Esercizi di riepilogo
(Calcolo delle Probabilità)*
1.
2.
3.
Si tirano due dadi non truccati. Sia E l’evento “la somma dei punteggi realizzati è 7”.
Dimostrare che E è indipendente sia dall’evento che il primo dado realizzi un 4, sia
dall’evento che il secondo dado realizzi un 3.
In un'urna ci sono 15 palline bianche (B), 4 rosse (R) e 8 nere (N), uguali per forma, peso
e dimensione. Qual è la probabilità che, estraendo 2 palline, siano entrambe rosse?
Si considerino 3 urne composte da 5 palline al seguente modo:
Urne
A
B
C
#Rosse
1
2
3
#Nere
4
3
2
Si sceglie a caso un'urna e da questa una pallina. Qual è la probabilità che la pallina
estratta sia rossa?
4. In quali dei seguenti casi A e B sono mutuamente esclusivi?
a) Si lanci una moneta due volte e si definiscano gli eventi A di ottenere testa al primo
lancio e B di ottenere testa al secondo lancio.
b) Si lancino due dadi e si definiscano gli eventi A di ottenere per somma 7 e B di
ottenere una coppia di numeri uguali.
5. Si ritiene 2/3 la probabilità di vincere ad un certo gioco di carte, 3/4 la probabilità di
vincere ad un secondo gioco di carte e 1/3 la probabilità di vincerli entrambi. È giusta
tale supposizione?
6. Un'inchiesta su una popolazione di una certa città ha fornito i seguenti dati: il 10% della
popolazione è ricco, il 5% è famoso, il 3% è ricco e famoso. Scelta a caso una persona
tra queste, qual è la probabilità che sia ricca o famosa? Se la persona è famosa, qual è la
probabilità che sia ricca?
7. Un canale di trasmissione trasmette le cifre 0 e 1. Se la cifra trasmessa è 0, viene
ricevuto lo 0 con probabilità 0.99; se la cifra trasmessa è 1, viene erroneamente ricevuto
lo 0 con probabilità 0.05. Supponendo che la percentuale di 1 trasmessi è 40%, qual è la
probabilità di una errata ricezione?
8. In una certa regione vi sono due ditte che producono apparecchi radiofonici. Quelle della
fabbrica A sono difettose con probabilità 0.05 mentre quelle della fabbrica B sono
difettose con probabilità 0.01. Supponendo di acquistare una radio dalla ditta A o B con
uguale probabilità, determinare la probabilità di acquistare una radio difettosa.
9. Dati due insiemi A e B tali che P(A)>0 e P(B)> 0 dimostrare che se sono mutuamente
disgiunti, non sono indipendenti.
10. Un software, messo a punto da una compagnia telefonica per scoprire frodi nei consumi
di carte telefoniche, segue quotidianamente le tracce delle aree metropolitane da dove
vengono effettuate le chiamate. E' stato così provato che l'1% dei legittimi utenti delle
carte chiama in uno stesso giorno da due o più aree metropolitane. Anche il 30% degli
utenti fraudolenti effettua chiamate da due o più aree metropolitane in uno stesso
giorno. La percentuale di utenti fraudolenti è dello 0.1%. Se un utente effettua chiamate
da due o più aree metropolitane in uno stesso giorno, qual è la probabilità che stia
effettuando una frode?
*
Corso di Probabilità e Statistica I – a.a. 2004/05- Docente E. Di Nardo.
11. Se P ( A) = P( A | B) = 1 / 2, P( A U B) = 5 , quanto vale P(B). ?
8
12. Il lotto A contiene 30 pezzi buoni su un totale di 50 ed il lotto B ne contiene invece 15
su un totale di 25. Vengono estratti a caso due pezzi da A per poi aggiungerli e
mischiarli a quelli di B. Qual è ora la probabilità di estrarre a caso un pezzo buono da B?
13. Se P(A)=0.2 e P(B)=0.2 e A e B sono mutuamente esclusivi, possono essere anche
indipendenti?
14. Per comprare l'anello di fidanzamento a Trudy, Gambadilegno ha bisogno di 5000
dollari e decide di rapinare banche fino a quando non raggiunge la somma desiderata.
Ogni banca di Topolonia ha 1000 dollari in cassaforte e vale p la probabilità che
Gambadilegno apra ciascuna di esse (la probabilità p è costante per ogni banca). Se
Gambadilegno riesce ad aprire la cassaforte e a prendere i 1000 dollari scappa, altrimenti
lascia un indizio. Topolino dopo aver trovato due indizi lo arresta. Calcolare la
probabilità che Gambadilegno riesca a comprare l'anello a Trudy.
15. Si hanno due monete. Una è perfetta: presenta testa e croce con eguale probabilità; l'altra
è truccata ed ha due teste. Si sceglie a caso una delle due monete e si lancia per aria.
Supponiamo che esca testa: qual è la probabilità che sia stata lanciata la moneta
truccata?
16. Una persona che ricorda tutte le cifre del numero telefonico di un suo amico
eccetto l'ultima, possiede solo due gettoni. Se chiama l'amico scegliendo a caso l'ultima
cifra con quale probabilità comporrà il numero prima che gli finiscano i gettoni?
17. Tre scatole uguali contengono ciascuna due monete. La prima contiene due monete
d'argento, la seconda una d'argento e una d'oro e la terza due monete d'oro. Si sceglie
una scatola a caso e quindi da esse una moneta che risulta essere d'oro. Quanto vale la
probabilità che sia d'oro anche l'altra moneta rimasta nella scatola?
18. Si considerino due urne, indicate rispettivamente con A e con B. L'urna A contiene 4
palline bianche e 2 nere mentre l'urna B contiene 3 palline nere e 3 palline bianche. Un
esperimento consiste nell'estrazione di 3 palline con le seguenti modalità:
(i) si sceglie a caso un'urna da cui estrarre la prima pallina;
(ii) ad ogni estrazione, se si è estratta una pallina bianca si estrae la pallina successiva
dalla stessa urna; se invece si è estratta una pallina nera, la pallina successiva viene
estratta dall'altra urna;
(íii) nessuna pallina estratta viene rimessa nell'urna.
Calcolare
(a) la probabilità che si verifichino 2 palline bianche e 1 nera;
(b) la probabilità che l'estrazione di 3 palline bianche sia avvenuta iniziando dall'urna A
o dall'urna B.
