Insegnamento: Complementi di Algebra
Informazioni generali:
Docente: Vincenzo Micale
Contatti:
Dipartimento Matematica e Informatica.
Stanza 343; e- mail: [email protected]
Tel. 0957383054
Orario di ricevimento: per appuntamento
Anno di corso: terzo (primo semestre)
Settore scientifico-disciplinare: MAT/02
CFU: 6
ore: 48
Prerequisiti ed eventuali propedeuticità: nessuna (ma è fortemente consigliato aver superato l'esame di Algebra
del primo anno).
Frequenza: fortemente consigliata
Orario delle lezioni: Da definire
Obiettivi formativi
Lo studente acquisirà una maggiore capacità della comprensione dell'algebra e dei suoi metodi;
In particolare, il corso si propone il seguente obiettivo, presentare la teoria di Galois che ha un ruolo storico-culturale
molto importante per un matematico.
Gli studenti affronteranno dimostrazioni profonde, in cui entrano in gioco tutte le nozioni (apparentemente distinte)
studiate nel corso di Algebra al primo anno e, attraverso le esercitazioni in classe, gli studenti impareranno a utilizzare i
concetti imparati e a sviluppare ragionamenti di tipo astratto.
Risorse e testi
Attività didattica: La principale risorsa del corso sono le lezioni frontali, un quarto delle quali dedicate ad
esercitazioni.
Libri consigliati: S. Gabelli, Teoria delle equazioni e teoria di Galois, Spinger, 2008
Verifiche ed esami:
Durante il corso si svolgeranno esercitazioni in classe che permetteranno al docente di conoscere gli studenti,
insegnando loro a ragionare con i concetti appena appresi.
Si svolgeranno due prove in itinere; se superate, l'esame può considerarsi concluso.
calendario degli esami :
http://web.dmi.unict.it/Didattica/Laurea%20Triennale%20in%20Matematica%20L-35/Calendario%20dEsami
Programma del corso
Il corso presenta la teoria di base delle estensioni di campi (estensioni finite, finitamente generate, algebriche,
separabili, normali) e, successivamente, la teoria di Galois, nel caso delle estensioni finite. Infine vengono date alcune
applicazioni della teoria di Galois, come il teorema fondamentale dell'algebra, le costruzioni con riga e compasso e la
risolubilità/non risolubilità delle equazioni polinomiali.
I parte: estensioni di campi.
Campi e caratteristica; estensioni finite; elementi algebrici e trascendenti; estensioni algebriche; estensioni finitamente
generate; campo di spezzamento di un polinomio; chiusura algebrica di un campo; campi finiti; estensioni separabili;
polinomi simmetrici; estensioni normali.
II parte: teoria di Galois.
Isomorfismi e automorfismi di campi; estensioni di isomorfismi; gruppo di Galois di un'estensione; estensioni
galoissiane; teorema fondamentale della teoria di Galois.
III parte: applicazioni.
Teorema fondamentale dell'algebra; estensioni ciclotomiche; costruzioni con riga e compasso; gruppi risolubili; norma
traccia e discriminante; estensioni cicliche; teorema di Abel-Ruffini; formule risolutive delle equazioni di terzo grado.
