Geometria analitica del piano
Le coniche II parte
Definizione di conica
Si
chiama conica una curva del piano rappresentata da un
‘equazione di secondo grado nelle variabili x ed y:
ax 2 by 2 cxy dx ey f 0
dove a, b, c, d,e, f sono numeri reali e almeno uno dei coefficienti a, b
e c è diverso da zero. Si può porre in forma matriciale e pertanto
indichiamo i coefficienti della conica con un doppio indice:
a11 x 2 a 22 y 2 2a12 xy 2a13 x 2a 23 y a 33 0
Forma matriciale dell’equazione di
una conica
t
XAX 0 dove
x
a11
y 1 a 21
a
31
x
X y e
1
a12
a 22
a 32
a11
A a 21
a
31
a13 x
a 23 y 0.
a 33 1
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a 33
Equazione della tangente ad una
conica in un suo punto
Sia Po un punto di una conica di coordinate (xo,yo).
L’equazione della tangente alla conica in Po è:
t
X 0 AX 0 dove
xo
X 0 y 0 .
1
Classificazione affine delle coniche
Una conica si dice non degenere se il
determinante della matrice A associata alla
conica è diverso da zero.
Una conica non degenere è
se A33 0
un' ellisse
se A33 0 .
un' iperbole
una parabola se A 0
33
Classificazione affine delle coniche
Sia I l’invariante lineare
I a11 a 22
Un’iperbole è equilatera se e solo se I=0.
Sia C una conica degenere. C è
se il rango di A 2
spezzata in due rette r1 r2
.
spezzata
in
due
rette
coincident
i
r
r
se
il
rango
di
A
1
1
2
Centro di una conica
L’ellisse e l’iperbole hanno un centro di simmetria detto CENTRO.
( , )
Sia C tale punto di coordinate
Sia f(x,y)=0 l’equazione della conica di centro C ( , ).
Con la traslazione
x X
y Y
l’equazione della conica f(X,Y)=0 ha centro nell’origine in un nuovo
sistema di riferimento O’XY. Svolgendo i calcoli i termini di I grado
sono: 2(a11 a12 a13 ) X 2(a 21 a 22 a 23 )Y
Pertanto (,) sono le coordinate del centro se e solo se
a11 a12 a13 0
.
a 21 a 22 a 23 0
Centro di una conica
Quindi le coordinate del centro sono soluzione
del sistema lineare
a11 x a12 y a13 0
.
a 21 x a 22 y a 23 0
Teorema sugli asintoti di un’iperbole
Teorema Sia un’iperbole di equazione f(x,y)=0 di
centro C e g(x,y) la parte di II grado del polinomio f.
Allora la conica ’ di equazione g(x,y)=0 è unione di
due rette distinte r1 ed r2. Gli asintoti di sono le rette
parallele ad r1 ed r2 passanti per il centro C.
Intersezione di due coniche
1)
Secanti
in 4 punti reali;
In 2 punti reali
Intersezione di due coniche
In quattro punti immaginari:
Intersezione di due coniche
tangenti
Coniche tangenti
B
A
C=D
Coniche bitangenti
A=B
C=D
Coniche che si osculano
Se due coniche hanno un contatto triplo in A si
dice che le coniche si osculano in A.
A=B=C
Coniche iperosculatrici
Se due coniche hanno un contatto quadruplo si dice
che si iperosculano. Le due coniche sono entrambe
tangenti in A.
A=B=C=D
Fasci di coniche
Siano
C1 e C2 due coniche distinte di equazioni
rispettivamente f(x,y)=0 e g(x,y)=0. L’equazione
omogenea di un fascio di coniche è:
(1) f g 0 con e
L’equazione
non contemporaneamente nulli.
f k g 0
è l’equazione non omogenea del fascio che con
g=0 fornisce tutte le equazioni del fascio (1).
Fasci di coniche passanti per 4
punti distinti
Coniche degeneri del fascio passanti per 4
punti distinti
A
B
(AB)(CD)
(AC)(BD)
(AD)(BC)
D
C
Fascio di coniche passanti per 2
punti distinti e 2 punti coincidenti
(BC)(tg A)+ (AB)(AC)=0
B
C
A=D
Fascio di coniche bitangenti
(tg A) (tg B) + (AB)2=0
A tg(A)
B tg B
Fascio di coniche osculatrici
C1 + (AD) (tg A)=0
C1
D
C2
A=B=C tg A
Fascio di coniche iperosculatrici
C1 + (tg A)2=0
C2
C1
A tg (A)
Esercizi
Si riconoscano le seguenti coniche:
a) 2 x 2 y 2 4 x 6 y 0
b)
x 2 4 y 2 2x 8 y 4 0
c) 2 x 2 4 y 4 0.
Esercizi sulle coniche
Classificare le coniche rappresentate dalle
equazioni:
a)
x 2 3y 2 4x 9 0
b)
x2 4y 3 0
c) 12 x 2 3 y 2 4 x 2 y 1 0
d)
x 2 y 2 4x 2 y 3 0
e)
x 2 y 2 4x y 0
Esercizi
Si verifichi che la conica C di equazione
6 x 2 2 y 2 7 xy x y 1 0
è degenere e si determinino le equazioni delle due rette
che la compongono.
Si verifichi che la conica C di equazione
x 2 y 2 2 xy 2 x 2 y 1 0
è degenere e si determinino le equazioni delle rette che
la compongono.
