33  0
Forma matriciale dell’equazione di
una conica
t
XAX  0 dove
x
 a11

y 1 a 21
a
 31
x
 
X   y e
1 
 
a12
a 22
a 32
 a11

A   a 21
a
 31
a13  x 
 
a 23  y   0.
a 33 1 
a12
a 22
a 32
a13 

a 23 
a 33 
Equazione della tangente ad una
conica in un suo punto
Sia Po un punto di una conica di coordinate (xo,yo).
L’equazione della tangente alla conica in Po è:
t
X 0 AX  0 dove
 xo 
 
X 0   y 0 .
 1 
 
Classificazione affine delle coniche


Una conica si dice non degenere se il
determinante della matrice A associata alla
conica è diverso da zero.
Una conica non degenere è
se A33  0
un' ellisse

se A33  0 .
un' iperbole
una parabola se A  0

33
Classificazione affine delle coniche
Sia I l’invariante lineare
I  a11  a 22
Un’iperbole è equilatera se e solo se I=0.
Sia C una conica degenere. C è
se il rango di A  2
spezzata in due rette r1  r2
.

spezzata
in
due
rette
coincident
i
r

r
se
il
rango
di
A

1

1
2
Centro di una conica
L’ellisse e l’iperbole hanno un centro di simmetria detto CENTRO.
( ,  )
Sia C tale punto di coordinate
Sia f(x,y)=0 l’equazione della conica di centro C ( ,  ).
Con la traslazione
x  X  

y  Y  
l’equazione della conica f(X,Y)=0 ha centro nell’origine in un nuovo
sistema di riferimento O’XY. Svolgendo i calcoli i termini di I grado
sono: 2(a11  a12   a13 ) X  2(a 21  a 22   a 23 )Y
Pertanto (,) sono le coordinate del centro se e solo se
a11  a12   a13  0
.

a 21  a 22   a 23  0
Centro di una conica
Quindi le coordinate del centro sono soluzione
del sistema lineare
a11 x  a12 y  a13  0
.

a 21 x  a 22 y  a 23  0
Teorema sugli asintoti di un’iperbole

Teorema Sia  un’iperbole di equazione f(x,y)=0 di
centro C e g(x,y) la parte di II grado del polinomio f.
Allora la conica ’ di equazione g(x,y)=0 è unione di
due rette distinte r1 ed r2. Gli asintoti di  sono le rette
parallele ad r1 ed r2 passanti per il centro C.
Intersezione di due coniche
1)
Secanti
in 4 punti reali;
In 2 punti reali
Intersezione di due coniche

In quattro punti immaginari:
Intersezione di due coniche
tangenti

Coniche tangenti
B
A
C=D
Coniche bitangenti
A=B
C=D
Coniche che si osculano

Se due coniche hanno un contatto triplo in A si
dice che le coniche si osculano in A.
A=B=C
Coniche iperosculatrici

Se due coniche hanno un contatto quadruplo si dice
che si iperosculano. Le due coniche sono entrambe
tangenti in A.
A=B=C=D
Fasci di coniche
Siano
C1 e C2 due coniche distinte di equazioni
rispettivamente f(x,y)=0 e g(x,y)=0. L’equazione
omogenea di un fascio di coniche è:
(1)  f   g  0 con  e
L’equazione
non contemporaneamente nulli.
f k g 0
è l’equazione non omogenea del fascio che con
g=0 fornisce tutte le equazioni del fascio (1).
Fasci di coniche passanti per 4
punti distinti




Coniche degeneri del fascio passanti per 4
punti distinti
A
B
(AB)(CD)
(AC)(BD)
(AD)(BC)
D
C
Fascio di coniche passanti per 2
punti distinti e 2 punti coincidenti

(BC)(tg A)+ (AB)(AC)=0
B
C
A=D
Fascio di coniche bitangenti

(tg A) (tg B) +  (AB)2=0
A tg(A)
B tg B
Fascio di coniche osculatrici
C1 + (AD) (tg A)=0
C1
D
C2
A=B=C tg A
Fascio di coniche iperosculatrici

C1 +  (tg A)2=0
C2
C1
A tg (A)
Esercizi

Si riconoscano le seguenti coniche:
a) 2 x 2  y 2  4 x  6 y  0
b)
x 2  4 y 2  2x  8 y  4  0
c) 2 x 2  4 y  4  0.
Esercizi sulle coniche

Classificare le coniche rappresentate dalle
equazioni:
a)
x 2  3y 2  4x  9  0
b)
x2  4y 3  0
c) 12 x 2  3 y 2  4 x  2 y  1  0
d)
x 2  y 2  4x  2 y  3  0
e)
x 2  y 2  4x  y  0
Esercizi

Si verifichi che la conica C di equazione
6 x 2  2 y 2  7 xy  x  y  1  0
è degenere e si determinino le equazioni delle due rette
che la compongono.
 Si verifichi che la conica C di equazione
x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y  1  0
è degenere e si determinino le equazioni delle rette che
la compongono.