Manca qualcosa - Digilander

Le equazioni di Maxwell
Realizzato da Luigi Lombardo
Rev. 5/11/15
Maxwell


Nato a Edimburgo
nel 1831, morì a
Cambridge nel
1879.
Maxwell pubblica le
sue equazioni nel
1865.
Prima di Maxwell




Teorema di Gauss per il
campo elettrico:
Teorema di Gauss per il
campo magnetico:
Legge di FaradayNeumann-Lenz:
Teorema di Ampère:
Q

 E  

 B 0

B 
C E   
t
C B   i
Cosa trova Maxwell



Prima delle equazioni di Maxwell, le leggi
che descrivevano l’elettromagnetismo
erano quelle appena elencate.
La prima descrive il campo elettrostatico,
la seconda e la quarta descrivono il campo
magnetostatico.
Solo la terza indica come un campo
magnetico variabile generi un campo
elettrico, cioè l’elettromagnetismo.
Manca qualcosa



Maxwell nota la non simmetria di
queste equazioni (in fisica la
simmetria è importante!)
Perché un campo magnetico variabile
dovrebbe generare un campo
elettrico, e non viceversa?
Nota quindi che manca qualcosa.
L’esperimento mentale
(gedankenexperiment)


Maxwell immagina quindi di eseguire
il seguente esperimento mentale (un
esperimento che non si svolge in
laboratorio, ma solo nella mente).
Prende un circuito contenente un
condensatore che viene caricato a
corrente costante (vedi schema
seguente).
Lo schema dell’esperimento
La natura non fa salti.


Maxwell nota che la circuitazione del
campo magnetico lungo S1 prima e dopo il
condensatore è costante, mentre è nulla
lungo S2.
Ricordando il fondamentale principio della
fisica, “la natura non fa salti” (Natura non
facit saltus), ipotizza l’esistenza,
all’interno del condensatore, di una nuova
corrente, di valore pari a quella di carica
del condensatore.
Alla ricerca del termine mancante.






L’unica cosa presente nel
condensatore è il campo elettrico.
Pertanto trova la relazione tra questo
e la corrente di carica i.
La variazione di carica sul
Q  it
condensatore vale:

E
Il campo E vale:

dove la densità di carica vale:

dove A è l’area dell’armatura del
condensatore.
Q
A
La variazione del flusso.

Quindi la variazione del flusso del campo
elettrico nel condensatore è pari a (ci si
poteva arrivare direttamente con Gauss):


Q
Q
 E  EA 
A
A

A

Il calcolo della corrente di
spostamento.




E, ricordando che:
segue:
Ed esplicitando la
corrente i, segue:
Maxwell la chiama
corrente di
spostamento, che
indicheremo col
simbolo is. Quindi:
Q  it

 E 
Q


it


 E
i 
t

 E
is  
t
Il teorema di Ampère-Maxwell



Pertanto Maxwell modifica
il teorema di Ampère nel
seguente modo:
Sostituendo is otteniamo:
Così modificato prenderà il
nome di teorema di
Ampère-Maxwell.

C B   i  is 

 

 E

C B   i 

t



Le equazioni di Maxwell


Le quattro
equazioni iniziali
diventano
pertanto:
Così riscritte
prenderanno
(giustamente) il
nome di equazioni
di Maxwell.
Q

 E  


 B 0
 B
C E 
t

 E

C B   i 

t




 


La simmetria


Si può notare come ora queste
equazioni sono più simmetriche di
prima.
Infatti, non solo un campo magnetico
variabile genera un campo elettrico,
ma anche il viceversa, un campo
elettrico variabile genera un campo
magnetico.
L’importanza di Maxwell



Con l’aggiunta del suo termine mancante,
Maxwell modifica profondamente le
equazioni dei campi elettrici e magnetici,
mostrando l’interdipendenza tra i due.
Per questo da Maxwell in poi si potrà
parlare di campi elettromagnetici.
Questo è il motivo per cui le precedenti
equazioni, scoperte dai predecessori di
Maxwell, dove Maxwell aggiunge solo un
piccolo termine, giustamente prendono il
nome di equazioni di Maxwell.
Cosa succede nel vuoto?


La simmetria di cui si è parlato è
ancora più evidente riscrivendole nel
caso ci si trovi nel vuoto.
In tal caso non ci sono sorgenti, cioè
Q = 0 ed i = 0, e le costanti sono
quelle nel vuoto.
Le equazioni nel vuoto.

Pertanto le
equazioni si
riscrivono nel
seguente modo:

 B   0
B 
C E   
t
E 
C B    
t
 E 0
0 0
L’ipotesi delle OEM

Lo stesso Maxwell scopre, solo dal
punto di vista matematico, che
queste equazioni hanno, come una
delle possibili soluzioni, delle onde
elettromagnetiche (OEM), cioè
variazioni sinusoidali dei campi
elettrici e magnetici, in particolare
con fronti d’onda piani, allora ignote.
Le OEM

Il modello matematico di queste onde è:



 E z  x, t   E0 sin  c x  t   0 



E y  x, t   0


Bz  x, t   0








t


x
sin
B


t
,
x
B

0
0
y


c

La velocità della luce

Si dimostra che queste equazioni sono
compatibili con le equazioni di Maxwell,
se la velocità c con cui si propagano è
uguale a: c  1
 0 0

Valore questo (stranamente) uguale alla
velocità della luce nel vuoto, cosa che gli
fa ipotizzare la natura elettromagnetica
della luce.
La scoperta delle OEM

Nel 1885 Hertz scoprì
sperimentalmente le
OEM, aprendo la
strada all’invenzione
della radio,
confermando così le
geniali intuizioni di
Maxwell, inclusa la
natura
elettromagnetica della
luce.
Conclusioni.



La maggior parte dei turisti che visitano
l’abbazia di Westminster, vanno a trovare
la tomba di Newton.
Pochi vanno a visitare il cenotafio di
Maxwell, che si trova nella stessa abbazia,
sebbene la genialità di Maxwell non sia
inferiore a quella di Newton.
Se visitate l’abbazia di Westminster,
andate a trovare il cenotafio di Maxwell!