sistema di equazioni lineari

Come si risolvono i sistemi lineari
Un sistema lineare (o sistema di equazioni lineari) è il problema di trovare le
soluzioni comuni ad un certo numero di equazioni di primo grado in una o più
incognite.
Esempio introduttivo
a)
2 x  y

x  4 y
0
 1
(1)
è un sistema di due equazioni lineari in due incognite (x e y). Occorre determinare le
coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano entrambe le equazioni. Per determinarle,
si può procedere in vari modi.
 Sostituzione. Da un’equazione si ricava l’espressione di una delle due incognite in
funzione dell’altra,
2 x  y

x  4 y
0
 1
x  1  4 y
quindi la si sostituisce nell’altra equazione
2 x  y

x  4 y
0
 1
x  1  4 y
e si ottiene un’equazione lineare in una sola incognita,
2(1  4 y)  y  0
che si può facilmente risolvere:
2
y .
9
Sostituendo la soluzione trovata nell’altra equazione, e risolvendo quest’ultima
rispetto all’altra incognita, si ottiene:
 2
x  4     1
 9
x
1
9
 1 2
In conclusione, esiste una sola soluzione,   ,   .
 9 9
 Eliminazione. Si comincia, anche in questo caso, ricavando un’equazione lineare
in una sola incognita, però cambia il metodo: si somma un’equazione, ad esempio
la prima, all’altra, dopo aver moltiplicato quest’ultima per una costante opportuna.
Nel nostro caso, si può procedere così:
2 x  y  0

 x  4 y  1
+
(-2)
Si ottiene allora:
2x
( 2) x
y
4 y
9y
0
0
 1
2
da cui
2
y .
9
Il valore di x si ottiene dopo aver sostituito questa soluzione in una qualunque delle
due equazioni.
b) Consideriamo ora il seguente sistema
2
 3x  y

x  2 y  z  1
(2)
di due equazioni lineari, in tre incognite (x, y e z). Applichiamo il metodo di
sostituzione. Dalla seconda equazione ricaviamo l’espressione di x in funzione di y e
z,
x  1 2 y  z
e la sostituiamo nella prima equazione. Otteniamo:
3(1  2 y  z)  y  2 ,
cioè, semplificando,
7 y  3z  1.
Abbiamo eliminato la variabile x, ma non possiamo andare oltre: ci rimane
un’equazione in due incognite. Ciò ci suggerisce che il sistema non avrà una
soluzione unica, esprimibile come una terna (x,y,z) formata da particolari numeri
reali, ma più soluzioni, corrispondenti a tutte le terne (x,y,z) i cui tre elementi sono
legati da particolari relazioni. Una di queste è l’ultima equazione ottenuta, da cui
possiamo ricavare l’espressione generale di y in funzione di z:
y
1  3z
7
Sostituendo questa nella prima equazione,
3x 
1  3z
 2,
7
ricaviamo quindi l’espressione di x in funzione di z:
x
5 z
7
Le soluzioni sono dunque tutte le terne
( x, y , z )  (
5  z 1  3z
,
, z ) , al variare di z in R.
7
7
L’insieme delle soluzioni è quindi infinito: si ottiene una terna diversa per ogni valore
1
5 1 
reale di z. Ad esempio, z=0 fornisce la soluzione  , ,0  , z  
fornisce
7
7
2


 11 5 1 
 , ,   , e così via.
 14 14 2 
c) Il sistema lineare
 3x  2 y  1

6 x  4 y  1
non ha soluzione. Infatti, se una coppia (x,y) di numeri reali verifica la prima
equazione, allora
3x  2 y  1  6x  4 y  2 ,
e dunque (x,y) non può verificare la seconda equazione. Non esistono, pertanto,
soluzioni comuni alle due equazioni.
La forma generale di un sistema di m equazioni lineari in n incognite (detto,
brevemente, sistema lineare mn) è:
a11 x1  a12 x2   a1n xn
a x  a x   a x
 21 1 22 2
2n n


am1 x1  am 2 x2   amn xn
 b1
 b2
 bm
dove le incognite sono x1,, xn, mentre i simboli aij e bi indicano numeri reali fissati.
I numeri aij sono detti coefficienti, i numeri bi si dicono termini noti del sistema.
Detta A  (aij )1im la matrice dei coefficienti, il sistema lineare si può scrivere, in
1 j n
maniera più compatta, nella forma
 x1   b1 
A    
   
 x  b 
 n  m
dove, a primo membro, compare il prodotto righe per colonne di una matrice mn per
una matrice n1; il risultato, a secondo membro, è una matrice m1.
Le soluzioni del sistema sono le n-uple
( x1 ,..., xn )
di numeri reali che verificano tutte le equazioni del sistema. Secondo i casi, l’insieme
delle soluzioni può essere vuoto (cioè privo di elementi), oppure formato da un unico
elemento, oppure essere un insieme infinito.
Tutti i sistemi lineari possono essere risolti applicando (se necessario, più volte) i
metodi di sostituzione o eliminazione, però, all’aumentare del numero delle
equazioni, il procedimento diventa sempre più laborioso. Esiste, tuttavia, un criterio
risolutivo generale per alcuni sistemi nn (detti sistemi lineari quadrati di ordine n):
è la regola di Cramer.
Il sistema lineare quadrato di ordine n
 x1   b1 
A    
   
 x  b 
 n  n
ha un’unica soluzione ( x1 , , xn ) se e solo se il determinante di A (det(A)) è diverso
da 0. In tal caso, per i  1, , n,
det( Bi )
xi 
,
det( A)
ove Bi è la matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna di A con la colonna dei
termini noti, ossia:
 a11

Bi  
 a n1

a1i 1
b1
a1i 1
ani 1
bn
an i 1
a1n 


ann 
Se det(A) = 0, l’insieme delle soluzioni può essere vuoto, come nell’Esempio c):
 3x  2 y  1
,

6
x

4
y


1

oppure infinito, come nel caso seguente:
 3x  2 y  1

6 x  4 y  2
In entrambi gli esempi si ha che det( A)  3  4  2  6  0, ma nel secondo le due
1 2 y
equazioni del sistema sono entrambe equivalenti a x 
, quindi le soluzioni
3
1 2 y
sono le coppie (
, y ) , al variare di y in R.
3
Ai sistemi non necessariamente quadrati (detti rettangolari) si applicano criteri più
complessi, come il teorema di Rouché-Capelli, basati su nozioni avanzate di algebra
lineare, appartenenti alla teoria degli spazi vettoriali.