Terza lezione

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
i
xi
1
2
20.1 18.5
3
4
5
6
7
8
23
20
19.5
17
19.8
21
9
10
18.6 18.2
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
i
xi
bin (Dx=2.2)
15-17.2
17.2-19.4
19.4-21.6
21.6-23.8
1
2
20.1 18.5
3
4
5
6
7
8
23
20
19.5
17
19.8
21
9
10
18.6 18.2
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
i
xi
bin (Dx=2.2)
1
2
20.1 18.5
3
4
5
6
7
8
23
20
19.5
17
19.8
21
nk
6
1
17.2-19.4
3
5
19.4-21.6
5
4
21.6-23.8
1
3
nk
15-17.2
9
10
18.6 18.2
n=10
Dx=2.2
2
Numero di
misure
nell’intervallo
1
0
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
xi
1
2
20.1 18.5
3
4
5
6
7
8
23
20
19.5
17
19.8
21
bin (Dx=2.2)
nk
Fk= nk/N
15-17.2
1
0.1
17.2-19.4
3
0.3
19.4-21.6
5
0.5
21.6-23.8
1
0.1
0.6
Fk
i
9
10
18.6 18.2
n=10
Dx=2.2
0.5
0.4
0.3
0.2
Numero di Frequenza
misure
nell’intervallo
0.1
0.0
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
xi
1
2
20.1 18.5
3
4
5
6
7
8
23
20
19.5
17
19.8
21
bin (Dx=2.2)
nk
Fk= nk/N
Fk/Dx
15-17.2
1
0.1
0.045
17.2-19.4
3
0.3
0.136
19.4-21.6
5
0.5
0.227
21.6-23.8
1
0.1
0.045
Fk/Dx
i
0.30
9
10
18.6 18.2
n=10
Dx=2.2
0.25
0.20
0.15
0.10
Numero di Frequenza
Densità di
misure
frequenza
nell’intervallo
0.05
0.00
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
Fk/Dx
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
0.30
0.30
n=10
Dx=2.2
0.25
0.20
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
0.00
10
12
14
n=100
Dx=1
0.25
16
18
20
22
24
26
0.30
28
30
10
12
14
16
22
24
26
28
18
n=1000
Dx=0.5
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
10
12
14
16
18
20
30
20
22
24
26
28
30
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Funzione densità di
probabilità:
gaussiana:
f ( x) 
1
  2
e

x   2

2 2
Funzione della varabile x caratterizzata da due parametri:  e 
f(x)
x   
x 


f ( x)  0
f MAX ( x) 
 f ( x) dx  1

x
1
  2
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0.25
0.2
0.15
u=10; sigma=2
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Al variare di  varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0.25
0.2
0.15
u=10; sigma=2
u=15; sigma=2
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Al variare di  varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0.25
0.2
0.15
u=10; sigma=2
u=15; sigma=2
0.1
u=20; sigma=2
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Al variare di  varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0.25
0.2
0.15
u=10; sigma=2
0.1
0.05
0
0
5
10
15
Al variare di  varia la larghezza della curva
20
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0.25
0.2
0.15
u=10; sigma=2
u=10; sigma=3
0.1
0.05
0
0
5
10
15
Al variare di  varia la larghezza della curva
20
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0.25
0.2
0.15
u=10; sigma=2
u=10; sigma=3
u=10; sigma=5
0.1
0.05
0
0
5
10
15
Al variare di  varia la larghezza della curva
N.B. L’area resta uguale
20
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali:
  corrisponde al valore vero che si vuole misurare
  è legata alla precisione sulla misura: minore è la larghezza
della curva, migliore è la precisione della misura
x1  x2  x3  ...x N
N x
 i 1 i
N
N
N 
 x
x
Nell’ipotetico caso di un numero infinito di misure il
valor medio risulta uguale al valore vero . Nel
caso reale di un numero finito di misure, il valor
medio è la miglior stima del valore vero.
N
Sx 
2
(
x

x
)
 i
i 1
N 
( N  1)
 Sx  
Nell’ipotetico caso di un numero infinito di misure
la deviazione standard risulta uguale al parametro
. Nel caso reale di un numero finito di misure, la
deviazione standard è la miglior stima di .
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali:
 a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità
L’area tratteggiata fornisce la
probabilità di ottenere da
una misura un valore che
dista dal valore medio non
più di una deviazione
standard.
0.25
=10 ; =2
0.20
0.15
x1
x2=
0.10
0.05
0.00
2
4
6
8
10

12
14
16
18
Tale area è pari a circa 0.68.
Quindi nel 68% dei
casi, ci aspettiamo di trovare
come risultato della misura
un valore che dista meno di
una deviazione standard dal
valore vero
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali:
 a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità
0.25
=10 ; =2
0.20
0.15
x12
x2=2
0.10
0.05
0.00
2
4
6
8
10

12
14
16
18
L’area tratteggiata fornisce la
probabilità di ottenere da
una misura un valore che
dista dal valore medio non
più di due deviazioni
standard.
Tale area è pari a circa 0.95.
La probabilità di trovare il
risultato della
misura nell’intervallo ±2σ dal
valore vero è quindi pari a
circa il 95%.
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali:
 a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità
0.25
=10 ; =2
È possibile ricavare tale
probabilità per qualsiasi
intervallo, simmetrico
o meno, utilizzando una
tabella che fornisce le
probabilità di trovare un
valore in un generico
intervallo simmetrico ±tσ
centrato intorno al valore
vero μ.
t=1.5
0.20
0.15
x2=t
x1=t
0.10
0.05
0.00
2
4
6
8
10

12
14
16
18
LA TABELLA DELLA GAUSSIANA:
0.25
0.20
0.15
t
0.10
t
t( x) 
0.05
0.00
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x

LA TABELLA DELLA GAUSSIANA: