Teoria di Galois

Teoria di Galois
a.a. 2015-2016
Insegnamento: Teoria di Galois
Docenti: Paola D’Aquino; Giuseppina Terzo
Settore Scientifico Disciplinare: MAT/02
CFU
ORE
8=8L
64
Obiettivi formativi: Acquisire una buona conoscenza della teoria dei campi, dei gruppi di Galois
e della loro applicazione come la risolubilità per radicali di un’equazione algebrica.
Propedeuticità: Algebra 1, Geometria 1
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
Elementi algebrici. Polinomio minimo. Estensioni algebriche. Estensione simbolica
di un campo mediante l’aggiunta di una radice di un polinomio. Campo di
spezzamento di un polinomio. Teorema di Kronecker. Esistenza e unicità del campo
di spezzamento. Teorema di prolungamento. Gruppo di Galois di un’estensione e di
un polinomio. Azione del gruppo di Galois di un polinomio sull’insieme delle sue
radici. Caratterizzazione dell’irriducibilità di un polinomio mediante l’azione
transitiva del suo gruppo di Galois. Relazioni fra il grado di un’estensione e l’ordine
del suo gruppo di Galois. Lemma di Dedekind. Campi algebricamente chiusi:
definizione e caratterizzazione. Teorema fondamentale dell’algebra. Chiusura
algebrica di un campo. Teorema di esistenza e di unicità della chiusura algebrica di
un campo. Il campo dei numeri algebrici. Estensioni separabili, normali e loro
caratterizzazioni. Campi perfetti. Chiusura normale di un’estensione di grado finito.
Estensioni di Galois. Teorema fondamentale della Teoria di Galois ed alcune sue
applicazioni: teorema dell’elemento primitivo, teorema fondamentale dell’algebra,
problema della ciclotomia.
Estensioni radicali. Equazioni risolubili per radicali.
Teorema di Ruffini-Abel. Polinomi ciclotomici e radici dell’unità. Estensioni cicliche
ed abeliane. Risolvente di Lagrange. Gruppi risolubili. Teorema di Galois. Polinomi
simmetrici. Calcolo del gruppo di Galois dei polinomi di grado al più 4.
Testi consigliati.
M.Curzio, M.Maj, P.Longobardi, “Lezioni di Algebra”, Liguori, Napoli 1994.
S.Franciosi, F. de Giovanni, “Elementi di Algebra”, Aracne, Roma 1995.
Ian Stewart, “Galois Theory”, Chapman Hall/Crc Mathematics, New York, 2009