Indipendenza di Variabili Casuali
Definizione
Le v.c. X1 , . . . , Xn si dicono INDIPENDENTI se e solo se, per ogni scelta
di a1 , b1 , . . . , an , bn con a1 ≤ b1 , . . . , an ≤ bn , si ha
P [a1 ≤ X1 ≤ b1 , . . . , an ≤ Xn ≤ bn ] = P [a1 ≤ X1 ≤ b1 ]×· · ·×P [an ≤ Xn ≤ bn ]
n v.c. sono indipendenti se la conoscenza dei valori assunti da alcune di
esse non dà informazioni che modifichino la previsione di quelli assunti
dalle altre.
n=2
P [a1 ≤ X1 ≤ b1 , a2 ≤ X2 ≤ b2 ] = P [a1 ≤ X1 ≤ b1 ] P [a2 ≤ X2 ≤ b2 ]
che non significa altro che i due eventi {a1 ≤ X1 ≤ b1 } e {a2 ≤ X2 ≤ b2 }
sono indipendenti per ogni scelta di a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 .
Osservazione
Nel caso discreto, scegliendo a1 = b1 = x1 , . . . , an = bn = xn si ha
P [X1 = x1 . . . , Xn = xn ] = P [X1 = x1 ] × · · · × P [Xn = xn ]
ESEMPIO
Da un’urna contenente 6 palline numerate da 1 a 6, se ne estraggono 2
con rimpiazzo. Indichiamo con X1 il risultato della prima estrazione e con
X2 il risultato della seconda estrazione.
S = {(i, j) : i = 1, . . . , 6, j = 1, . . . , 6}
Le variabili casuali X1 e X2 prendono entrambe i valori interi da 1 a 6
ognuno con probabilità 1/6 perchè i valori sono equiprobabili.
(
1
per z = 1, 2, 3, 4, 5, 6
P[X1 = z] = P[X2 = z] = 6
0 altrimenti
(
P[X1 = ī, X2 = j̄] =
1
36
0
per (ī, j̄) ∈ S
altrimenti
Proposizione
Se X e Y sono variabili casuali indipendenti ed hanno speranza
matematica finita, allora anche il prodotto XY ha speranza matematica
finita e si ha
E[XY ] = E[X ]E[Y ]
