Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità
• Abbiamo visto che, nel caso della definizione di
probabilità a priori o classica, occorre “contare” i
numeri di casi favorevoli ed i numeri di casi
possibili. Per non ricorrere all’elencazione di tutti i
casi che costituiscono lo spazio campionario, può
essere utile un richiamo di analisi combinatoria.
• Verranno quindi riportate le definizioni ed i
teoremi utilizzati nel calcolo delle probabilità.
Richiami di analisi combinatoria
• Teorema fondamentale dell’analisi combinatoria o
principio di moltiplicazione: Se un evento risulta da più
scelte successive tali che vi siano m1 possibilità per la
prima, m2 per la seconda e così via, i casi possibili
risultanti sono m1⋅ m2⋅m3⋅ … .
• Tipi di descrizione: Descrizione di stato di k prove aventi
ciascuna n modalità di realizzazione diverse cioè
elencazione delle sequenze che descrivono, per ogni prova,
la modalità di realizzazione: si tiene conto dell’ordine.
Descrizione di frequenza delle n modalità nelle k prove
cioè elencazione delle sequenze che indicano, per ciascuna
delle n modalità, il numero di prove che ne godono cioè la
frequenza con cui ciascuna modalità appare, senza tenere
conto dell’ordine.
• Disposizioni: si tiene conto dell’ordine.
• Combinazioni: non si tiene conto dell’ordine.
• Disposizioni con ripetizione di n elementi a k a k:
Dr(n,k) = nk
• Disposizioni senza ripetizione di n elementi a k a
k: si deve avere n≥k
n!
D (n, k ) =
( n − k )!
• Combinazioni di n elementi a k a k:
D ( n, k )
n!
C ( n, k ) =
=
k!
k! ( n − k )!
• Solitamente l’espressione all’ultimo membro è
⎛n⎞
denotata dal simbolo ⎜⎜ k ⎟⎟ che prende il nome di
⎝ ⎠
coefficiente binomiale. Si ha pertanto
⎛n⎞
n!
C ( n, k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k! (n − k )!
• Si può subito osservare che
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝k ⎠ ⎝n − k ⎠
• Combinazioni con ripetizione di n elementi a k a
k:
⎛ k + n − 1 ⎞ ⎛ k + n − 1⎞
⎟⎟
Cr ( n, k ) = ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎠ ⎝ n −1 ⎠
⎝ k
Probabilità condizionata ed
indipendenza stocastica
• Teorema della probabilità totale.
Va sotto questo nome il teorema della additività
per eventi non mutuamente esclusivi:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• Probabilità composta:
è la probabilità P(A ∩ B) = P(AB) che gli eventi
A e B si verifichino contemporaneamente.
• Probabilità condizionata.
Indica la probabilità di un evento A, sapendo che si è
già realizzato un evento B e si indica con P(A | B) che si
legge “P di A se B” oppure “P di A dopo B”. Il sapere
che si è verificato l’evento B fornisce un’informazione
supplementare che cambia la probabilità dell'evento A e
può essere positiva se P(A | B) > P(A) oppure negativa
in caso contrario. Si ha
P(A | B) = 1 se B ⊆ A
P(A | B) = 0 se P(A ∩ B) = ∅ (eventi disgiunti)
La definizione è la seguente:
P( A ∩ B )
P( A | B ) =
se P ( B ) > 0
P( B )
Teorema del prodotto
Per due eventi, è la riformulazione della definizione di
probabilità condizionata:
P(A ∩ B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A)
Generalizzazione a più eventi :
P(A1 ∩ A2 ∩ A3∩ …∩ An) =
P(A1) P(A2|A1) P(A3|A2∩A1)… P(An|An-1∩…∩ A2∩A1)
Indipendenza stocastica
• Due eventi A e B si dicono indipendenti se la
realizzazione dell'uno non influenza la
realizzazione o non realizzazione dell'altro. Si ha
quindi:
P(A | B) = P(A)
oppure
P(B | A) = P(B)
Dalla definizione di probabilità condizionata
pertanto si avrà che
Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Più in generale, gli eventi A1, A2,…, Ai ,…, An sono
indipendenti se e solo se
P(I Ai ) = ∏ P( Ai )
i∈J
i∈J
per ogni sottoinsieme J di indici.
N.B.: non confondere l'indipendenza stocastica con
l'incompatibilità (eventi mutuamente esclusivi):
incompatibilità ⇒ A∩B=∅ ⇒ P(A∩B) = 0.
Per due eventi incompatibili si ha P(A∪B) = P(A)+P(B)
mentre per due eventi indipendenti si ha
P(A∩B)=P(A)P(B).
Teorema di Bayes
• Teorema delle probabilità totali o partizione
dell'evento certo.
Consideriamo una famiglia di insiemi Bi , i=1,…,n
che costituiscano una partizione di Ω cioè che
siano mutuamente esclusivi tra loro ed esaustivi di
Ω:
n
U Bi = Ω e Bi ∩ B j = ∅ ∀ i, j
i =1
Si può dimostrare che, per ogni evento A ⊂ Ω, si ha
n
P ( A) =)∑ P ( A | Bi ) P( Bi )
i =1
• Teorema di Bayes.
Nelle ipotesi di validità del teorema delle probabilità
totali, la probabilità di realizzazione di un generico
evento Bk appartenente alla partizione di Ω, sapendo
che si è realizzato l'evento A, cioè la probabilità
condizionata P(Bk | A), è data da
P ( A | Bk ) P ( B k )
P ( A | B k ) P ( Bk )
= n
P ( Bk | A ) =
P ( A)
∑ P ( A | Bi ) P ( Bi )
i =1
È possibile interpretare gli eventi Bi come tutte le
possibili cause dell'evento A: se tutte le probabilità
P(Bi) possono essere conosciute in modo rigoroso,
questo teorema risulta una pura applicazione
matematica del calcolo delle probabilità. Esso è
però molto importante in ambito soggettivista (o
bayesiano) in quanto, scelte inizialmente in modo
soggettivo le diverse P(Bi), è possibile modificarle
in base ai risultati ottenuti con l'esperienza. Le
P(Bi) sono dette probabilità a priori e le P(A|Bi)
sono dette verosimiglianza. In mancanza di altre
informazioni, le diverse P(Bi) possono essere
considerate equiprobabili (ipotesi della
disperazione).