Teoria di Galois

Teoria di Galois
a.a. 2013-2014
Insegnamento: Teoria di Galois
Docenti: Paola D’Aquino; Giuseppina Terzo
Settore Scientifico - Disciplinare: MAT/02
CFU
ORE
8=8L
64
Obiettivi formativi: Acquisire una buona conoscenza della teoria dei campi, dei gruppi di Galois e
della loro applicazione come la risolubilità per radicali di un’equazione algebrica.
Propedeuticità: Algebra 1, Geometria 1
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di
Laboratorio.
PROGRAMMA
• Elementi algebrici. Polinomio minimo. Estensioni algebriche.
• Estensione simbolica di un campo mediante l’aggiunta di una radice di un
polinomio. Campo di spezzamento di un polinomio. Teorema di Kroneker. Unicità,
a meno di isomorfismi, del campo di spezzamento.
• Isomorfismi di campi. Teorema di prolungamento. Gruppo di Galois di
un’estensione e di un polinomio. Esempi. Azione del gruppo di Galois di un
polinomio sull’insieme delle sue radici. Caratterizzazione dell’irriducibilità di un
polinomio mediante la transitività del suo gruppo di Galois sull’insieme delle radici.
Relazioni fra il grado di un’estensione e l’ordine del suo gruppo di Galois. Lemma
di Dedekind.
• Campi
algebricamente
chiusi:
definizione
e
caratterizzazioni.
Teorema
fondamentale dell’algebra. Chiusura algebrica di un campo. Teorema di esistenza e
di unicità (a meno di isomorfismi) della chiusura algebrica di un campo. Il campo
dei numeri algebrici.
• Estensioni separabili. Definizione, esempi e caratterizzazioni. Campi perfetti.
• Estensioni normali. Definizione, esempi e caratterizzazioni. Chiusura normale di
un’estensione di grado finito.
• Estensioni di Galois. Definizione, esempi e caratterizzazioni. Teorema
fondamentale della Teoria di Galois ed alcune sue applicazioni: teorema
dell’elemento primitivo, teorema fondamentale dell’algebra, problema della
ciclotomia.
• Estensioni radicali. Equazioni risolubili per radicali. Il caso classico dei polinomi di
grado al più 4 a coefficienti in un sottocampo del campo complesso. Polinomi
ciclotomici e radici dell’unità. Estensioni cicliche ed abeliane. Risolvente di
Lagrange. Gruppi risolubili. Teorema di Galois. Polinomi simmetrici. Teorema sui
polinomi simmetrici. Teorema di RuffiniAbel.
• Calcolo del gruppo di Galois dei polinomi di grado al più 4.