Relativita' quantistica - il quanto
1. Dualita’ onda-corpuscolo
Il big bang si basa sulle equazioni sviluppate da Einstein nell'ambito della teoria generale
della relativita'. Tali equazioni sono di grande efficacia se applicate allo studio di corpi grandi e
massicci. Per corpi microscopici quale era l'universo dopo pochi secondi dal big bang o il centro di
un buco nero in cui un'intera stella e' schiacciata dal suo stesso peso fino a diventare un punto
bisogna ricorrere alla meccanica quantistica. Quando si combinano le due teorie il risultato e'
disastroso.
Una teoria unificatrice e' data dalla teoria delle superstringhe. I componenti piu' piccoli
indivisibili della materia sono i sottili filamenti di energia che vibrano producendo particelle
diverse: elettroni, quark, neutrini che a loro volta si combinano a formare protoni, neutroni e atomi
e molecole Tale teoria prevede 9-10 dimensioni spaziali e una temporale (M-teoria) e le dimensioni
extra possono essere tanto piccole da risultare invisibili o tanto grandi da non essere misurabili. Le
dimensioni piccole contribuiscono alla creazione di stelle e pianeti, quelle grandi contribuiscono a
creare universi paralleli La meccanica quantistica afferma che saremmo mai in grado di conoscere
l'esatta localizzazione e l'esatta velocita' nemmeno di una singola particella, ne' di prevedere l'esito
dell'esperimento ma possiamo solo prevedere la probabilita' che un esperimento produca un
determinato risultato Lo spazio tra due oggetti non garantisce che i corpi siano distinti infatti tra i
due potrebbe essere una sorta di correlazione e di legame
La luce e' un'onda elettromagnetica e quando attraversa due fenditure si suddivide in due
treni d'onda che si dirigono verso lo schermo: si crea cioe' un'interferenza. L'onda e' formata da un
picco e da un ventre periodicamente e se due onde si dirigono una verso l'altra il loro scontro crea
un' interferenza. Consideriamo ad esempio onde da acqua: quando i picchi di due onde si toccano
l'altezza in quel punto aumenta; quando si sovrappongono due ventri la depressione e' piu'
marcata; quando si incontra un picco e un ventre l'onda tende a cancellarsi. Quando si verifica una
figura d'interferenza, si ha una prova inequivocabile che si ha a che fare con un'onda. I fotoni o un
fascio di elettroni o un singolo elettrone genera un'interferenza sono cioe' onde.
La dimensione di un'onda in un determinato punto dello spazio e' proporzionale alla
probabilita' che l'elettrone sia localizzato in quel punto dello spazio: nei punti in cui l'onda e'
grande e molto probabile che si trovi l'elettrone, nei punti in cui e' piccola e' molto improbabile e in
quelli in cui si annulla, l'elettrone non puo' stare. Un componente della materia quasi puntiforme di
spazio ha il carattere di un'onda diffusa nell'intero universo e si parla di dualita' onda-corpuscolo.
Elettroni, protoni, neutroni, la luce (costituita da pacchetti di luce detti fotoni la cui frequenza
determina l'energia del fotone) hanno una struttura corpuscolare e ondulatoria. Se una particella
ha una struttura ondulatoria, l'atto della misurazione partecipa alla creazione della realta'
osservata cioe' non possiede proprio una posizione definita prima che si effettui la misurazione.
L’universo puo’ essere rappresentato da un’onda che si propaga in uno spazio astratto
multidimensionale: il superspazio. La difficolta’ che esiste nel descrivere la transizione dalla fase di
pre-bigbang a quella di post-bigbang e’ dovuta al fatto che nella fase di pre-bigbang la curvatura e
l’intensita’ della forza gravitazionale crescono in maniera accelerata. Per passare alla fase
cosmologica standard nella quale l’universo decelera e si riempie di radiazione e’ necessario un
meccanismo che freni la crescita iniziale della curvatura e del dilatone. In caso contrario l’universo
andrebbe incontro ad uno stato singolare con curvatura infinita come nello scenario standard che
disconnetterebbe completamente la fase di pre-bigbang con quella di post-bigbang. Tale
meccanismo dovrebbe convertire l’energia cinetica della geometria e del dilatone in radiazione
termica; inoltre se la fase di pre-bigbang e’ multidimensionale deve congelare le dimensioni spaziali
in eccesso rompendo la simmetria tra le varie forze. La teoria delle stringhe dice che difficilmente
tutti questi effetti possono aver luogo quando la curvatura e’ piccola e le interazioni sono troppo
deboli. La transizione sembra richiedere un regime in cui le forze gravitazionali sono cosi’ intense
da far si’ che le particelle prodotte siano in grado esse stesse di modificare la geometria effettuando
una contro-reazione che introduce le correzioni quantistiche nelle equazioni classiche. Altre
correzioni in presenza di campo gravitazionale cosi’ intenso, vengono dal fatto che il dilatone
comincia ad autointeragire con se stesso generando una forte energia potenziale. Le eq della
cosmologia di stringa diventano molto complicate con questi effetti e puo’ essere conveniente
adottare l’approccio probabilistico della cosmologia quantistica che non necessita di una conoscenza
dettagliata di tutti gli stadi evolutivi ma solo dello stato iniziale e finale..
Relativita quantistica
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Figura: Evoluzione universo attuale e prima bigbang fase inflazionarla di de Sitter da t 2 a t1
con curvatura spazio-tempo costante ed orizzonte degli eventi costante
Fonte: L’universo prima del Big Bang. Maurizio Gasperini
Figura: Evoluzione universo in cosmologia di stringa con fase superinflazionaria
corrispondente al pre-bigbang con curvatura spazio-tempo crescente ed orizzonte degli eventi
che si contrae Esistono due diverse metriche cioe’ rappresentazioni dello stesso modello: una
metrica di espansione dovuta a modifiche alle equazioni di Einstein secondo la teoria delle
stringhe e una metrica di contrazione dovuta ai gravitoni e ai dilatoni usando la relativita’
generale. E’ possibile passare da una metrica ad un’altra che non cambia gli effetti fisici ma li
descrive con variabili diverse
Fonte: L’universo prima del Big Bang. Maurizio Gasperini
Relativita quantistica
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Anche nella cosmologia standard basata sulle eq. di Einstein e nella teoria inflazionaria
descritta dalla geometria di de Sitter l’universo ha uno stato di espansione esponenziale con
curvatura costante. Tale stato non puo’ essere durato in eterno in passato e una soluzione e’ che
appaia spontaneamente dal vuoto grazie ad un effetto detto tunnel quantistico. L’effetto tunnel in
fisica delle particelle permette ad una particella rappresentata da un’onda di superare una barriera
anche se la sua energia e’ insufficiente. In cosmologia la nascita dell’universo come effetto tunnel
richiede l’introduzione di uno spazio quantistico detto superspazio, i cui punti rappresentano
altrettante possibili configurazioni geometriche dell’universo. Il moto di un’onda da un punto
all’altro di questo superspazio rappresenta la transizione dell’universo da uno stato geometrico ad
un altro e il moto e’ governato dall’equazione di Wheeler-DeWitt. Tale eq e’ l’analogo dell’eq. di
Schrodinger con la differenza che gli stati quantistici rappresentano le possibili geometrie
dell’universo anziche’ possibili valori dell’impulso o della posizione di una data particella. Le
soluzioni a tali eq. per descrivere la nascita dell’universo come processo tunnel:
Nel modello standard se lo stato finale dell’universo e’ caratterizzato da una costante Λ
detta costante cosmologica che rappresenta la densita’ di energia del vuoto come vuole la
geometria di deSitter allora la probabilita’ di tunnel o di transizione e’ tanto piu’
grande quanto maggiore e’ il valore di Λ e l’universo viene creato gia’ pronto nello
stato inflazionarlo opportuno. Esiste pero’ un’arbitrarieta’ dovuta alle condizioni al
contorno in quanto lo stato finale cioe’ l'universo che si vuole ottenere e’ ben noto
mentre lo stato iniziale e’ incognito e la scelta da’ luogo a scenari differenti perche’
prevede inizialmente la singolarita’ del bigbang. Il processo di tunnel cosmologico viene
detto tunnelling from nothing.
Nel modello di stringa lo stato iniziale e’ il vuoto perturbativo di stringa ed e’
perfettamente noto per cui il calcolo della probabilita’ di transizione verso lo stato
finale non e’ piu’ arbitrario. Tale transizione in questo superspazio nel quale fanno da
coordinate il raggio universo e il dilatone non e’ rappresentato da un effetto tunnel
della funzione d’onda ma da un effetto di riflessione quantistica. La barriera e’
rappresentata dalla zona di energia max e curvatura max che separa la fase di postbigbang dalla singolarita’. Se non ci fossero effetti quantistici l’onda di Wheler-DeWitt
nella fase di pre-bigbang oltrepasserebbe senza problemi la barriera e finirebbe per
cadere nella curvatura infinita della singolarita’. Nella cosmologia di stringa si richiede
di far uscire l’universo dal regime accelerato inflazionarlo del pre-bigbang per farlo
entrare in quello standard mediante il processo di riflessione. L’ampiezza di
oscillazione della funzione d’onda dell’universo nello stato finale risulta molto ridotta
rispetto a quella iniziale cioe’ la probabilita’ di transizione e’ molto piccola
Ci sono processi piu’ efficienti nei quali la funzione d’onda viene amplificata anziche’
essere soppressa dove agisce un meccanismo chiamato anti-tunnel. Si creano coppie di
universi direttamente dal vuoto perturbativo di stringa. In ogni coppia uno degli
universi creati viene assorbito dalla singolarita’ dove la curvatura e il dilatone
diventano infiniti e sparisce mentre l’altro si evolve nel regime di basse curvature ed
entra nella fase di post-bigbang per poi evolvere nella fase attuale. Nella teoria
quantistica dei campi una particella che si muove all’indietro nel tempo va interpretata
come un’antiparticella di carica opposta che viaggia in avanti nel tempo. L’universo
che si contrae va interpretato come un anti-universo che si espande e il processo di antitunnelling e’ quindi una produzione di coppie di universi e anti-universi che si
espandono l’uno verso la singolarita’ e l’altro verso le basse energie.
Relativita quantistica
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Figura: Modello cosmologico standard caratterizzato dalla singolarita’
Fonte: L’universo prima del Big Bang. Maurizio Gasperini
Figura: Un confronto tra cosmologia quantistica (con condizioni al contorno appropriate per
l’effetto tunnel) e la cosmologia quantistica di stringa
Fonte: L’universo prima del Big Bang. Maurizio Gasperini
Relativita quantistica
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2. principio di Heisenberg
Il principio di Heisenberg afferma che quanto maggiore e' la precisione con cui conosciamo
la posizione di una particella tanto minore e' la precisione con cui possiamo conoscere la velocita' e
viceversa. Ad ogni misurazione si altera l'esperimento. Piu’ esattamente dimostro’ che in una
particella: indeterminazposizion*indeterminazioneimpulso>
( dove
=costantePlanck.) cioe’
velocita’*massa particella >
Le particelle hanno un'esistenza effettiva solo quando la misurazione le costringe a farlo
mentre quando non vengono osservate o non interagiscono con l'ambiente hanno un'esistenza
confusa e inoltre non esiste piu' la nozione di localita' in quanto oggetti in regioni distanti
dell'universo possono far parte di una stessa connessione quantistica. L'entanglement si verifica se
non esiste altra interazione con l'ambiente o altre particelle altrimenti viene cancellato.
Secondo Feynman una funzione d'onda racchiude tutti i passati possibili che possono aver
preceduto una determinata osservazione (somma sui cammini o somma su tutte le storie). In un
esperimento la luce laser viene divisa in due fasci che seguono traiettorie diverse in direzione dello
schermo. L'intensita' del laser puo' essere diminuita in modo da sparare un fotone alla volta. Con il
tempo i punti di impatto dei singoli fotoni formano una figura di interferenza. I fotoni cioe' hanno
due modi per andare dalla sorgente allo schermo ossia a destra o a sinistra ma si ottiene
un'interferenza e quindi le possibili storie dei fotoni sono combinate. Le funzioni d'onda sfuggono
all'osservazione diretta che non e' in grado di distinguere i singoli cammini ma riflette la media di
tutti i cammini possibili.
Se l'osservazione del fascio di fotoni individua la traiettoria, si considerano solo le storie
compatibili con tale traiettoria eliminando cosi' la possibilita' di interferenza. Bohr ha definito tale
fenomeno principio di complementarita'. Ogni elettrone, ogni fotone ha una natura ondulatoria e
una corpuscolare e tali aspetti sono complementari. Occorre considerare entrambi gli aspetti. Se gli
elettroni si si spostano dalla sorgente allo schermo senza osservarli, ne mettiamo in evidenza le
proprieta' ondulatorie che danno luogo a fenomeni di interferenza. Se invece osserviamo l'elettrone
durante il suo percorso individuiamo la sua traiettoria e abbiamo difficolta' a spiegare
l'interferenza.
Se dopo la sorgente laser si attivano dei rilevatori, si alterano le figure di interferenza (come
se il fotone acquistasse la natura corpuscolare). Quando i rilevatori sono spenti si vede interferenza
(come se il fotone acquistasse la natura ondulatoria).
Una versione cosmica e' la seguente: la fonte luminosa e' un quasar nello spazio, il
separatore e' una galassia la cui attrazione gravitazionale e' in grado di agire come una lente che
concentra i fotoni e li dirige verso la terra. Se si accumula un numero sufficiente di fotoni questi
dovrebbero dare origine a una figura di interferenza. Se pero ' si ponesse un altro rilevatore al
termine di una delle traiettorie si fornirebbero informazioni sui fotoni annullando la figura di
interferenza. Tali fotoni arrivano a noi dopo miliardi di anni quindi non si puo' pensare che hanno
memoria di un passato come particella o onda. Si puo' pensare che la realta' e' ibrida, composta da
piu' alternative di cui una sola si realizza quando si effettua un'adeguata misurazione.
Relativita quantistica
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3. funzione onda Schrodinger
Lo stato di una particella puo’ essere descritto dalla funzione d’onda di Schrodinger ψ. Tale
funzione e’ un numero associato a ogni punto dello spazio che ci dice quanto sia probabile che una
particella si trovi in quella posizione. Il ritmo al quale la funzione varia da un punto all’altro da’ il
grado di probabilita’ delle diverse velocita’ della particella. Alcune funzioni d’onda presentano un
forte picco in un certo punto dello spazio percio’ l’indeterminazione della particella e’ minima ma
la funzione d’onda poi varia bruscamente vicino al punto e cio’ significa che la’indeterminazione
della velocita’ e’ invece grande. In un treno d’onda al contrario vi e’ molta indeterminazione nella
posizione ma poca indeterminazione nella velocita’ . Quando si effettua una misura si modifica la
sua funzione d'onda e le varie alternative si riducono ad una sola: la misurazione ha causato un
collasso della funzione d'onda cioe' la probabilita' di trovarla in qualsiasi altra posizione
nell'universo si azzera, mentre quella di trovarla nel punto in cui la si osserva diviene del 100% La
velocita’ alla quale la funzione d’onda ψ varia nel tempo e’ detta equazione d’onda di Schrodinger
determinata dell’operatore Hamiltoniano H associato all’energia del sistema fisico.
L'equazione di Schrödinger assume diverse forme a seconda della situazione fisica. La
scrittura per il caso generale è:
dove:
è la funzione d'onda, che è l'ampiezza di probabilità per differenti configurazioni del
sistema.
è la costante di Planck razionalizzata, cioè divisa per 2π.
è l'operatore hamiltoniano.
Nel caso di una particella in tre dimensioni soggetta ad un potenziale V:
dove:
è un punto nello spazio tridimensionale.
m la massa della particella.
l'energia potenziale che la particella possiede se si trova nel punto r.
Relativita quantistica
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4. meccanica ondulatoria de Broglie
I risultati ottenuti con l'ipotesi di de Broglie portarono allo sviluppo della meccanica
quantistica intesa come meccanica ondulatoria. Con de Broglie si associa ad ogni particella
un pacchetto d'onda del tipo:
-:
dove
ω è la frequenza angolare o pulsazione intesa come quella centrale del pacchetto d'onde,
è il vettore d'onda che identifica la direzione di propagazione del pacchetto,
E è l'energia associata alla particella
p il suo impulso cinetico.
Una volta associato il pacchetto d'onda alla particella era necessario scoprire quale
equazione fosse in grado di descrivere l'evoluzione del pacchetto d'onda compatibilmente alla
meccanica quantistica e interpretarne le soluzioni. In tal senso applicando l'operatore di
D'Alembert al pacchetto d'onde si ottiene:
tenendo presente la relazione relativistica dell'energia :
L'equazione scritta sopra è l'equazione di Klein-Gordon: equazione in cui appare un
termine a secondo membro che è un termine di sorgente della particella con lunghezza d'onda di
Compton. Per particelle con massa nulla come i fotoni l'equazione di Klein-Gordon è una normale
equazione di D'Alembert che descrive la propagazione di un'onda elettromagnetica. Formalmente
tale equazione è ottenibile mediante le sostituzioni:
L’evoluzione parte dall’assunto che il tempo proceda ovunque regolare per sempre. Nella
relativita’ ristretta che considera uno spazio-tempo piatto in cui il tempo si muove di moto rettilineo
uniforme e’ possibile usare una qualsiasi di queste misure del tempo nell’equazione di Schrodinger
per far evolvere la funzione d’onda. Nella relativita’ generale lo spazio-tempo non e’ piatto ma
curvo e distorto dalla materia e dall’energia presente. Nel sistema solare la curvatura e’ lieve su
scala macroscopica e si puo’ usare ancora il tempo classico per ottenere un’evoluzione
deterministica della funzione d’onda nell’equazione di Schrodinger. Se consideriamo la curvatura
dello spazio-tempo o i buchi neri non e’possibile usare tale equazione. Misurando la posizione
dell'elettrone la forma della funzione d'onda cambia: i picchi collassano riducendosi a zero in tutti i
punti in cui la particella non e' presente e aumentano al 100% di probabilita' in cui la particella
viene rilevata con la misurazione. Il problema e' che le funzioni d'onda non collassano e il collasso e'
stato introdotto per l'individuazione della particella del resto tale cambiamento puo' essere spiegato
come conseguenza di un nuovo livello di conoscenza e apprendimento della particella. Se i fotoni
obbediscono all'equazione di Schrodinger e creano la figura di interferenza, nel mondo reale
esistono corpi molto piu' grandi dei fotoni che apparentemente non risentono di questi fenomeni.
Tali corpi sono pero' continuamente bersagliati da fotoni e secondo il concetto di coerenza i fotoni
spingono continuamente la funzione d'onda del corpo a cui appartengono cioe' alterano la sequenza
ordinata di cresta, ventre, cresta cioe' la coerenza. Come l'introduzione di dispositivi di marcatura
Relativita quantistica
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nei fotoni altera la funzione d'onda risultante ed elimina gli effetti di interferenza cosi' il
bombardamento dei corpi da parte delle particelle cancella la possibilita' che si verifichino
fenomeni di interferenza. Nei corpi grandi grazie all'azione della miriade di particelle ambientali
che interferiscono, l'ambiente ha obbligato il tutto ad assumere uno stato solo specifico e cio' si dice
decoerenza
Relativita quantistica
cap-pag 4-8/11
5. fluttuazioni di punto zero
La teoria quantistica predice che lo stato di energia minima di un campo eletrico e
magnetico (come un pendolo) non ha energia zero ma deve avere una quantita’ minima di
fluttuazioni dette di punto zero. Nella teoria quantistica della gravita’ ciascuna lungh onda ha
un’energia di stato fondamentale. Nell’universo vi sono infinite lungh onda del campo di Maxwell e
quindi infinita densita’ energia dello stato fondamentale. Infinita densita’ energia vuol dire infinita
sorgente di gravita’ che dovrebbe far arrotolare lo spazio-tempo in un unico punto ma cio’ non e’
successo. Sembra percio’ che le fluttuazioni dello stato fondamentale non hanno effetto
gravitazionale ma in realta’ e’ possibile misurare tale energia mediante l’effetto Casimir. Per
eliminare tale problema si ricorre alla supersimmetria
Figura: Effetto Casimir .
Fonte: L’universo in un guscio di noce: Stephen Hawking
Relativita quantistica
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6. supersimmetria
Le particelle elementari hanno uno spin cioe' ruotano su se stesse in senso orario o
antiorario lungo un asse specifico a una velocita' fissa. Tale asse puo' mutare direzione ma la sua
velocita' non puo' aumentare o diminuire. Per il principio di indeterminazione non si puo' misurare
contemporaneamente lo spin di una particella su piu' assi (si perde la capacita' di stabilire come la
particella ruotasse prima della misurazione rispetto a un qualsiasi altro asse).
Esistono particelle entangled che pur essendo spazialmente distanti non si comportano in
maniera autonoma l'una dall'altra. Un oggetto cioe' puo' risentire di quello che si fa ad un altro
oggetto separato esiste cioe' una correlazione spaziale. In particolare un entanglement quantistico e'
quando in due fotoni la misurazione esatta dello spin di uno dei due lungo un asse costringe il
secondo distante ad avere lo stesso spin sullo stesso asse. L'atto di misurare un fotone obbliga l'altro
anche lontanissimo ad assumere un valore di spin in accordo con quello del fotone distante. Non
esiste passaggio di informazione perche' contrasterebbe con il limite di velocita' della luce ma si
spiega con il fatto che fanno parte di una unica entita' fisica malgrado siano distinte!
Lo spin dell'elettrone e' una caratteristica intrinseca della particella e tutte le particelle
(dette generalmente fermioni) hanno spin pari quello dell'elettrone cioe' hanno spin 1/2. Le
particelle mediatrici delle forze non gravitazionali (fotoni, bosoni di gauge deboli e gluoni dette
generalmente bosoni) hanno spin 1 e il gravitone ha spin 2. Oltre alla simmetria traslazionale,
rotazionale etc. esiste la supersimmetria associata ad un cambiamento di riferimento in una
estensione quantistica dello spaziotempo. Le particelle devono presentarsi in coppie il cui spin
differisce di 1/2. Tali coppie sia pensate come particelle che come stringhe sono dette partner
supersimmetrici. In tale ipotesi sembra che si accoppino le particelle materiali con le mediatrici. In
realta' nessuna di queste particelle poteva essere accoppiata con un'altra. Ma se tutte le particelle
devono avere un partner supersimmetrico allora deve esistere un selettrone, sneutrino, squark (a
spin 1/2) e deve esistere un gluino, fotino, winos e zinos (a spin 1). Ad esempio un bosone-fotone con
spin1 ha energia di stato fondamentale positiva e come superpartner un fermione-fotino con
energia di stato fondamentale negativa. Un fermione-elettrone con spin1/2 ha energia di stato
fondamentale negativa e si accoppia con un superpartner bosone-selettrone con energia
fondamentale positiva. Nella teoria della supergravita’ si hanno ugual numero di fermioni e bosoni
pertanto le energie di stato fondamentale degli uni e degli altri si elidono a vicenda!!!! Nessun
partner supersimmetrico e' stato mai scoperto. Il nuovo Fermilab e LHC sono stati progettati per
trovare prove della supersimmetria infatti la massa di questi partner sembra essere 1000 volte
quella del protone e i nuovi laboratori dovrebbero arrivare a tali misure.
L’universo non e’ in uno stato supersimmetrico e non e’ possibile pensare che le energie
positive e negative si annullino senza lasciare una piccola quantita’ di energia del vuoto. Del resto
una storia in cui l’energia del vuoto fosse stata maggiore non avrebbe portato alla formazione di
galassie e quindi di esseri intelligenti che si pongono questa domanda. Nel seguente diagramma
esiste una zona di intersezione in cui dopo un lungo rallentamento l’espansione dell’universo ha
ricominciato ad accelerare
Relativita quantistica
cap-pag 6-10/11
Figura: Energia del vuoto e densita’ della materia.
Fonte: L’universo in un guscio di noce Stephen Hawking
Relativita quantistica
cap-pag 6-11/11
