Probabilità
una proposta didattica
1
obiettivi
• dare all’alunno, a partire dalla valutazione qualitativa del
grado di incertezza di un evento aleatorio, la consapevolezza
che anche l’ambito del fortuito può essere analizzato
razionalmente;
• far valutare quantitativamente la probabilità di un
evento secondo la definizione classica di probabilità come
rapporto;
• far acquisire la capacità di operare con semplici
proposizioni di calcolo e risolvere problemi con eventi
aleatori composti;
• studiare, con strumenti probabilistici alcuni problemi
delle scienze sperimentali (ereditarietà, fattore Rh);
2
obiettivi
• avviare la comprensione della legge (debole) dei grandi
numeri, facendo vedere in uno schema di prove ripetute, che
eventi casuali, al crescere del numero delle prove, seguono
una “ crescente regolarità”
• recuperare, nell’ambito della probabilità, altri concetti
matematici: frazioni, percentuali, funzioni, disequazioni,
calcolo letterale, logica.
3
Contenuti
Probabilità di eventi semplici
Probabilità di eventi composti
Applicazione della Probabilità alla genetica
4
Metodo
Si è scelto di non presentare definizioni, assiomi e
teoremi, ma di far ricavare le proprietà della probabilità
attraverso situazioni problematiche e con un lavoro su
schede.
La presentazione propone varie situazioni legate a giochi
di fortuna (sacchetti di biglie colorate, carte, dadi, monete):
5
metodo
si chiederà di congetturare il risultato,
di indovinare l’esito delle prove aleatorie
e poi si passerà al tentativo di spiegazione, mediante il
ragionamento volto a chiarire perché certe cose accadono
“più facilmente” di altre
Si è preferito occuparci di probabilità in giochi di fortuna
invece che in situazioni più legate alla vita reale,
le situazioni reali sono troppo complesse
6
metodo
Non si inizia parlando di eventi certi, impossibili, probabili,
come in alcuni libri di testo
Neppure considerando le frequenze di un evento su di un
certo numero di prove
ma il metodo seguito è quello di far
scoprire dagli alunni le proprietà della
probabilità a partire da esempi opportuni.
7
Probabilità di eventi semplici
Si cerca di far comprendere che nel caso che gli eventi
numero
ugualmente possibili:
elementari
siano
un
finito
N
e
tutti
ogni evento elementare ha probabilità 1/N
se un evento A è costituito da m eventi
elementari la sua probabilità è m/N
8
Nelle prime schede della nostra proposta
didattica la soluzione delle diverse
situazioni problematiche è intuitiva.
• Sono disegnate urne contenenti palline bianche o
nere.
• Si fa presente che, sin dalle prime due schede,
(a), si considerano solo gli elementi presenti in
ciascuna urna e,
•
(b), ciascuno elemento ha la stessa opportunità
di essere pescato.
•
Queste prime schede vengono di solito
presentate in prima media.
9
La rappresentazione
Le rappresentazioni delle urne vengono
progressivamente cambiate da
• disegno di palline
• a numeri con a fianco l’indicazione in parola
• e poi numeri con l’indicazione in lettere
( Il passare dalla rappresentazione con
disegni a numeri e quindi alle lettere è un
percorso che si ripete nell’introduzione a
diversi argomenti di matematica come, ad
esempio, nell’introduzione all’algebra).
10
URNE
Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle
palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente,
alcune bianche, altre nere.
Nella 1°urna ci sono una pallina bianca e una nera, nella
2°urna una bianca e nove nere.
Prima urna
Seconda urna
11
Vinci un premio
Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da
una delle due urne.
Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata nell’estrazione.
• In quale urna ti conviene pescare?
• E se le urne fossero così composte?
In quale pescheresti?
Prima urna
Seconda urna
12
Scheda 1.
Per rispondere alla prima domanda notiamo che:
•con nessuna delle due urne la vincita è sicura,
• con nessuna è impossibile,
è tuttavia ovvio
scegliere la prima urna, perché entrambe le urne
contengono 1 pallina bianca,
•ma la seconda contiene molte più nere della prima
13
•cominciamo a dire che sebbene incerta in entrambi i
casi, l’estrazione della bianca è più probabile dalla
seconda urna che dalla prima.
•Non si è ancora introdotta una nozione quantitativa di
probabilità.
14
Scheda 2
1. Come nella scheda precedente vinci un premio se estrai una pallina
bianca da una delle due urne;
Disponi alcune palline bianche e alcune nere nelle due urne
disegnate, in modo che sia più conveniente pescare nella prima
Prima urna
Seconda urna
15
Scheda 2
2. … e in questa urna in quale pescheresti?
1 Bianca
2 Nere
I urna
50 Bianche
100 Nere
II urna
16
Scheda tre
Ti sarai accorto che nella seconda situazione della scheda
precedente è indifferente scegliere la prima urna o la
seconda:infatti, pur essendo diverso il numero delle palline
nelle due urne, in entrambi i casi per ogni pallina bianca ce
ne sono due nere, cioè per ogni possibilità di vincere due di
perdere:
Considera, ora, la seguente situazione
1B
2N
1°urna
1)In quale urna pescheresti?
Scegli e completa una di queste risposte:
• Pesco nella prima perché.........
• Pesco nella seconda perché.........
2B
5N
2°urna
17
Problemi didattici
1° 2° 3° Scheda
18
Nella seconda scheda alla risposta 2 e nella terza
scheda, può capitare che qualche alunno faccia
il confronto tra l’evento favorevole e il suo
contrario
invece che tra i casi favorevoli e la totalità degli
elementi.
I due confronti sono equivalenti:
19
La relazione “… è maggiore di ..”
B su N > b su n B su (B +
N)> b su (b + n) della seconda
urna; dove B indica il numero
delle palline bianche e N
quello delle palline nere della
prima urna, mentre b e n
indicano rispettivamente il
numero delle palline bianche
e quello delle palline nere
nella seconda urna. B + N è il
totale delle palline della I
urna e b + n il totale di quelle
della II urna.
½ >2/5 1/3>2/7
0,5 >0,40,33>0,28
20
le due scritture hanno pari comodità?
• E’ facile dimostrare
che B su N > b su n è
equivalente a Bn>bN.
• La disuguaglianza B
su (B + N)>b su (b + n)
si può scrivere,
mediante il prodotto in
croce, nella forma
B(b+n) >b(B+N).
• Applicando la
proprietà distributiva
a entrambi i membri,
si ottiene che
Bb+Bn>bB+bN che
evidentemente è
equivalente a Bn>bN.
• ½>2/5(15)>(22)
• 1/(1+2)>2/(2+5)
• 1(2+5)>2(1+2)
• 1 2 + 1 5>2 1 +2 2
• 7>6
21
Scheda 3
Nelle risposte alle domande della prima scheda l’intuizione
suggerisce le corrette risposte, mentre nella scheda tre il
confronto non è così immediato
• è richiesto il confronto tra due rapporti,
• non è più così intuitivo
• nella scheda tre deve essere calcolato il rapporto
22
misura
Si giunge all’idea di misurare o meglio di esprimere quantitativamente
la probabilità dell’estrazione mediante un rapporto tra le palline
bianche e il totale delle biglie.
Si ha così un valore numerico che ci consentirà di paragonare facilmente la
probabilità di eventi diversi non immediatamente confrontabili tra loro.
Questa misura è rappresentata,per ora, da un numero razionale.
23
Definizione di probabilità di
un evento
Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei
casi possibili;
si richiede che:
il numero dei casi possibili sia finito,
gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili.
24
definizione
Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei
casi possibili è la “misura” della possibilità che si verifichi
un certo evento.
La probabilità viene introdotta come misura definita in un
insieme.
I sottoinsiemi di questo insieme vengono detti eventi;
gli elementi
elementari.
dell’insieme
vengono
detti
eventi
La definizione nasce in un ambiente teorico, anche se
legato ad oggetti concreti (urne, palline). Non è sembrato
opportuno ricorrere a situazioni sperimentali, anche se in
molti testi di scuola media inferiore questo è un punto di
partenza per lo studio della probabilità.
25
Perché è più conveniente B su T
• Riprendendo le situazioni precedenti delle schede 2 e 3,
si può concludere che il rapporto B su T (dato T come totale
delle palline presenti nell’urna) o anche N su T è da preferire,
le frazioni che prendiamo in considerazione assumono un
limitato intervallo di valori,compresi tra 0 e 1 estremi
compresi.
Con la formula B su N o N su B le frazioni potrebbero
raggiungere anche valori maggiori di 1, come nel caso si
voglia calcolare la probabilità di estrarre una pallina bianca tra 8
palline bianche e 3 nere in ogni caso lo stesso B su N non
sarebbe definito nel caso N=0.
26
Se invece l’insegnante volesse evitare il presentarsi di questo
problema in questo momento del programma può introdurre la
situazione con il seguente problema
Esempio
ci sono due insiemi di buste :
nel primo insieme ci sono 8 buste di cui 5 contenenti un
premio,
nel secondo insieme ci sono 10 buste di cui 7 contenenti
un premio.
Se dovessi pescare a caso una busta per trovare un premio
in quale pescheresti?
(Oppure presentando esempi riguardanti la probabilità nel
lancio di un dado).
27
Quali sono gli sviluppi didattici che queste prime schede
possono far nascere?
• La probabilità di un evento viene data come misura, cioè
essa misura la facilità con la quale può presentarsi quel
evento.
• La probabilità di un evento è un numero ottenuto dal
rapporto o quoziente tra il numero dei casi favorevoli e
quelli possibili.(Per ora numero razionale).
• Si può approfondire il confronto fra frazioni, la scrittura
di numero razionale come coppia di due numeri interi [a,b]
o in decimale, o riferito a 100 in scrittura percentuale.
E’un’occasione per poter evidenziare l’uguaglianza di a:b
= a/b 1:2=0,5 riferito a 100 scrivo 0,50 o 50%.
28
approfondimenti
E’ difficile per uno studente delle medie
comprendere a fondo il concetto di rapporto.
abbiamo utilizzato la costruzione di urne e il
contesto probabilistico nel quadro concettuale
della proporzionalità in quanto siamo convinti che
sia opportuno, nell’acquisizione di concetti
specifici, delineare domini piuttosto ampi di
conoscenza che coprono una grande varietà di
situazioni e facilitino la comprensione.
29
Prima scheda
• Per vincere un premio devi estrarre una
pallina bianca da un’urna che contiene
3 palline bianche e 5 nere.
• Fai l’esempio di almeno tre urne in
modo che per avere il premio sia lo
stesso pescare nell’urna assegnata o in
qualsiasi delle tue. Spiega con quale
criterio hai costruito le tue.
30
Seconda scheda
– COMPLETA la seguente tabella in modo che presenti la
composizione di otto urne, tutte “equivalenti”
B
15
6
N
25
10
T
21
45
24
88
urne 1°u 2°u 3°u 4°u 5°u 6°u 7°u 8°u
31
Queste schede hanno lo scopo di:
• riprendere e rafforzare il concetto
probabilistico,
• osservare come avviene la costruzione del
ragionamento proporzionale.
La costruzione di urne permette di usare, in un
contesto non banale, numeri interi.
In seguito si chiede: spiega come hai costruito
le tue urne. …… Spiega a un tuo compagno
un criterio generale per costruire urne che
siano “equivalenti” a quelle date …
32
esercizio
• In un urna ci sono 12 palline bianche e 8
palline nere,
• in una seconda urna ci sono 15 palline
bianche.
Quante palline nere devo aggiungere come
minimo nella seconda urna perché sia più
conveniente pescare nero dalla seconda
urna piuttosto che dalla prima?
33
approfondimento
• Le diverse strategie di soluzione evidenziano a quali conoscenze
matematiche ciascuno alunno faccia riferimento.
• Ad esempio, frazioni equivalenti 8/20 = 2/5=10/25. Se si mettono 10
nere nella seconda urna si ottiene 10/25 cioè una frazione
equivalente a 2/5. Basta mettere 11 palline nere nella seconda urna
per risolvere la situazione.
• Oppure il rapporto tra le palline bianche nelle due differenti urne
è: B/b=12/15=4/5 si trova lo stesso rapporto tra le palline nere
N/n=(42)/(52)=8/10 quindi, aggiungendo nella seconda urna 11
palline invece che 10 come nell’uguaglianza data, si risolve la
situazione.
• Può essere altrimenti risolto, utilizzando come strumento
risolutivo, l’impostazione di un’equazione di primo grado:
2x +30=5x x=10.
• Le strategie di soluzione possono essere confrontate e discusse.
34
In terza media si può ancora riprendere la probabilità
nel nell’ambito delle funzioni
.
• In un’urna si trova una pallina bianca insieme a due palline nere.
Ne estraggo una a caso; se la pallina estratta è bianca vinco un
premio.
• Qual è la probabilità di vincere un premio?
• Tenendo fisso il numero delle palline bianche, pensa di far
variare il numero delle palline nere.
• Come varia in corrispondenza, la probabilità di vincere il
premio? Fai qualche esempio per alcuni valori del numero di
palline nere. Compila una tabella
• Disegna un grafico, mettendo in ascissa il numero delle palline
nere e in ordinata la probabilità di vincere un premio.
• Disegna anche, a parte, il grafico della legge di proporzionalità
inversa.
• Sai dire se ci sono somiglianze tra i due grafici?
• Se il regolamento del gioco dice che il numero totale di palline
nell’urna deve essere primo, e che la pallina bianca deve essere
una sola, quante palline nere preferiresti mettere nell’urna, se
35
dipendesse da te?
Anche questa situazione permette di approfondire alcuni argomenti
• si abituano i ragazzi a lavorare e a “vedere”sia su tabelle che su
grafici o su scritture simboliche.
• Il grafico che si ottiene in questo caso specifico in un riferimento
cartesiano oltre ad avere un punto sull’ordinata, è un insieme di
punti (allineati) e non sarebbe comunque possibile interpretare
nel modello di partenza tutti i punti “intermedi”.
• In alcuni casi invece (lato e perimetro del quadrato; lato del
quadrato e sua diagonale,base di un rettangolo al variare
dell’altezza con area costante …..) anche se il grafico che si
ottiene con casi particolari è discreto, ha senso pensare di
completarlo con i punti “intermedi” che si interpretano bene nel
modello di partenza (questione “discreto- continuo”).
• In conclusione anche queste situazioni problematiche possono
essere utili per concorrere in modo sostanziale alla costruzione
dell’idea di funzione
36
Scheda 5
esercizio
1B
9N
• Scrivi a fianco di ogni urna la
probabilità (espressa in
frazione ed in percentuale)
di estrarre una pallina
bianca:
2B
7N
50B
100N
3B
1N
37
Scheda sei
Oggi un insegnante della tua classe vuole affidarsi al caso
per interrogare un ragazzo.
Pesca da un sacchetto della tombola contenente solo i
numeri corrispondenti sul registro di classe agli alunni
presenti.
• Qual è la probabilità che tu sia interrogato?
• Qual è la probabilità che venga interrogato un ragazzo il
cui cognome inizia con la lettera....? E con la lettera...?
• E’ più facile che sia interrogato un maschio o una
femmina?
• Supponi che in una delle prossime lezioni l’insegnante usi
ancora lo stesso modo di interrogare.
Se quel giorno sei presente a scuola la probabilità che tu sia
interrogato sarà ancora uguale a quella di oggi o potrà
cambiare? Giustifica la tua risposta.
38
Scheda 6
•si vuole far scoprire P()=0.
•La domanda 4 si propone di far osservare che la probabilità di uno stesso
evento può cambiare se si modifica l’esperimento.
•Con questa scheda e con gli esercizi si vuole arrivare a far comprendere che
la probabilità di un evento è un numero tale che 0p1, e si cerca di chiarire
il significato della parola “evento”.
•Inoltre la scrittura dell’intervallo numerico: 0p1 permette di far riflettere sia
sull’insieme dei numeri razionali sia sulla simbologia usata di uguale maggiore
o uguale e minore. Difficoltà che si riscontreranno in terza media quando si
affronteranno le disequazioni.
39
Esercizi
1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la
probabilità di estrarre:
a) il fante di cuori
b) un fante
c) una figura
2) Lanciando un dado qual è la probabilità che esca:
a) Il numero 6
b) Un numero dispari
c) Un numero pari?
3) A una lotteria con 120 biglietti quanti ne devi comperare per
avere probabilità 1/5 di vincere un premio in palio,
nell’ipotesi che vengano venduti tutti?
40
esercizi
4) Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha ottenuto
come probabilità di un evento il numero 4/3.
Ti sembra un risultato possibile?
5) In un’urna ci sono 5 palline nere. Quante palline
bianche devi aggiungere perché la probabilità di
estrarre una pallina bianca sia 2/7? E perché sia 2/3?
41
Le schematizzazioni aiutano a risolvere
problemi
• Davanti a situazioni problematiche è più
facile la soluzione se si ricorre a
rappresentazioni grafiche chiarificatrici.
• Una di queste schematizzazioni è il grafo
ad albero.
42
Può essere usato nei problemi con frazioni come
:
operatori
1) Un negoziante ha
venduto a un cliente i
5/16 di una pezza di
stoffa, ad un secondo
cliente i 9/32 della
stessa pezza,ad un
terzo cliente il
rimanente. Quale
frazione della stessa
pezza di stoffa ha
venduto al terzo
cliente?
….
5/16
9/32
1°
2°
3°
…
43
Altro esempio
Un commerciante ha acquistato una cassa
di bicchieri. All’apertura della cassa trova
che i 3/10 sono difettosi; che 1/3 dei
difettosi sono rotti, gli altri sono incrinati.
a) Quale frazione rappresenta i bicchieri non
difettosi?
b) Quale i bicchieri rotti ?
c) Quale quelli incrinati?
44
Secondo esercizio
…
3/10
Df
Non dif
1/3
…
Rott.
Incr.
45
Quanti e quali sono i possibili numeri di tre cifre, diverse
fra loro, che si possono ottenere utilizzando le cifre del
numero 452?
5
2
2
452
2
5
4
4
2
4 4
5 2
425
5
542
524
254
4
5
245
46
Scomposizione di un naturale in numeri primi
84
2
42
2
21
3
7
47
In un urna ci sono 4 palline bianche, 3
Grafo ad albero
rosse, 2 nere e 1 verde.
Come puoi facilmente verificare la probabilità di estrarre una
pallina bianca è 2/5. Rappresentiamo la situazione con il
seguente schema che si chiama”grafo ad albero:
Completa
il
grafo
mettendo al posto dei
puntini le probabilità di
ciascun evento
2/5 ….
….
Bianca
Nera
Rossa
….
Verde 48
Scheda 8
la situazione viene rappresentata con un grafo ad
albero,
dove alla fine di ciascun ramo è scritto l’evento
considerato
lungo ogni ramo si deve leggere la probabilità
dell’evento corrispondente.
La somma di tutti i numeri scritti lungo i rami deve
essere uguale a uno.
Per la probabilità dell’unione di eventi viene presentata
prima per eventi disgiunti, poi per eventi qualunque.
49
Lancio di un dado
Un dado ha tre facce rosse, due blu e una bianca.
Lanciando il dado qual è la probabilità di ottenere blu?
Rappresenta la situazione con un grafo ad albero.
50
Scheda nove
A una lotteria si vendono 150 biglietti.
Gianni ne ha comperati 10 e suo fratello Luigi 15. Nessun altro
nella loro famiglia ha acquistato biglietti.
• Qual è la probabilità che Gianni vinca un premio?
P(G)=
• Qual è la probabilità che lo vinca Luigi?
P(L)=
• Qual è la probabilità che arrivi il primo premio nella loro
famiglia?(Scrivi il calcolo)
P(F)=
• Verifica la seguente uguaglianza, utilizzando i risultati
ottenuti rispondendo alle domande precedenti:
P(G) + P(L) = P(F)
51
scheda 9
fa scoprire “la regola della somma “ nel caso di
eventi disgiunti.
La probabilità di due eventi disgiunti gode della proprietà
della somma.
P(AB) = P(A) + P(B) se AB =
E’ importante sottolineare il fatto che non sempre abbiamo
situazioni che godano della proprietà della somma.
Esempio se ad un litro d’acqua, che ha una temperatura di
50 C°, aggiungo un litro d’acqua a temperatura 100C°
non ottengo 2 litri d’acqua che misurano 150C°.
52
Scheda dieci
In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4
all’arancia, 5 al miele.
1) Qual è la probabilità di estrarre:
a) Una caramella alla ciliegia;
b) Una caramella alla arancia;
c) Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o all’arancia)?
2) Rappresenta la situazione completando il seguente
grafo ad albero:
Osserva che la somma delle
probabilità dei primi due rami è
uguale al numero ottenuto
....
...
... rispondendo alla domanda1c
C
A
M
53
3) Somma le probabilità di tutti i rami del grafo.
a) Quale numero ottieni?
b) Questo numero di quale evento rappresenta la probabilità?
c) Potevi prevedere il risultato ripensando alla definizione di
probabilità? Perché?
54
scheda 10
Si arriva al concetto di eventi incompatibili e si vuole
anche far riflettere sull’uso di “o” nel senso latino “vel” e
dell’unione fra insiemi.
Se indichiamo con C, l’evento “uscita di una caramella
alla ciliegia”, con A, l’evento “uscita di una caramella
alla arancia”,
calcolare l’evento “uscita di una caramella alla frutta”,
cioè alla ciliegia o alla arancia,
la probabilità è P( CA)= P(C) + P(A)= 7/12
Con il gruppo di domande al punto 3 si vuole far scoprire
che la probabilità dell’evento certo è 1 (cioè P()=1).
55
Riflettere su eventi compatibili o non
Si possono richiamare, con opportune domande e
presentando esempi, le operazioni di unione e di
intersezione tra insiemi e riprendere in
considerazione i connettivi logici “o” e “e”.
56
Connettivo logico “e”
Due o più proposizioni semplici si possono comporre attraverso
la congiunzione.
• L’operatore della congiunzione che ha come simbolo , si legge
e
• Consideriamo due proposizioni:
• p:”8 è un multiplo di 4”
• q:” 8 è un multiplo di 2”
• La congiunzione di queste due proposizioni semplici è:
pq: “8 è un multiplo di 4 e di 2”
• Una proposizione composta formata da due proposizioni
semplici unite dal connettivo “e” è vera solo se entrambe le
proposizioni semplici sono vere.
57
Tabella di verità
p
Vero
q
Vero
pq
Vero
Vero
Falso
Falso
Falso
Vero
Falso
Falso
Falso
Falso
58
Il connettivo “e” corrisponde all’operazione di
intersezione di insiemi.
A = xxN e x 12
B = xxN e x 8
e la loro intersezione
AB = xxN e 8 x 12
ossia 9,10,11
La proposizione indeterminata
composta:
x è un numero naturale
maggiore di 8 e minore di 12 ha
come insieme verità AB.
59
La disgiunzione può essere esclusiva o
inclusiva.
• L’operatore della disgiunzione ha come simbolo
che si legge “o”
• 1°“io esco o sto a casa”
• 2°“io mangio o ascolto la radio”
• Nella prima proposizione si può verificare solo una
delle due situazioni
• mentre nella seconda è possibile che si verificano
anche entrambe:
• nel primo caso la disgiunzione è esclusiva (una
situazione esclude l’altra)
• nel secondo è inclusiva (entrambe le situazioni
possono verificarsi).
60
Connettivo “o”
• Una proposizione composta
formata da due proposizioni semplici
unite dal connettivo “o”
è falsa
solo se
entrambe le proposizioni semplici sono false.
61
il connettivo “o”(vel) corrisponde all’operazione di
unione tra insiemi
• Dati due insiemi A e B esiste un insieme che contiene
tutti gli elementi di A e di B. Questo insieme si dice
l’insieme unione di A e B ed è definito da
• A ∪ B = {x : (x ∈A) ∨ (x ∈B)}
• La congiunzione o usata in senso non esclusivo
definisce l’unione tra due insiemi Più semplicemente
considero l’insieme A ={x è un numero naturale
divisore di 12} ossia A ={1,12,2,3,4,6} e l’insieme B
={x è un numero naturale divisore di 14} ossia B =
{1,14,2,7} L’insieme dei divisori di 12 o di 14 è
l’insieme unione di A unione B definito da A∪B
={1,2,3,4,6,12,7,14}
62
p
Il quadrato
ha 4 angoli
uguali (vero)
q
Il quadrato
ha 4 lati
uguali (vero)
9 è multiplo
di 3 (vero)
9 è multiplo
di 6 (falso)
pq
Il quadrato
ha 4 angoli o
4 lati uguali
(vero)
9 è multiplo
di 3 o di 6
(vero)
10 è divisibile 10 è multiplo 10 è divisibile
per 3 (falso) di 7 (falso)
per 3 o è
multiplo di 7
(falso)
63
Tabella di verità
p
q
pq
vero
vero
vero
falso
vero
vero
vero
falso
vero
falso
falso
falso
64
Scheda undici
Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle
Evento
Elenco
dei casi
favorevoli
Uscita di un
n°<3
Uscita del n°1
Uscita del n°2
Uscita di un
n°>4
Uscita di un
n°<3 o >4
Numero
dei casi favorevoli
2
Probabilità
Verifica che:
P3 = P1+P2
P1=2/6=1/3
P2 =
P3 =
65
Scheda 11
Si formula la regola della probabilità dell’unione di
eventi sia nel caso in cui siano disgiunti, sia nel caso
più generale.
A: uscita di un numero <3
Gli eventi elementari di A sono:uscita dell’1,uscita del
2,quindi si ha:
P(A)=2/6=1/3
B: uscita di un numero >4
Gli eventi elementari di B sono: uscita del 5, uscita
del 6, quindi:
P(B)=2/6=1/3
66
P(AB)
Gli eventi elementari di AB sono:
uscita del numero 1, uscita del 2,
uscita del 5, uscita del 6, quindi si
ha:
P(AB)= 4/6=2/3=1/3+1/3
67
Verifica che
Evento
P6 P4 +P5
Elenco
dei casi
favorevoli
Uscita di un
Uscita del n°2
numero primo Uscita del n°3
Uscita del n°5
Uscita di un
n°>3
Uscita di un
numero primo
o >3
Sai spiegare perché non si
possono sommare P4 e P5 ?
Numero
dei casi favorevoli
3
Probabilità
P4=3/6=1/2
P5 =
P6=
68
P6P4+P5
A: uscita di un numero primo
B: uscita di un numero >3
AB: uscita di un numero primo o >3
Gli eventi elementari di A sono: uscita del 2, uscita del
3, uscita del 5, quindi si ha:
P(A)= 3/6=1/2
69
Gli eventi elementari di B sono: uscita del 4, uscita
del 5, uscita del 6, quindi si ha:
P(B)= 3/6=1/2
Gli eventi elementari di uscita AB sono: uscita
del 2, uscita del 3, uscita del 5, uscita del 4, uscita
del 6, quindi si ha:
P(AB)=5/61/2+1/2
l’evento “ uscita del numero 5” compare sia nei
casi di A che nei casi di B
70
P6P4+P5
• casi AB non possono essere la somma
dei rispettivi casi,
• l’evento “uscita del numero 5” va contato
solo una volta
71
Queste considerazioni hanno validità
generale:
se A e B sono due eventi che si “intersecano” per uno o
più eventi elementari, cioè sono eventi compatibili, nel
conteggio dei casi di AB occorre fare attenzione a
contare una volta sola gli eventi in comune.
Eventi elementari di AB = eventi elementari di A +
eventi elementari di B meno eventi elementari AB.
In termini di Probabilità
P(AB)= P(A)+ P(B)P(AB).
72
Scheda dodici
1) Riprendi la situazione della scheda 9 in cui abbiamo trovato
P(F) cioè la probabilità dell’evento”vincita della famiglia “
1/60.
Calcola ora la probabilità che il premio non arrivi in quella
famiglia cioè la probabilità dell’evento contrario.
Osserva che questo risultato si può ottenere calcolando la
differenza
1P(F)
2) In un’urna ci sono 20 palline, alcune sono bianche, altre rosse
e 4 nere.
La probabilità di estrarre una pallina bianca è 0,35.
a) Rappresenta la situazione con un grafo scrivendo accanto ad
ogni ramo la probabilità di ciascun evento
b) Calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera.
73
Scheda 12
Si giunge al
complementare.
concetto
della
probabilità
dell’evento
Se si prendono in considerazione due eventi che sono “uno il
contrario dell’altro” cioè due eventi che sono uno
complementare dell’altro,
le loro probabilità hanno somma 1.
74
Proprietà della probabilità:
(si possono inquadrare nella assiomatica di Kolmogorov)
•P(AB)= P(A)+ P(B) se AB =
•Se due eventi A, B sono incompatibili, la probabilità
dell’evento unione è la somma della loro probabilità.
•P(AB)= P(A)+ P(B)P(AB)
•Se due eventi A, B sono compatibili, la probabilità
dell’evento unione è la somma della loro probabilità
meno la probabilità della loro intersezione.
•P()=0
•Probabilità dell’evento impossibile.
75
Probabilità dell’evento certo
P()=1
Probabilità dell’evento certo.
P(CA)=1 P(A)
La probabilità dell’evento A e quello dell’evento
contrario (non A) danno somma 1.
Dove A, B indicano eventi, indica l’evento certo,
l’evento impossibile e CA l’evento contrario di A.
76
Probabilità dell’evento
complementare
Se indichiamo con A un evento e con CA il suo
complementare si scrive allora:
P(A)+ P(CA)=1
da cui
P(CA)= 1P(A)
77
ESERCIZI
1)Abbiamo 5 gettoni rossi. Aggiungi dei
gettoni bianchi e dei gettoni blu in modo
che la probabilità di estrarre un gettone
rosso sia il 20% e quella di estrarre un
gettone bianco sia il 40%.
78
ESERCIZI
2)Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola la
probabilità di estrarre:
• una carta di fiori;
• una figura;
• una carta di fiori o una figura;
• una carta di fiori o di cuori.
3) E’ stato accertato che in una confezione di 1.500 viti, 4 sono
difettose. Qual é la probabilità che prendendone una a caso
questa non sia difettosa?
79
ESERCIZI
4) Si decide di giocare a Tombola (90 numeri in un sacchetto).
Calcola la probabilità che alla prima estrazione venga
estratto:
a) il n°12; b) un n°dispari; c ) un n° primo o un n° pari; d)
un n°multiplo contemporaneamente di 2 e di 7
5) Una società impiega 100 persone,75 uomini e 25 donne. Il
reparto contabilità dà lavoro al 12% degli uomini e al 20%
delle donne; se si sceglie a caso un cognome del reparto
contabilità, qual è la probabilità che sia un uomo? Che sia
una donna?
80
ESERCIZI
6) Abbiamo un sacchetto con 24 palline bianche.
• Quante ne dobbiamo tingere in rosso affinché la
probabilità di estrarre una pallina rossa sia 1/3?
• Quante delle rimanenti palline dobbiamo tingere in blu,
affinché la probabilità di estrarre una pallina blu sia ¼?
• Posso tingere in verde alcune palline, tra le bianche
rimaste,in modo che la probabilità di estrarre una pallina
verde sia
½?
81
Soluzione:a) P(R)= 8/24=1/3. Ne tingo 8 in rosso
Le rimanenti sono 16 cioè 248
P(BLU)= 6/24=1/4
Ne tingo ancora 6 delle rimanenti perché la probabilità di
pescare blu su le 24 palline totali sia ¼.
Le bianche rimaste sono a questo punto 24 (8+6)=10
Che non bastano per colorarle in verde per ottenere P(B)=1/2
82
Esercizi
7) Una ditta mette in commercio 500 sacchetti di
patatine in uno dei quali è stato inserito un gettone
d’argento. Due fratellini, Paolo e Luca, acquistano
rispettivamente 5e 10 sacchetti di patatine.
Qual è la probabilità che:
• Paolo trovi un gettone?
• Luca trovi un gettone?
• Nessuno dei due trovi un gettone?
• Almeno uno dei due trovi un gettone?
83
ESERCIZI
8) Qual è la probabilità che, nell’estrazione del gioco del
lotto (90 numeri) del prossimo sabato, il I° numero
estratto sulla ruota di Milano sia:
a) il n° 9;
b) un n°divisore di 9
c) un n° divisibile per 18;
c) un multiplo di 12 o di 18.
84
Lancio di due dadi
Consideriamo il lancio di due dadi non truccati, le cui facce
sono numerate, da 1 a 6 e chiediamoci quanti sono i casi
possibili?
Utilizzando delle coppie ordinate, in cui il primo n°si
riferisce all’esito del primo dado e il secondo n° si riferisce
all’esito del secondo si possono elencare tutti i casi
possibili (come nella tabella seguente a doppia entrata)
85
Casi possibili
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
2°dado
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
1°dado
86
Somme
gli esiti possibili nel gioco sono 36:
la simmetria della situazione ci suggerisce che si tratta
di eventi con la stessa possibilità di verificarsi, quindi
ciascuno di essi ha la probabilità di 1/36.
Supponiamo di sommare , ad ogni lancio, i punteggi dei
due dadi;
utilizziamo una tabella a doppia entrata;
in ogni casella scriviamo la somma dei punteggi
rispettivi:
87
Tabella
7
8
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
2° dado
1° dado
88
Commento
E’ chiaro che gli esiti non sono equiprobabili
Qual è il risultato più probabile?
Dalla tabella si nota la simmetria tra eventi ”equidistanti”
dalla diagonale disegnata:
P(2) = P(12)=1/36
P(3) = P(11) =2/36=1/18
P(7) =6/36=1/6
89
Lancio di una moneta
Nel lancio di una moneta i risultati possibili
sono:Testa o Croce.
1)Lanciando due volte la
stessa moneta elenca
ogni possibile risultato
(si tratta di coppie) e
calcolane la probabilità.
T
C
T TT TC
C CT CC
90
Possiamo illustrare la situazione con un grafo:
1/2
1/2
T
C
1/2
T
TT
C
TC
T
CT
C
CC
Osserva che la probabilità TT è il prodotto delle
probabilità dei due rami del grafo che portano a
questo evento.
91
Il disegno rappresenta un campo che Giovanni possedeva e
che, alla sua morte, viene diviso in due parti uguali tra le
due figlie Anna e Bice.
A
B
92
Perché il prodotto?
Avendo ciascuna tre figli, Anna e Bice
dividono il loro campo in tre parti eguali.
• Come viene diviso la seconda volta il
campo?
• Ciascun nipote quanto possiede del campo
che apparteneva al nonno Giovanni?
93
94
Scheda sedici
Prima estrazione
In un’urna ci sono 5 palline rosse e 3 nere. Si estrae a caso una pallina
e poi, senza rimetterla dentro, se ne estrae una seconda.
Rappresentiamo con un grafo la prima estrazione:
.....
R
.......
N
95
Seconda estrazione
Nella seconda estrazione bisogna distinguere due casi, a
seconda che nella prima sia uscita una pallina rossa o
nera, in quanto nell’urna c’è una pallina in meno.
Possiamo proseguire il grafo nel seguente modo:
5/8
R
4/7
R
RR
3/8
N
3/7
N
RN
...
R
NR
...
N
NN
1)Completa il grafo
2)Calcola la probabilità di RN;NR;NN.
3) Calcola la probabilità che sia estratta almeno una pallina rossa
96
scheda 16
Prima estrazione
Utilizzando il grafo ad albero si vede che per la prima
estrazione si hanno due possibilità
uscita di una pallina rossa con probabilità 5/8
uscita di una pallina nera con probabilità 3/8.
97
Seconda estrazione
Alla seconda estrazione occorre distinguere due casi
perché la situazione è diversa in relazione al fatto che si sia
pescata una pallina rossa o nera (nella prima estrazione).
I quattro eventi elementari possibili sono: RR, RN, NR, NN.
98
Se si vuole calcolare la probabilità
dell’evento elementare RR
si può ragionare così:
se la prima pallina estratta è rossa con probabilità
5/8, cioè nei 5/8 dei casi, e si pesca una seconda
pallina rossa con probabilità 4/7, quindi avere due
palline rosse significa averle pescate in 4/7 dei 5/8
dei casi ,con probabilità:
4
5
— — =
7 8
Si utilizza il concetto di frazione di frazione, che si
traduce nella moltiplicazione delle due frazioni.
Si procede analogamente anche per calcolare la
probabilità
degli
altri
eventi
elementari
P(RN),P(NR),P(N,N)
99
Reimbussolamento ?
Nell’esempio appena visto si parla di estrazione “senza
reimbussolamento” perché la pallina una volta estratta non
viene messa nell’urna.
Si può pensare di rimettere la pallina estratta nell’urna e
questo caso l’estrazione si dice “con reimbussolamento”.
100
in
La soluzione di un problema
viene eseguita utilizzando un grafo ad albero a diversi piani,
le probabilità di ciascun evento sono scritte accanto a
ciascun ramo del grafo:
si insiste particolarmente sul significato di ogni cammino sul
grafo in termini di eventi,
così che nelle varie situazioni, i ragazzi si rendono conto
quale percorso o quali percorsi devono considerare per
calcolare la probabilità di un evento richiesto.
Con una rappresentazione precisa e completa si pensa che si
possa meglio evidenziare che la probabilità che si ottiene alla
fine di ogni percorso è il prodotto della probabilità degli
eventi di ogni ramo.
101
La strategia di soluzione
•La strategia di soluzione che si è individuata,
che si può dire di moltiplicazione “lungo i rami”, è
molto efficace perché consente di affrontare
situazioni anche abbastanza complicate
•è chiaro che il
soluzione
di
schematizzazione
grafo ad albero
immediato.
.
momento più importante della
un
problema
diventa
la
della situazione con un corretto
e questo non è sempre così
102
Probabilità eventi casuali
composti
Eventi casuali sono composti da due o più eventi elementari
che possono verificarsi contemporaneamente.
due eventi A e B si dicono indipendenti se
P(AB)= P(A)P(B)
P(AB)
P(A/B)=_______ = P(A)
P(B)
103
Esercizi
1) Sto giocando a tombola; nella mia cartella manca solo il
numero 75 e i numeri ancora da estrarre sono 24. Con che
probabilità faccio tombola entro le prossime due
estrazioni?
2) Nel gioco della tombola ( 90 numeri) qual è la probabilità
che il primo numero estratto sia 15 e il secondo 43?
104
3)
Come nel gioco del lotto da un’urna contenente
90 palline numerate da 1 a 90 se ne estraggono cinque
senza reimbussolamento.
a) Qual è la probabilità che i cinque numeri estratti siano tutti
dispari?
b) Calcola ora la probabilità di ottenere 5 teste in 5 lanci
successivi di una moneta
c) Senza svolgere i calcoli avresti potuto prevedere quale
dei due eventi è più probabile?
105
4) Due ragazzi giocano a “pari o dispari” con le
dita di una mano (nel gioco è escluso lo zero)
a) Conviene puntare sul “pari” o sul “dispari”?
5) In un sacchetto ci sono 7 penne biro uguali di
cui 3 sono scariche.
a) Se prendo a caso una penna qual è la
probabilità che scriva? E quale che non scriva?
b) Se la prima che scelgo è scarica qual è la
probabilità che la seconda scriva?
106
6)In un gioco di fortuna un concorrente deve scegliere
una casella da un tabellone di 12 caselle così
composto:
1 casella copre il primo premio di un viaggio a Venezia,
4 caselle coprono il premio di un televisore,
7 caselle non coprono nessun premio.
a) Con una sola possibilità di scelta calcola la
probabilità:
• di vincere un viaggio a Venezia
• di vincere un premio.
b) Con due possibilità di scelta calcola la probabilità
• di non vincere
• di vincere sia il viaggio a Venezia sia il televisore
• di vincere almeno il viaggio a Venezia
107
7) Due amici, Alfredo e Bruno, insieme ad altri 8 ragazzi decidono di
giocare a “guardia e ladri”e per decidere chi sarà ”guardia”e chi
sarà “ladro”si affidano alla sorte.
Sapendo che ci devono essere 3 “guardie” e 7 “ladri”qual è la
probabilità che:
a)Alfredo sia una “guardia”
b)Alfredo e Bruno siano entrambi “guardie”
c)Alfredo e Bruno giochino insieme, cioè siano entrambi
“guardie” o entrambi “ladri”
d)Almeno uno, tra Alfredo e Bruno, sia una “guardia”
108
La frequenza relativa come
stima della probabilità
109
• Sparando ad un bersaglio ho probabilità 20% di colpirlo.
• Se sparo due volte qual è la probabilità di colpirlo almeno
una volta?
0,2
0,2
C
CC
C
0,8
nC
0,8
nC
CnC
C
nCC
nC
nCnC
110
• Indichiamo con:
• C = colpito; nC= non colpito;
• P(“colpire almeno una volta”)= P(“colpire
entrambe le volte” o “colpire la prima volta e non
la seconda” o “colpire la seconda e non la prima”=
• P(CC)+P(CnC)+P(nCC) =
0,20,2+0,20,8+0,80,2=0,36
111
Osservazioni
1)Osserviamo che l’evento” colpire almeno una volta” è
complementare di “non colpire né la prima né la seconda
volta”,
quindi la sua probabilità si può più rapidamente trovare
come segue:
P(colpire almeno una volta)=1-P(nCnC)=1-0,64=0,36
112
2) Un’altra osservazione:
nell’evento “Aver ottenuto successo al primo sparo” è
compreso il risultato che si vuole ottenere con “avere
successo in entrambe le volte ”oppure “ colpire la prima
volta e non la seconda”.
113
Si può quindi limitare a disegnare solo una parte del grafo:
0,2
C
0,8
0,2
nC
0,8
C
nC
P(colpire almeno una volta)= P(C)+ P(nCC)=0,2+0,20,8=0,36
114
Osservazioni
3)Un’altra osservazione che si può fare è che, in questo esercizio e
in altri in cui viene data la frequenza di un evento,
non è più applicabile la definizione di probabilità data come
rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi
possibili,
ma la probabilità di tali eventi può essere valutata piuttosto in
una visione soggettivista oppure frequentista.
Per i ragazzi potrebbe sorgere dunque il problema di una
generalizzazione della definizione di probabilità: allora si può far
notare che per probabilità si intende una qualunque funzione che
soddisfi le proprietà che si sono viste all’inizio.
115
Al ristorante
In un ristorante la probabilità che un cuoco
bruci l’arrosto è 0,02,
la probabilità che dimentichi di salare la pasta è 0,1
e quella che sali troppo è anch’essa 0,1.
Qual è la probabilità che il pranzo preparato dal cuoco
riesca bene
( supponendo che non possa fare altri errori)?
116
Schematizzazione
La schematizzazione di tale problema può risultare più difficile
in quanto mentre per l’arrosto ci sono solo due possibilità, cioè che
bruci (B) oppure che riesca (R),
per l’acqua della pasta ci sono tre possibilità
e cioè che sia giusta (G), non salata (NS), e troppo salata (TS).
La probabilità che l’acqua non sia salata è 0,1 e che sia troppo salata
è 0,1, quindi che sia giusta è 0,8.
Si può schematizzare la situazione con un grafo in cui sono disegnati
solo i rami che interessano.
117
0,02
0,98
B
R
0,1
0,1
TS
0,80
NS
G
118
Un giudice
Un giudice consegna a un condannato 2 palline bianche e 2
nere che egli dovrà collocare in due urne scegliendo tra
queste quattro possibilità:
1) una bianca da sola e tutte le altre nell’altra urna;
2) una nera da sola e tutte le altre nell’altra urna;
3) le due bianche in un’urna e le due nere nell’altra;
4) una bianca e una nera in ciascun urna.
Il giudice sceglierà poi a caso una delle urne ed estrarrà da
essa una pallina. Se questa risulterà bianca il condannato sarà
graziato.
Qual è la disposizione più favorevole per ottenere la
grazia?
1/2
1/2
1°urna
2° urna
119
soluzione
1)P(B)=11/2+1/21/3=2/3
2)P(B)=1/2 2/3=1/3
3)P(B)=1/2
4)P(B)=1/2 1/2+1/2 1/2=1/2
1/3<1/2<2/3
120
Generalizzare (1)
Se le palline sono 50 bianche e 50 nere le disposizioni
sono molte di più.
Qual è la più favorevole per ottenere la grazia?
Risolvendo il problema, si vede che la strategia più
conveniente è:
mettere una biglia bianca in un’urna e tutte le nere con
le rimanenti bianche nell’altra.
121
Generalizzare (2)
Questo problema può essere stimolante in quanto non è un problema
di routine da incasellare in una regola e può essere considerato un
problema “di strategia”. In casi di questo tipo davanti a una
situazione problematica di incertezza si cerca un comportamento che
almeno ottimizzi la probabilità di successo.
Si possono, se è il caso, calcolare la probabilità dell’evento
favorevole al variare di n.
Si ottiene per n=3, cioè 3 palline bianche e altrettante
palline nere, la situazione più favorevole è salvezza con:
Probabilità = ½ +1/5 =7/10
Per n=4 è: Salvezza con
Probabilità = ½+3/14=10/14=5/7
122
Generalizzare ( 3)
Nel caso generale (n qualsiasi) questa strategia conduce alla
probabilità di avere salva la vita:
½+1/2(n-1) / (2n-1)]=1/2 (3n-2) / (2n-1) ]
Se si vogliono riportare i calcoli su una tabella si vede che al crescere
di n, la probabilità p tende al limite ¾=0,75
123
tabella
N
P
N
P
1
0,5
6
0,727
2
0,66...
7
0,731
3
0,7
8
0,733
4
0,714
9
0,735
5
0,722
10
0,737
124
tabella
N
P
50
0,747
100
0,748
1000
0,749
125
Quadrato
Si consideri il quadrato di lato 1
Qual è la probabilità che scegliendo un punto a
caso, questo sia nella zona colorata ?
126
Considerazioni
Fin a questo momento ci si è di solito ( non nel caso dello sparo
o del cuoco) riferiti alla definizione di probabilità come
rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi
possibili, la quale richiede che il numero di casi possibili sia
finito e che gli eventi elementari siano tutti ugualmente
possibili. In questo esempio
gli eventi possibili sono
rappresentati da tutti i punti del quadrato; quelli favorevoli da
tutti i punti della zona colorata:
si tratta in entrambi i casi di un numero infinito di punti
e venendo a mancare la prima richiesta non è più possibile
utilizzare la stessa definizione.
127
Definizione
• Si può rimediare ricorrendo in questo caso ad un rapporto
tra aree,quella della zona “favorevole” e quella della zona
“possibile”.
• L’area del quadrato è 1
• L’area del quarto di cerchio =/4
• La probabilità richiesta = /4/1 cioè /4
Inoltre in questo esempio si fa osservare che mentre sino ad ora
la probabilità di un evento era un numero dell’insieme dei
numeri razionali, nell’esempio presentato si ottiene /4, un
numero irrazionale.
•
128
Definizione generale
Questo esempio permette
generale
di dedurre che in
la probabilità di un evento è un numero reale
compreso fra zero e uno.
129
esercizi
1) Un’urna contiene delle palline rosse, 24 palline bianche e 15 verdi.
Trovare il n° delle palline rosse sapendo che la probabilità di estrarre
una pallina bianca o rossa è 7/10.
2) Un sacchetto contiene palline che portano ciascuna numeri da 1 a 7. Se
ne estraggono successivamente due con reimbussolamento.
a) Qual è la probabilità che la somma sia pari?
b) Che sia pari il prodotto?
3)Il sacchetto A contiene tombolini con numeri da 5 a 8,il sacchetto B con
numeri da 1 a 4. Si estrae un n° da ogni sacchetto.
a)Qual è la probabilità di ottenere 10?
b)Su quale punteggio conviene scommettere?
130
esercizi
1)Lanciando un dado stabilisci qual è la probabilità
che esca:
a) Un n°dispari
b) Un n°divisibile per 3
c) Un n° pari e divisibile per 3
d) Un n° primo o pari
e) Un n° divisibile per 5 o pari
Lanciando due dadi qual è la probabilità che la
somma dei due numeri uscenti sia minore di 4?
131
Applicazione della Probabilità
alla Genetica
132
Ogni carattere ereditario è determinato da una
coppia di geni trasmessi da ciascun genitore.
Nei casi più comuni ciascun gene può presentarsi
in due forme diverse che si indicano con una stessa
lettera maiuscola e minuscola, ad esempio, A, a.
Per esempio prendiamo il carattere”colore degli
occhi” e indichiamo con “A” il gene responsabile del
colore scuro e con “a” il gene responsabile del
colore chiaro.
133
Ciascun genitore trasmette un gene con
probabilità 1/2.
Essendo frequente il fenomeno per cui il gene
recessivo “a” non manifesti il proprio carattere
in presenza di “A”,
coloro che possiedono i due geni AA e Aa
hanno occhi scuri,
quelli con la coppia aa hanno occhi chiari.
134
Tabelle
Completa le due tabelle e indica i caratteri
che possono avere i figli
Aa
Aa
A
aa
A
a
a
Aa
aa
a
Aa
aa
Aa
a
A
a
AA
A
aa
a
a
A
135
Grafo ad albero
padre
½
1/2
A
a
madre
a
a a
Aa
Aa aa
a
aa
Il grafo si riferisce al primo esempio della scheda
precedente: la trasmissione “colore degli occhi” può
essere rappresentata anche così. Gli eventi elementari
possibili sono: Aa, Aa, aa, aa,
la probabilità per ciascun evento elementare di 1/21/2=1/4
la probabilità 1/2 che un figlio abbia occhi scuri (Aa)
la probabilità 1/2 occhi chiari(aa
).
136
Domanda
Riferendoti al terzo esempio della scheda precedente
( genitori : Aa, Aa), in una famiglia di 4 figli,
3 saranno sicuramente con occhi scuri e
1 con occhi chiari?
L’ultima domanda della scheda ha l’obbiettivo
di far riflettere ancora sul fatto, che il verificarsi
di ciascun evento è incerto, ma è possibile
misurarne l’incertezza.
137
Scheda 22
In una popolazione si conosce la frequenza del gene A che è
dell’80% e del gene a, che è del 20%.
Gli individui AA, Aa, aa si presentano in percentuali diverse,
che possono essere rappresentate con il seguente grafo:
0.8
0,8
A
A
0,2
0,2
0,8
a
A
padre
a
0,2
madre
a
AA
Aa
Aa
aa
Quali sono le percentuali dei tre diversi tipi nella popolazione?
138
Percentuali dei tre diversi tipi
.
gli eventi elementari possibili sono: AA, Aa, Aa, aa
probabilità di ciascuno degli eventi elementari:
P(AA)= P(A) P(A)=0,80,8=0,64=64%
P(Aa) =P(aA)= 0,2 0,8=0,16 =16%
P(aa)= 0,20,2=0,04=4%.
139
Rappresentazione in tabella
La situazione presentata con il grafo può essere illustrata anche
nel seguente modo:
0,8
0,2
0,2
Aa
aa 0,2
AA
Aa
0,8
0,8
0,8
0,2
Che cosa rappresentano le aree delle quattro regioni in cui è
suddiviso il quadrato?
140
Riflessioni
Le frequenze dei geni si possono interpretare come misure
di superfici di opportune regioni di un quadrato di lato
0,8+0,2 suddiviso in cinque parti:
ciascuna superficie rappresenta ciascun evento elementare
possibile:
q la frequenza del gene A
p quella del gene “a”
AA=q2
Aa=2pq
(q+p)2= q2 + 2pq + p2=1
aa=p2
(q+p)2=1
141
scheda23
L’assenza del fattore Rh nel sangue è dovuta ad un gene
recessivo a, la cui frequenza, nella nostra popolazione, è
circa del 40%.
Gli individui con i due geni recessivi aa si dicono Rh, gli
altri Rh+.
1) Calcola la percentuale degli individui Rh+e Rh aiutandoti
con un grafo.
2) Supponiamo che in una particolare popolazione la
percentuale degli individui Rh(aa) sia del 9%.
Calcola la frequenza del gene recessivo a utilizzando il
seguente disegno:
0,09
3) Aiutandoti con il quadrato
calcola la frequenza del gene
A e le percentuali degli
individui AA e Aa
aa
142
Riflessioni
la frequenza degli individui (aa) è del 9%.
quale è la frequenza del gene “a” (recessivo) ?
Se 0,09 è area di un quadrato,0,09 è la misura del
suo lato e corrisponde alla frequenza del gene “a”.
la frequenza di A=1a
143
Esercizi
1) Alcuni individui non sentono l’amaro di una sostanza
chimica che si chiama feniltiocarbammide. Questo è
dovuto ad un gene recessivo la cui frequenza, nelle
nostra popolazione, è 0,6.
Calcola la percentuale di individui che hanno questo
carattere e di individui che ne sono portatori.
2) Supponiamo che un carattere sia dovuto a un gene
dominante A. Sapendo che in una popolazione gli individui
che non hanno questa caratteristica sono il 49%, calcola,
per quella popolazione, la frequenza del gene a, del gene A e
degli individui Aa, AA.
144
Scheda 24
Nella scheda 23 hai trovato che gli individui Rh+ sono
l’84% della nostra popolazione e gli individui AA sono
il 36%.
1) Tra gli Rh+ qual è la percentuale degli individui AA?
Il risultato ottenuto è la probabilità che scegliendo a
caso un individuo, tra gli Rh+ della nostra
popolazione, questi risulti AA.
2) Trova la probabilità che scegliendo a caso un
individuo tra gli Rh+ questo risulti Aa.
145
Padre Rh+ madre Rh
Consideriamo il caso che da un padre Rh+ e da una
madre Rh nasca un figlio. Dato che il gene trasmesso
dalla madre, la quale è Rh , è sicuramente a, la
situazione del figlio è determinata solo dal gene del
padre, ed è diversa a seconda che il padre sia AA
oppure Aa.
Il padre è AA
trasmette A
il padre è Aa
trasmette A
trasmette a
Calcola la probabilità che il figlio sia Rh+ completando il
grafo
146
Esercizi
3) L’albinismo è dovuto a un gene recessivo a.
Sapendo che in una popolazione gli individui albini
sono 1 su 10.000, calcola, per quella popolazione, la
frequenza del gene a e degli individui portatori di
albinismo.
4) Consideriamo il caso che da un padre albino e da
una madre non albina nasca un figlio. Utilizzando i
risultati dell’esercizio 3 e procedendo come suggerito
dalla scheda precedente, calcola la probabilità che il
figlio sia albino.
147
Esercizi
5) In una popolazione la frequenza del gene
recessivo a è del 30%. Calcola:
a) la frequenza del gene dominante A
b) la percentuale degli omozigoti AA
c) la percentuale degli omozigoti aa
d) la percentuale degli eterozigoti Aa
148
6) Un gene recessivo a responsabile di una malattia ha, in
una determinata popolazione, la frequenza del 30%.
i)Calcola aiutandoti con un grafo, la percentuale degli
individui sani e quella degli individui malati.
ii) Supponiamo che in un’altra popolazione la percentuale degli
individui malati, e quindi omozigoti per il carattere aa, sia del
4%. Calcola :
a)la frequenza del gene recessivo a
b)la frequenza del gene dominante A
c)la percentuale degli omozigoti AA
d)la percentuale degli eterozigoti.
149
7)L’anemia mediterranea è una malattia ereditaria portata
da un gene recessivo a, che non si manifesta quando il
gene recessivo a è accompagnato dal gene dominante
A ( si parla in questo caso di portatore sano).
a) Nella popolazione di un paese, costituita da 5.000
persone, il 4% è ammalato: quante sono le persone
ammalate?
b) Da due genitori di tipo (A;A),(A;a) può nascere un
figlio ammalato? Perché?
c) Con quale probabilità può nascere un portatore
sano?
d) Scrivi le varie combinazioni genetiche derivate da
due genitori (A;a), e calcola la probabilità che nasca:
I) Un figlio ammalato
II) Un figlio portatore sano
III) Un figlio sano
150
8) Considera le famiglie che hanno due figli, dì se è più probabile
che i due figli siano entrambi femmine, oppure che siano di sessi
diversi.
9) Immagina che in una certa popolazione, la probabilità di avere
un figlio maschio sia più piccola di quella di avere una figlia
femmina, e cioè che esse siano 0,40 per il maschio e 0,60 per la
femmina.
Calcola ora, con questi dati, la probabilità che una famiglia con
due figli li abbia di sesso diverso.
a) Pensa di far variare la probabilità di avere un figlio maschio, e
disegna un grafico riportando sull’asse x alcuni valori di questa
probabilità, e sull’asse y i corrispondenti valori della probabilità
di avere due figli di sesso diverso.
151
Commento
b) Prova a scoprire per quale valore di x si ottiene il
massimo valore di y, e rifletti sul valore trovato.
E’ questa la situazione che si verifica in natura?
c) Osserva, che per un dato valore di x, il
corrispondente valore di y è uguale al doppio
dell’area di un rettangolo di lati x e (1-x).
In base alle considerazioni che hai svolto prima, sai
dire quale, fra i rettangoli che hanno un perimetro
fissato ha area massima?
152
Legge dei grandi numeri
153
Prove ripetute
Se ripetiamo il lancio di una moneta equilibrata molte
volte, ad esempio,10.000 volte, quante volte ci
aspettiamo di avere testa?
L’intuizione ci suggerisce di aspettarci che la frequenza
relativa dell’evento considerato (cioè il rapporto tra il
numero di uscita testa e il numero dei lanci) si avvicini
alla probabilità, cioè un mezzo.
E’ corretto attendersi questo? E’ corretto attendersi che
la frequenza, dopo un numero elevato di prove sia
esattamente un mezzo? Cosa significa dire che la
frequenza “si avvicina” ad un mezzo?
154
Scheda 26
Un amico ti propone di lanciare 100 volte una moneta e di
scommettere su uno dei due seguenti eventi:
A: Escono 50 Teste e 50 Croci
B: Il numero di Teste è diverso dal numero di Croci.
Su quale scommetteresti?
Questa domanda è stata posta per avviare il lavoro che segue:
arriveremo ad enunciare uno dei risultati fondamentali del
calcolo della probabilità, noto col nome “legge
dei grandi
numeri”.
155
Scheda 27
1)Disegna il grafo relativo a 2 lanci di una moneta e calcola
la probabilità di ottenere:
• a) nessuna Testa
• b) una volta Testa
• c) due volte Testa
2) In ciascuna casella scrivi, in forma decimale, le
probabilità calcolate in precedenza:
Nessuna
Testa
1 Testa
2 Testa
156
Scheda 28
1) Considera ora 3 lanci di una moneta e traccia il grafico
relativo.
2) Calcola la probabilità che esca
a) TTT
b) TCT
c) 2 volte T
3) Come hai fatto precedentemente scrivi la probabilità in
forma decimale
0T
1T
2T
3T
157
Scheda 29
In quattro lanci... 1)Traccia il grafo relativo e otterrai nel
completamento delle caselle:
0,0625 0,25
0T
1T
0,375
2T
0,25
3T
0,0625
4T
2) Per calcolare la probabilità di ottenere 4 T quanti
percorsi del grafo hai considerato?
3) Sai spiegare perché le probabilità scritte nelle diverse
caselle aumentano dagli estremi verso il centro?
158
0,5
0,5
0T
1T
0,25
0,5
0,25
0T
1T
2T
0,125 0,375 0,375 0,125
0T
1T
0,0625 0,25
0T
1T
2T
0,375
2T
3T
0,25
3T
0,0625
4T
1) Completa la tabella. Se si continua per n=5,6…. 12 si
ottiene la tabella riportata a pag.88 (L’ insegnamento della
matematica e delle scienze integrate )
159
Una volta completata la tabella consideriamo le caselle attraversate
dall’asse di simmetria per le quali la frequenza di Testa è un mezzo cioè:
Numero di teste = 1
Numero di lanci
2
Inoltre la tabella è suddivisa in 3 parti separate da un bordo in neretto:
•In quella a sinistra il rapporto tra il n° di uscite di testa e il n° dei lanci
effettuati è minore di 1/3,
•in quella centrale gli eventi in cui tale frequenza è compresa tra 1/3 e
2/3
•in quella di destra quelli in cui è maggiore di 2/3
1/3 n°testa/n°lanci 2/3
160
Sommando, riga per riga, le probabilità scritte nelle
caselle di ognuna delle tre zone si ottiene la tabella
Osserva,che al
crescere di n, la
probabilità che
la frequenza di
T sia compresa
tra 1/3 e 2/3
aumenta,
mentre la
probabilità che
la frequenza di
T sia minore di
1/3 o maggiore
di 2/3,
diminuisce.
N=1
0,5
0
0,5
N=2
0,25
0,5
0,25
N=3
0,125
0,75
0,125
N=4
0,3125
0,375
0,3125
N=6
0,10938
0,78126
0,10938
N=8
0,14454
0,71094
0,14454
N=9
0,08984
0,8203
0,08984
N=10
0,17189
0,65825
0,17189
N=12
0,07299
0,85401
0,07299
P(fr(T)<1/3
P(1/3fr(T) 2/3 P(fr(T)>2/3
161
Grafico
P(1/3fr(T)2/3)
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
n° lanci
162
1)Quando n diventa “molto grande”casa ti aspetti della probabilità
che la frequenza dell’uscita testa sia compresa tra 1/3 e 2/3?
2)E della probabilità che escano un ugual numero di Testa e di
Croce?
n=50
n=100
0,007673
da 0 a 16 T
0,000437
da 0 a 33 T
0,984653
da 17 a 33 T
0,007673
da 34 a 50 T
0,999126
da 34 a 66 T
0,000437
da 67 a 100 T
P(fr(T)<1/3 P(1/3fr(T) 2/3 P(fr(T)>2/3
163
Lanciando molte volte una moneta......
Gli eventi centrali sono quelli in cui la frequenza dell’uscita di
testa è “abbastanza vicina” alla probabilità un mezzo, perciò
possiamo (per il caso particolare del lancio di una
moneta),formulare la cosiddetta “legge debole dei grandi
numeri” :
Lanciando molte volte una moneta diventa sempre più
grande e si avvicina a 1 la probabilità che la frequenza
dell’uscita di Testa differisca dalla sua probabilità ½
meno di un qualunque numero positivo scelto da noi
(nei nostri esempi 1/6,1/12......)
164
Commento
Osservando le caselle attraversate dall’asse di simmetria della
tabella dobbiamo notare che la probabilità che la frequenza
dell’uscita di Testa sia esattamente ½ diventa sempre più
piccola, anzi, per n molto grande si avvicina a zero
• Se lanci 10.000 volte una moneta e devi scommettere su uno
dei seguenti risultati, quale sceglieresti?
a) 5.000 T e 5.000 C
b) 4825 T e 5175 C
c) un numero di T compreso tra 4.500 e 5.500
d) un numero di T compreso tra 4.250 e 5.750
165
Scheda 38
Abbiamo enunciato la “legge dei grandi numeri” a
proposito dell’uscita di Testa nel lancio ripetuto di una
moneta.
La stessa legge vale in una qualsiasi altra situazione di
prove ripetute.
Considerando ad esempio il lancio di un dado la legge
dei grandi numeri ci dice che in un gran numero di lanci
sarà molto probabile che la frequenza dell’uscita di un
numero prefissato (ad esempio il 2) sia “vicina” a 1/6.
Anche qui possiamo osservare che sarà assai poco
probabile che la frequenza dell’uscita del 2 sia
esattamente 1/6.
166
Esercizi
1)Un urna contiene 5 palline, 4 bianche e 1 nera.
Supponi di estrarre 5.000 volte una pallina
(rimettendola ogni volta nell’urna):
Quale dei seguenti risultatiti sembra più probabile?
a)La pallina nera esce 1.000 volte
b)La pallina nera esce un numero di volte
compreso tra 950 e 1.050
c)La pallina nera esce un numero di volte
compreso tra 800 e 1.200
2)Supponi di lanciare un dado molte volte (1.000,
10.000 o anche di più) che cosa puoi dire della
frequenza dell’uscita del numero 2?
167
