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Il sistema di riferimento cartesiano
Un sistema di riferimento cartesiano si compone di due
rette orientate, tra loro perpendicolari, dette assi
cartesiani.
L’asse delle ascisse (o delle x), è quello orizzontale.
L’asse delle ordinate (o delle y), è quello verticale.
Il punto di intersezione degli assi è detto origine.
Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata
di numeri: in figura è rappresentato il punto A(3; 4).
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
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Il sistema di riferimento cartesiano
Il piano cartesiano si può dividere in quattro
settori denominati quadranti; essi sono
numerati dal primo in alto a destra e si procede
in senso antiorario.
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
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La distanza tra due punti
Per determinare la distanza tra due punti nel piano cartesiano si possono presentare tre casi.
I caso I due punti hanno la stessa ordinata
Vogliamo calcolare la distanza tra i punti:
A(-2; 2) e B( 4; 2)
AB = xB - x A = 4 - (-2) = 4 + 2 = +6 = 6
REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ordinata è data dal valore assoluto
della differenza delle rispettive ascisse. In simboli:
AB = xB - x A
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
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La distanza tra due punti
II caso I due punti hanno la stessa ascissa
Vogliamo calcolare la distanza tra i punti:
A( 2; 3) e B( 2; - 4)
AB = y B - y A = (-4) - 3 = -7 = 7
REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi
uguale ascissa è data dal valore assoluto della differenza
delle rispettive ordinate. In simboli:
AB = y B - y A
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
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La distanza tra due punti
III caso I due punti hanno ascisse e ordinate diverse
Vogliamo calcolare la distanza tra i punti:
A(1; - 2)
e
B( 4; 2)
Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, ottenuto
tracciando da A e da B rispettivamente le parallele agli assi x
e y, e calcoliamo la lunghezza della sua ipotenusa con il
teorema di Pitagora:
AB = 32 + 42 = 9 +16 = 25 = 5
REGOLA. Per determinare la distanza tra due punti A e B si applica il teorema di Pitagora e si
calcola la misura dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni del segmento
AB sugli assi cartesiani. In simboli.
AB =
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
( x A - xB ) + ( y A - y B )
2
2
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Le coordinate del punto medio di un segmento
REGOLA. Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono date dalle semisomme
delle ascisse e delle ordinate degli estremi del segmento. In simboli:
æ x A + xB y A + y B ö
Mç
;
÷
2
2
è
ø
Vogliamo calcolare le coordinate del punto medio M del
segmento di estremi
A( 2; 3)
e
B(-4; - 5)
Applichiamo direttamente la formula:
xM =
yM =
2 + (-4)
2
3 + (-5)
2
2 - 4 -2
=
=
= -1
2
2
=
3 - 5 -2
=
= -1
2
2
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
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Il concetto di funzione
DEFINIZIONE. Una relazione R da un insieme A verso un insieme B, che associa ad ogni elemento
di A uno ed uno solo elemento di B, prende il nome di funzione.
Il dominio di una funzione è l’insieme degli elementia Î A che hanno un’immagine in B.
Il codominio di una funzione è l’insieme degli elementi b Î B che hanno una controimmagine in A.
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Le funzioni empiriche
Consideriamo la quantità di pioggia caduta nei vari mesi dell’anno in una località e disegnamone il
grafico.
100
mm di pioggia
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Dicembre
Novembre
Ottobre
Settembre
Agosto
Luglio
Giugno
Maggio
Aprile
Marzo
Febbraio
Gennaio
0
Mesi dell’anno
Una funzione di questo tipo viene detta empirica perché non è possibile stabilire un legame fra il
mese dell’anno e i millimetri di pioggia.
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
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Le funzioni matematiche
Indicando con x gli elementi dell’insieme A (dominio) e
con y gli elementi dell’insieme B (codominio) possiamo
dire che
DEFINIZIONE. La funzione matematica è un tipo di
funzione in cui il variare della y rispetto alla x avviene
sulla base di un meccanismo fisso che può essere
espresso mediante una precisa formula matematica.
Per mezzo di questa formula i valori assunti dalla y (in
seguito al variare della x) possono essere determinati
con precisione e sicurezza.
In simboli possiamo scrivere che
y = f (x)
e si legge << y uguale effe di x >>
oppure
e si legge << f è tale da portare x in y >>
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La funzione di proporzionalità diretta
DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando,
dimezzando … l’una, raddoppia, triplica, si dimezza … anche l’altra.
DEFINIZIONE. Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante.
In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con m la costante di
proporzionalità diretta abbiamo:
y
=m
x
quindi
y = mx
con m ≠ 0
La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità diretta; in essa m rappresenta il
coefficiente di proporzionalità diretta.
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Rappresentazione cartesiana della funzione y = mx
Consideriamo la funzione di proporzionalità diretta di equazione
y = 3x
in cui il coefficiente di proporzionalità è 3.
Il grafico della funzione y = 3x è una retta passante per l’origine degli
assi, quindi generalizzando possiamo dire che:
DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità diretta è rappresentata nel
piano cartesiano da una retta passante per l’origine.
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Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta
PROPRIETÀ. La funzione y = mx rappresenta sempre
una retta passante per l’origine, inoltre:
 se m > 0 la retta appartiene al 1° e 3° quadrante;
 se m < 0 la retta appartiene al 2° e 4° quadrante.
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Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta
PROPRIETÀ. Nella funzione y = mx:
 se m = 1 la retta è la bisettrice del 1° e 3° quadrante;
 se m = −1 la retta è la bisettrice del 2° e 4°
quadrante.
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Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta
PROPRIETÀ. Maggiore è il valore del coefficiente angolare m (in valore assoluto) tanto più
l’inclinazione della retta si avvicina all’asse y.
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La retta nel piano cartesiano
Rappresentiamo nel piano la funzione y = 2x + 3
Più in generale:
PROPRIETÀ. Ogni funzione del tipo y = mx + q (con m e
q costanti) rappresenta l’equazione di una retta; m è il
coefficiente angolare e q rappresenta l’ordinata
all’origine.
È importante notare che l’equazione generica di una retta
y = mx + q non è più una funzione di proporzionalità
diretta.
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Le equazioni di rette particolari
Rette parallele all’asse x
PROPRIETÀ. y = k è l’equazione di una retta parallela
all’asse delle x.
 Se k > 0 le rette parallele all’asse x appartengono al semipiano
positivo delle ordinate;
 se k < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle
ordinate;
 se k = 0 la retta coincide con l’asse x e la sua equazione diventa
y = 0; diremo allora che y = 0 è l’equazione dell’asse x.
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
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Le equazioni di rette particolari
Rette parallele all’asse y
PROPRIETÀ. x = h è l’equazione di una retta parallela
all’asse delle y.
 Se h > 0 le rette parallele all’asse y appartengono al semipiano
positivo delle ascisse;
 se h < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle
ascisse;
 se h = 0 la retta coincide con l’asse y e la sua equazione
diventa x = 0; diremo allora che x = 0 è l’equazione dell’asse
y.
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
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Le equazioni di rette particolari
Rette tra loro parallele
PROPRIETÀ. Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente
angolare. In simboli, date:
r : y = mx + q
r || s
s : y = m¢x + q¢
se e solo se
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m = m¢
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Le equazioni di rette particolari
Rette tra loro perpendicolari
PROPRIETÀ. Due rette sono perpendicolari se il
coefficiente angolare della prima è l’antireciproco dell’altro.
In simboli, date
r : y = mx + q
r^s
se e solo se
m=-
s : y = m¢x + q¢
1
m¢
Le funzioni matematiche e il piano cartesiano
ovvero
m × m¢ = -1
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L’intersezione di una retta con gli assi cartesiani
REGOLA. Le coordinate dei due punti di intersezione di
una retta di equazione y = mx + q con gli assi x e y si
ottengono ponendo in essa y = 0 e x = 0 e calcolando i
valori corrispondenti dell’ascissa e dell’ordinata dei due
punti.
Troviamo, ad esempio, i punti d’intersezione con gli assi
della retta
y =-
5
x+5
2
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Equazioni di rette
FORMULA. L’equazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per un
punto P(x0; y0) e di coefficiente angolare m è
y - y 0 = m × ( x - x0 )
FORMULA. L’equazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per i punti
A(x1; y1) e B(x2; y2) è
y - y1
x - x1
=
y 2 - y1 x 2 - x1
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La funzione di proporzionalità inversa
DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando,
dimezzando … l’una, si dimezza, diventa un terzo, raddoppia … l’altra.
DEFINIZIONE. Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante.
In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con k la costante di
proporzionalità inversa, abbiamo:
x×y = k
k
y=
x
(con x ¹ 0)
La formula precedente rappresenta dunque la funzione di proporzionalità inversa; in essa k è il
coefficiente di proporzionalità inversa.
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La rappresentazione cartesiana della funzione xy=k
Consideriamo la funzione di proporzionalità inversa di
equazione
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y=
x
Il grafico è un ramo di curva che prende il nome di
iperbole equilatera. In generale:
DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità inversa è
rappresentata nel piano cartesiano da un ’ iperbole
equilatera.
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La proporzionalità quadratica e la parabola
DEFINIZIONE. Due grandezze x e y sono in
proporzionalità quadratica quando la relazione che le
lega si può esprimere con una formula del tipo:
y = ax 2
La formula precedente rappresenta la funzione di
proporzionalità quadratica; in essa a prende il nome di
coefficiente di proporzionalità quadratica.
La funzione di proporzionalità quadratica è rappresentata nel piano cartesiano da una curva,
chiamata parabola.
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La proporzionalità quadratica e la parabola
DEFINIZIONE. Una funzione del tipo y = ax2 (con a ≠ 0) è l’equazione di una parabola avente
come asse di simmetria l’asse y e come vertice l’origine degli assi.
In particolare
• se a > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto;
• se a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso.
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