Esame di Elementi di Fisica Teorica

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Esame di Elementi di Fisica Teorica
Corso di Laurea in Scienza dei Materiali - Prof. Michele Cini
Prova scritta del 19 Giugno 2007, tempo disponibile 90 minuti.
Problema 1
−
Si vuol preparare fascio di atomi di Ag in uno stato di spin alto lungo la direzione →
n =
(sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), in modo che siano soddisfatte le seguenti condizioni: i) la probabilita’
P (z, ↑) che una misura della componente z dello spin dia come risultato ↑ deve essere 1/4 ii)la
probabilita’ P (y, ↑) che una misura della componente z dello spin dia come risultato ↑ deve essere
estrema. Come devono essere presi gli angoli? (Basta una soluzione).
Problema 2
Dato un sistema unidimensionale con lunghezza caratteristica L e Hamiltoniano
H = T̂ + V̂ ; T̂ =
p2
h̄2 4
; V̂ =
x,
2m
6mL6
si calcoli la migliore stima variazionale allo stato fondamentale utilizzando la funzione di prova
2
φ(x) = Ae−bx .
Confrontando con un oscillatore armonico per cui L =
stato fondamentale.
q
h̄
mω
discutere come cambia l’energia dello
Problema 3
E’ dato un sistema classico di N particelle in 1 dimensione con lunghezza caratteristica L0 , confinato
fra x = 0 e x = L; l’Hamiltoniana e’
H=
p2
x
− α log , α > 0.
2m
L0
∂
log Z, con Z funzione di parSi calcoli l’equazione di stato dalla formula per la pressione P = KT ∂L
tizione.
2
Svolgimento Problema 1
Ã
!
cos 2θ
→
Lo stato di spin alto e’ dato da| ↑, −
ni =
, quindi si richiede cos2 ( 2θ ) = 14 → cos( 2θ ) = ± 21
sin 2θ eiφ
√
θ
π
2π
θ
3
→ 2θ = π3 oppure 2θ = 2π
e
poiche’
θ
≤
π
si
deve
prendere
=
e
quindi
θ
=
e
risulta
sin(
)
=
.
3
2
3
3
2
2
à !
√
1
L’autostato di spin alto lungo y e’ | ↑, yi = √12
. Pertanto P (y, ↑) = 41 (1 + 3 sin φ)2 + 34 cos2 φ;
i
derivando si trova la condizione cos φ = 0 quindi φ = π2 .
Svolgimento Problema 2
Come’e noto, A = ( 2b
)1/4 . Inoltre, hT̂ i =
π
si trova
h̄2 b
,
2m
e hV̂ i =
b=
e quindi E =
3 h̄2
.
8 mL2
h̄2
b2 .
32mL6
Imponendo
∂E
∂b
= 0 con E = hT̂ + V̂ i,
1
2L2
Per L = x0 E= 38 h̄ω < 12 h̄ω perche’ il potenziale e’ piu’ piatto per x piccoli.
Svolgimento Problema 3
s
Z L
x
p2
1Z
1
2mπ Lαβ+1 1
)
αβ
log(
L0
Z=
dpe−β 2m
=
.
dxe
h
h
β αβ + 1 Lαβ
0
0
Quindi, P L = N KT (1 +
α
).
KT
3
VALUTAZIONE
prova scritta
Il docente
Prof. Michele Cini