L`applicazione della trigonometria nei triangoli qualunque

Risoluzione di triangoli
qualsiasi
PROBLEMI CHE MOTIVANO LA RICERCA DI RELAZIONI TRA LATI
ED ANGOLI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE
ESERCIZIO 1
Per guidare un missile antiaereo, la stazione radar da terra deve valutare in ogni
istante la distanza tra l’aereo da colpire e il missile. Il radar, disposto in R, misura
la distanza RA ( radar – aereo ) e quella RM ( radar – missile ) e misura l’angolo
α tra queste due direzioni. Quello che ci rimane da calcolare è AM (distanza aereo
– missile ). Non possiamo usare le formule a noi note se uno dei due angoli, in A
o in M, non è retto. Supponendo che RA = 12 km RM = 20 km e α = 65°, quanto
dista l’aereo dal missile ?
ESERCIZIO 2
Il radiogoniometro è uno strumento molto utile nella navigazione marittima e
viene usato per determinare la direzione da cui proviene un segnale radio. Ad
esempio, nel caso in cui accada che una nave N avverta di trovarsi in difficoltà e
il segnale venga ricevuto da due capitanerie di porto, A e B, che distano tra loro
400 km in linea d’aria. Con il radiogoniometro le due capitanerie rilevano gli
angoli α=110° e β=50°. Ci si chiede: quanto dista la nave N da A e da B?
I problemi proposti sono risolubili? Con le conoscenze che abbiamo acquisito
sinora non riusciamo a risolverli, abbiamo bisogno di qualcosa di più.
Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso
a, vogliamo trovare il terzo lato a.
Tracciamo l’altezza CH
C
b
b sen a
a
A
CH = b sen a
AH = b cos a
a
c - b cos a
Hc
B
BH = AB - AH= c - b cos a
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB
a2 = CH2 + BH2 = (b sen a)2 + (c - b cos a)2
a2 = b2 sen2 a + c2 + b2 cos2 a -2bc cos a
Ma: b2 sen2 a + b2 cos2 a = b2 (sen2 a + cos2 a) = b2
pertanto
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso
a, vogliamo trovare il terzo lato a.
Tracciamo l’altezza CH
C
b
b sen a
a
A
CH = b sen a
AH = b cos a
a
c - b cos a
Hc
B
BH = AB - AH= c - b cos a
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB
a2 = CH2 + BH2 = (b sen a)2 + (c - b cos a)2
a2 = b2 sen2 a + c2 + b2 cos2 a -2bc cos a
Ma: b2 sen2 a + b2 cos2 a = b2 (sen2 a + cos2 a) = b2
pertanto
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
Abbiamo così ottenuto il
Teorema di Carnot (o del coseno)
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei
quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di
questi per il coseno dell’angolo compreso.
b
C
g
a
A
c
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
a
b2 = a2 + c2 - 2ac cos b
b
c2 = a2 + b2 - 2ab cos g
B
Dal teorema di Carnot, possiamo ricavare gli angoli di un
triangolo, conoscendone i tre lati. Ad esempio dalla
relazione
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
b c -a
cos a =
2bc
2
possiamo ricavare
2
2
e quindi a, poiché esiste un unico angolo compreso tra 00 e
1800 avente un dato coseno.
Utilizzando il teorema di Carnot, possiamo risolvere
un triangolo qualunqe, in due casi
• caso 1: dati due lati e l’angolo compreso
• caso 2: dati i tre lati
CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c, a
C
g
b
a
a
b
c
A
B
a = b  c - 2bc cosa
2
2
a 2  c2 - b2
cos b =
2ac
2
2
2
a b -c
cos g =
2ab
da cui si ricava b
da cui si ricava g
CASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, c
b
C
g
a
a
b
c
A
B
b c -a
cos a =
2bc
a 2  c2 - b2
cos b =
2ac
2
2
2
a b -c
cos g =
2ab
2
2
2
da cui si ricava a
da cui si ricava b
da cui si ricava g
In questo ultimo caso il problema ha soluzione solamente se
cos a, cos b, cos g sono compresi tra -1 ed 1, altrimenti non
esiste alcun triangolo che ha i tre lati quelli dati.
Vediamo ora un teorema che da la relazione tra un lato di
un triangolo e l’angolo opposto.
Consideriamo un triangolo
acutangolo ABC.
Tracciamo l’altezza CH, di
lunghezza h e consideriamo
i triangoli rettangoli ACH e
CHB; risulta che:
h = a sen β e h = b sen α, ma allora: a sen β = b sen α, cioè
a
b
=
sena senb
Si può certamente estendere questo discorso anche al lato c
(basta girare la figura e considerare a come base).
Abbiamo così ottenuto il
Teorema dei seni
In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo
opposto è costante, ed è uguale al diametro della
circonferenza circoscritta al triangolo.
b
C
g
a
A
a
b
c
=
=
sen a sen b sen g
a
b
c
B
Il teorema dei seni ci consente di
risolvere un triangolo dato un lato e i
due angoli ad esso adiacenti.
CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c, a, b
C
b
g
a
b
c
A
a
g = 180 - a - b
0
c sen a
a=
sen g
c sen b
b=
sen g
B
poiché a  b  g = 1800
dal teorema dei seni
dal teorema dei seni
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
I teoremi del seno e del coseno ci
permettono di risolvere i problemi
introdotti precedentemente.
ESERCIZIO 1 :
Il problema della guida radar del missile.
RA = 12 km RM = 20 km ARM = 65°
Per calcolarci la distanza AM = b, si fa uso della formula b²=a²+c²-2ac cos β,
sostituendo i valori noti si ottiene:
b²=12²+20²-2*20*12cos 65°, svolgendo i calcoli si trova: b ≈ 18,47km.
Essendo noti tutti i lati e un angolo è ora possibile determinare l’angolo γ, che
individua la rotta da seguire per raggiungere il bersaglio A :
b
c
=
senb seng
ovvero
c
seng = senb
b
Quindi sen γ = 0,589 ossia γ=36°.
ESERCIZIO 2 :
Il problema di determinare la posizione di una nave a partire dai dati di due radio
goniometri è schematizzato in figura dal triangolo ABN.
AB = c = 400 km;
α = 50°;
β = 110°
si vogliono conoscere le lunghezze a e b.
Osserviamo che noti α e β
possiamo conoscere
anche l’angolo γ = 180° 110° - 50° = 20°.
Noti tre angoli e un lato si
può utilizzare il teorema
dei seni:
a
400
=
sen50 sen 20
b
400
=
sen110 sen 20
e quindi
e quindi
sen50
a = 400
 895,5Km
sen 20
sen110
b = 400
 1099 Km
sen 20