Distribuzione Gaussiana Fra le densità di probabilità continue, la più importante è la densità di probabilità normale, detta anche distribuzione di Gauss, in onore del matematico Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Essa è anche nota come legge degli errori, perché descrive la distribuzione degli errori casuali relativi a successive misure di una quantità fisica; inoltre diversi fenomeni continui seguono approssimativamente una distribuzione normale. Distribuzione Gaussiana La densità di probabilità normale è definita dalla funzione 2 1 f ( x) = e σ 2π 1 x−µ − 2 σ −∞ < x < ∞ , di parametri µ e σ , con σ > 0 E’ definita su tutto l'asse reale ed è positiva; è simmetrica ed il suo massimo, assunto nel punto di ascissa µ, vale y max = 1 σ 2π Grafico della distribuzione Gaussiana La distribuzione normale ha una forma a campana, il cui grafico di è del tipo illustrato nella figura 1 µ=2 0.8 Nella figura 2 si riportano i grafici della distribuzione normale per un dato valore di µ e per diversi valori di σ: σ = 0.5 0.6 0.4 σ=1 0.2 σ=2 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Grafico della distribuzione Gaussiana Nella figura 3 si riportano i grafici della distribuzione normale per un dato valore di σ e per diversi valori di µ 0.4 σ=1 0.3 µ=3 0.2 µ=2 0.1 µ=1 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Funzione di ripartizione normale La funzione di distribuzione o funzione di ripartizione normale è data da 2 1 t −µ 1 x − 2 σ F ( x) = P( X ≤ x) = e dt , − ∞ < x < ∞ ∫ σ 2π −∞ Nella figura il grafico della funzione di distribuzione per µ = 2 e σ =1 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Distribuzione Gaussiana standardizzata La distribuzione normale è una famiglia di distribuzioni distinte in base ai valori di µ e σ. La curva più importante è la distribuzione normale standardizzata. Per ricavarla si passa alla nuova variabile aleatoria Z, detta variabile standardizzata, ponendo: X −µ Z= σ Distribuzione di probabilità della variabile normale standardizzata Z z2 − 2 1 f (z) = e , 2π −∞ < z < ∞ Distribuzione Gaussiana standardizzata Nei grafici della distribuzione normale standardizzata abbiamo le aree comprese rispettivamente tra −1 e 1, tra −2 e 2 e tra −3 e 3, pari al 68.27%, al 95.44% e al 99.73% dell'area totale, che è 1. P(-3<Z<3) = 99.7% P(-1<Z<1) = 68.3% 0.4 0.4 P(-2<Z<2) = 95.4% 0.3 f(z) 0.3 f(z) 0.4 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 f(z) 0.2 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 -4 4 z -2 -1 0 z 0.1 0 -4 -3 -3 -2 -1 0 z 1 2 3 4 1 2 3 4