Equazioni e sistemi lineari modificato

Equazioni e sistemi lineari
Sia a1x1 + a2x2 + …. + anxn = b una equazione lineare nelle incognite x1, x2, …, xn
a coefficienti reali.
Una soluzione di questa equazione è una n-pla (k1, k2, …, kn) di numeri reali tale che
l’uguaglianza a1k1 + a2k2 + …. + ankn = b è verificata.
Quindi l’insieme S delle soluzioni di questa equazione è un sottoinsieme di R n.
Un fissato elemento di S si dice soluzione particolare della equazione.
Risolvere una equazione significa determinare l’insieme S delle sue soluzioni.
Esaminiamo un caso particolare
Equazioni lineari degenere
Una equazione lineare si dice degenere se i coefficienti delle incognite sono tutti uguali a
0: 0x1 + 0x2 + …. + 0xn = b
Distinguiamo due casi :
1) b ≠ 0
—————
S = ∅
2) b = 0
—————
S = Rn
Una equazione lineare non degenere è quindi una equazione in cui almeno uno dei
coefficienti è diverso da 0.
Come determinare l’insieme S delle soluzioni di una equazione lineare non degenere in n
incognite
(1) Si sceglie una incognita con coefficiente diverso da 0 e si assume come variabile
dipendente ( non libera ).
(2) Si ricava quella incognita in funzione delle rimanenti, dette variabili indipendenti (
libere ).
(3) Si assegna un valore arbitrario alle variabili indipendenti.
(4) Si vede che valore deve assumere la variabile dipendente perché l’uguaglianza sia
verificata.
Si dice incognita iniziale la prima incognita con coefficiente diverso da 0.
Sistema lineare di m equazioni in n incognite
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{ 21 1
………………………………………
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Si dice soluzione del sistema una n-pla (k1, k2, …, kn) di numeri reali che sia soluzione
di ciascuna delle equazioni del sistema. Pertanto detto S ( ⊆ Rn ) l’insieme delle soluzioni
del sistema ed S1, S2, … , Sm gli insiemi delle soluzioni di ciascuna delle equazioni del
sistema risulta S = S1 ∩ S2 ∩ … ∩ Sm
=
∩𝑛𝑖=1 Si
Risolvere un sistema significa determinare l’insieme S delle sue soluzioni.
Discutere un sistema significa stabilire se un sistema ha o non ha soluzioni, e, se ha
soluzioni “quante” ne ha.
Due sistemi lineari (nelle stesse incognite) si dicono equivalenti se hanno le stesse
soluzioni.
Il metodo che useremo per risolvere i sistemi lineari, detto metodo di Gauss , si basa su
questa idea: dato un sistema lineare determinare un sistema equivalente che sia “più
facile” da risolvere.
Un sistema lineare che ha soluzioni si dice anche compatibile o consistente.
Un sistema lineare che non ha soluzioni si dice anche che non è compatibile, o che è
incompatibile, o che è inconsistente.
Osservazioni
1. Se una delle equazioni è degenere con termine noto ≠ 0 allora il sistema non ha
soluzioni ( S = ∅ ).
2. Se una delle equazioni del sistema è degenere con termine noto uguale a 0 si può
eliminare: il sistema dato è equivalente a quello formato dalle rimanenti equazioni.
3. Due equazioni proporzionali secondo uno scalare ≠ 0 hanno le stesse soluzioni.
4. Se una n-pla è soluzione di due equazioni allora è soluzione anche della loro
somma.
Sistemi lineari ridotti
Un sistema lineare si dice ridotto se l’incognita iniziale in ogni equazione si trova più a
destra che nelle equazioni precedenti. In un sistema lineare ridotto il numero m delle
equazioni è minore o uguale del numero n delle incognite: m ≤ n
( le incognite iniziali
sono tutte diverse: una per ogni equazione ). Un sistema lineare ridotto è sempre
compatibile ed è “facile” da risolvere.
Come determinare l’insieme S delle soluzioni di un sistema lineare ridotto
1. Le m incognite iniziali si assumono come variabili dipendenti, le (eventuali) n-m
incognite rimanenti si assumono come variabili indipendenti.
2. Si ricavano le incognite iniziali in funzione delle rimanenti.
3. Si assegna un valore arbitrario alle variabili indipendenti.
4. Si vede che valore devono assumere le variabili dipendenti perché le uguaglianze
siano verificate.
Distinguiamo due casi:
1° caso: m = n.
Non ci sono variabili indipendenti, il sistema ha una sola soluzione.
2° caso: m < n.
Ci sono n-m variabili indipendenti, il sistema ha infinite soluzioni.
Per sottolineare che ci sono n-m variabili indipendenti si dice che il sistema ha
∝𝑛−𝑚 soluzioni.
Trasformazioni elementari
Su un sistema lineare si possono eseguire delle trasformazioni, dette elementari.
Queste trasformazioni sono di tre tipi:
T1. Scambiare due equazioni.
T2. Moltiplicare una equazione per uno scalare ≠ 0.
T3. Sommare ad una equazione del sistema un’altra equazione moltiplicata per uno
scalare.
Teorema 1. Due sistemi lineari che si ottengono l’uno dall’altro mediante un numero
finito di trasformazioni elementari sono equivalenti (ovvero hanno le stesse soluzioni).
Teorema 2. Ogni sistema lineare compatibile si può trasformare mediante un
numero finito di trasformazioni elementari in un sistema lineare ridotto; è quindi
equivalente per il teorema 1 ad un sistema lineare ridotto.
Segue che un sistema lineare di m equazioni in n incognite è compatibile se e solo se è
equivalente ad un sistema lineare ridotto. Se in particolare il sistema ridotto equivalente ha
h equazioni allora ci sono n-h variabili indipendenti, il sistema dato ha ∞𝑛−ℎ soluzioni.
Sistema lineare omogeneo
Un sistema lineare è omogeneo se i termini noti sono tutti uguali a 0
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑎 𝑥 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
{ 11 1
……………………………………….
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
Un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile: ha sempre la soluzione nulla
0 = ( 0, 0, …. , 0 ).
Studiare o discutere un sistema omogeneo significa stabilire se ha o non ha altre
soluzioni oltre quella nulla.