1stweek_lezione2

Lezione 2
• Caratteristiche fondamentali delle particelle:
massa
momento angolare e spin
carica e momento magnetico
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Particelle elementari
Le particelle elementari possono essere classificate sulla base di diverse loro
caratteristiche:
• Massa
• Spin o momento angolare intrinseco  classificazione in bosoni e
fermioni ( simmetria della funzione d’onda associata)
• carica elettrica
• momento di dipolo magnetico
• tipo/i di interazione a cui è soggetta una particella  classificazione in
bosoni mediatori e particelle di materia (leptoni, adroni, quark)
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Massa
La massa di una particella o di un nucleo è definita come la sua energia nel
sistema di riferimento in cui essa/o è a riposo:
E = mc2
Un sistema composto da più particelle (come un nucleo) ha una massa pari a:
Mc2 = S (mic2 ) + Eint
dove Eint è l’energia di interazione del sistema. Per un nucleo che contiene Z
protoni e N neutroni avremo:
M(Z,N) c2= (Zmp + N mn)c2 – B
perchè l’energia di un sistema legato è negativa.
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Momento angolare orbitale e spin
Lo spin o momento angolare intrinseco è un concetto puramente
quantistico che non ha un equivalente classico.
Il momento angolare orbitale è cosi definito:
  
L r p
Classicamente esso può assumere qualunque valore.
Quantisticamente invece può assumere solo determinati valori e orientazioni nello
spazio.
Ricordiamo che, poichè l’operatore impulso è rappresentabile come:


p-i 
allora gli operatori quadrato e terza componente del momento angolare saranno dati
dalle espressioni seguenti:
 
 

L z  i x
 y   i
x 

 y
 1 

1 2 

L   
sin 

2
2 
 sin   
 sin  
2
2
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Momento angolare orbitale (continua)
Tali operatori soddisfano alle regole di commutazione seguenti:
[ Lx,Ly ] = i Lz
[ Lz,Lx ] = i Ly
 in breve: [ Li,Lj ] = ieijk Lk
[ Ly,Lz ] = i Lx

[ L2,Li] = 0
i=x,y,z
La funzione d’onda di una particella avente momento angolare definito
è autofunzione di L2 e di Lz e ha i seguenti autovalori:
L2 Ylm = ħ2 l(l+1) Ylm
Lz Ylm = ħ m Ylm
lЄN
m Є Z e –l ≤m ≤+l
Pertanto i valori accessibili al momento angolare e alla sua terza
componente sono quantizzati. La condizione che le funzioni sulle
quali si applicano tali operatori siano periodiche per φ → φ+ 2p
porta ad escludere momenti angolari semiinteri.
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Momento angolare orbitale (continua)
Quando il sistema è composto da più particelle, i momenti angolari si
sommano tra loro in un unico momento angolare le cui componenti sono date
dalla somma delle singole componenti dei momenti angolari individuali.
Per la somma vale la regola seguente: dalla composizione dei momenti
angolari di due particelle descritte rispettivamente dai numeri quantici:
L1 M1  e L2 M2 
possiamo ottenere uno stato con i numeri quantici seguenti:
L M 
tali che:
 L1 - L2   L  L1 + L2
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Spin
Se invece consideriamo un operatore vettoriale S dotato di relazioni di
commutazione identiche a quelle dell’operatore L, ma che sia rappresentato da
matrici che operano su uno spazio con base discreta, è possibile ottenere anche
valori semiinteri.
Le regole di commutazione dell’operatore sono quelle usuali:
[ Sx,Sy ] = i Sz
[ Sz,Sx ] = i Sy
 in breve: [ Si,Sj ] = ieijk Sk
[ Sy,Sz ] = i Sx
[ S2,Si] = 0
i=x,y,z
Le matrici di Pauli sono una possibile rappresentazione e servono a rappresentare il
numero quantico dello spin per le particelle a spin ½:
 0 1
σ 1  

 1 0
0  i
σ 2  

i 0 
1 0 
σ 3  

 0  1
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Spin (continua)
L’operatore di spin sarà cosi definito:
Si = ½ s i
S2 ha autovalore
s(s+1) = ½ ( ½ +1) = ¾
ed S3 (o Sz) ha due autovalori possibili:
ms = ± ½
Per ogni valore di s (intero o semiintero) è possibile trovare una
rappresentazione matriciale di dimensione 2s+1. Lo spin è dunque
considerabile come un momento angolare intrinseco in quanto è
un’osservabile avente tutte le caratteristiche di un momento angolare ma
che non opera sull’ordinario spazio tridimensionale. Lo spin si somma al
momento angolare orbitale a dare il momento angolare totale J della
particella:
J=L+S
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Spin (continua)
La composizione di due particelle di spin 1/2 fornisce due stati possibili, uno di
tripletto di spin e uno di singoletto di spin:
S1 = 1/2 MS1=  1/2
S2 = 1/2 MS2=  1/2
S = S 1 + S2
1)
S=0
 -  S1 - S2   S  S1 + S 2 
-S  MS  +S  MS = 0

0
1
un solo stato possibile:
STATO DI SINGOLETTO DI SPIN
2)
S=1
-S  MS  +S  MS = 0, 1 tre stati possibili:
STATO DI TRIPLETTO DI SPIN
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Quantizzazione dello spin
La quantizzazione del momento angolare è stata dimostrata dall’esperimento di
Stern e Gerlach (1922). Un fascio di elettroni (nel caso dell’esperimento originario
si trattava di atomi d’Ag) di energia nota vengono fatti passare attraverso un
campo magnetico non uniforme in intensità ma di direzione costante (ad esempio
lungo z). L’energia potenziale del momento magnetico m dell’elettrone nel campo
magnetico B, diretto lungo z è:
U=-m · B
L’elettrone sarà soggetto pertanto a una forza F diretta lungo z:
Fz = - ∂U/ ∂z = m ∂B/ ∂z
L’esperimento dimostra che gli elettroni vengono separati in due fasci discreti,
uno diretto in alto e l’altro in basso. Questo indica che il momento magnetico è
quantizzato e poichè il momento magnetico è proporzionale allo spin, ciò
significa che anche lo spin può assumere solo valori discreti.
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Classificazione delle particelle in base allo spin
•
BOSONI:
particelle a spin intero, lo sono tutte le particelle
mediatrici di forza e i mesoni
Es. fotone mediatore dell’interazione elettromagnetica (S=1)
bosoni Z0 , W± mediatori dell’interazione debole (S=1)
gluoni (i=1,…,8;mediatori dell’interazione forte S=1)
mesoni: pioni (p+ , p-, p0) e Kaoni (S=0), r , w (S=1)
• FERMIONI: particelle a spin semi-intero; tutte le particelle materiali
stabili sono fermioni; esistono anche fermioni non stabili
Es. elettrone, protone, neutrone, quarks (S= ½)  particelle stabili
L  particella instabile
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Funzione d’onda - Spin
Esiste un importante legame tra lo spin e il comportamento della
funzione d’onda che descrive un sistema a N particelle. La funzione
d’onda che descrive N bosoni è simmetrica per scambio di due
particelle, quella che descrive N fermioni è invece antisimmetrica:
Y(1,2) = + Y(2,1)
Y(1,2) = - Y(2,1)
simmetrica – bosoni
antisimmetrica – fermioni
Da ciò consegue il principio di esclusione di Pauli per i fermioni. Preso
un sistema di N fermioni identici (= con gli stessi numeri quantici), la
funzione Y(1,2) dovrebbe essere uguale all’opposto di se stessa e
pertanto un simile sistema non può esistere. I fermioni devono avere
almeno un numero quantico che li differenzia (ad es. la terza
componente dello spin, spin “up” e spin “down”).
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Carica elettrica
La carica elettrica è quantizzata, in multipli interi della carica elementare che è
quella dell'elettrone (qe = 1.602  10-19 C)
La carica della particella fa sì che essa venga accelerata da un campo elettrico
e, se essa è anche in moto, deflessa da un campo magnetico in seguito alla
forza di Lorentz:
  
FB  q E  v  B
Parte elettrica:

 qE
 a
m


ma q E

diretta lungo la direzione del campo E
Parte magnetica: la componente v rimane inalterata
la componente v viene modificata in direzione non in modulo

v

B

v

B

v
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Momento di dipolo magnetico
Una particella carica dotata di momento angolare L, si comporta ruotando come
una spira percorsa da corrente e genera pertanto un campo magnetico, descritto
da un momento di dipolo magnetico:
n
r
m  iSn
q
q
qω
q v
i 


T 2π 2π 2π r
ω
S  π r2
 q v 2  qvr  qmvr
 
q 
μ niSn
πr n
n

L
2π r
2
2m
2m
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Momento di dipolo magnetico (continua)
In meccanica quantistica, l’operatore di momento angolare L2 applicato ad un
autostato fornisce autovalori ħ2 l(l+1); quindi L è esprimibile in unità di ħ, che può
essere fattorizzata. Lavorando inoltre in unità di Gauss, la costante di
proporzionalità tra m e L diventa quindi: (q=Ne dove e è la carica dell’elettrone)


e 
e
μN
L  N μ0 L  μ0 
2mc
2mc
MAGNETONE
Se m è la massa dell’elettrone, m0 prende il nome di magnetone di Bohr (mB) e ha il
valore:
mB = e ħ / 2mec = 0.5788· 10-14 MeV Gauss-1 MAGNETONE DI BOHR
Se m è la massa del protone m0 prende il nome di magnetone nucleare (mN) e ha il
valore:
mB = e ħ / 2mpc = 3.1525· 10-18 MeV Gauss-1 MAGNETONE NUCLEARE
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Momento di dipolo magnetico (continua)
Prendiamo ora una particella carica dotata solo di spin e con momento angolare
orbitale nullo. Se lo spin potesse essere immaginato come un semplice moto di
rotazione di un corpo rigido su se stesso, allora ci si potrebbe attendere che la stessa
relazione dovrebbe legare il momento magnetico e lo spin, cioè:
mS= m0 S
Non è invece cosi e la relazione che lega mS e S è:
mS= m0 gS S
dove gS è chiamato “rapporto giromagnetico” della particella.
Per particelle di spin 1/2 senza struttura tale rapporto può essere ricavato
dall’equazione di Dirac. Uno dei maggiori successi della teoria di Dirac fu appunto
la predizione del “rapporto giromagnetico” dell’elettrone (gS = 2.0024) misurato
successivamente.
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Momento di dipolo magnetico (continua)
In generale per una particella dotata di momento angolare orbitale e di
spin, il momento di dipolo è dato dalla relazione:
m  m0 gL L + gS S )
dove gL = q/e = N
Esso dipende pertanto non soltanto da L e da S ma anche dalla loro
orientazione relativa.
Il momento di dipolo magnetico della particella ci fornisce
l’accoppiamento con un campo magnetico esterno B attraverso una
hamiltoniana:
Hint = - m  B
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