Diario delle lezioni di Algebra IV Anno Accademico 2014/15 Lezione 1 del 2/3/15 Richiami di teoria dei campi. Sottoanello e sottocampo generati da un sottoinsieme. Elementi algebrici e trascendenti. Estensioni semplici. Lezione 2 del 3/3/15 Campo di spezzamento. Esistenza e unicità. Lezione 3 del 9/3/15 Chiusura algebrica di un campo. Esistenza (alla Artin) e (non) unicità. Lezione 4 del 10/3/15 Gruppo di Galois di una estensione. Estensioni normali. Corrispondenza di Galois. Oggetti chiusi in L ∪ H. Lezione 5 del 16/3/15 Teorema Fondamentale della Teoria di Galois (parte prima). Esempi. Campi intermedi stabili. Corrispondenza tra campi intermedi stabili e sottogruppi normali. Lezione 6 del 17/3/15 Stabilità e normalità. Teorema Fondamentale della Teoria di Galois (parte seconda). Polinomi separabili. Lezione 7 del 23/3/15 Caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito. Esercizi. Lezione 8 del 24/3/15 Esercizi. Lezione 9 del 30/3/15 Campi finiti. Gruppo di Galois di Fpn su Fp . Esempio di un campo di spezzamento non normale. Lezione 10 del 31/3/15 Chiusura spezzante e chiusura normale. Gruppi risolubili, definizione e proprietà. Lezione 11 del 13/4/15 Semplicità di An per n ≥ 5. Estensioni radicali, esempi e proprietà. Lezione 12 del 14/4/15 Gruppo di Galois di estensioni radicali normali. Chiusura spezzante di una estensione radicale. Criterio di risolubilità per radicali (parte prima). Lezione 13 del 20/4/15 Traccia e norma. Elementi di traccia 0. Estensioni cicliche. Elementi di norma 1. Hilbert Satz 90. Lezione 14 del 21/4/15 Criterio di risolubilità per radicali (parte seconda). Radici n-me dell’unità. Lezione 15 del 27/4/2015 Polinomi ciclotomici. Irriducibilità su Q[x]. Gruppo di Galois di una estensione ciclotomica di Q. Esercizi. Lezione 16 del 4/5/15 1 2 Esercizi. Lezione 17 del 5/5/2015 Complementi sui polinomi ciclotomici. Problema inverso di Galois. Costruzioni con riga e compasso. Lezione 18 del 11/5/15 Esercizi. Lezione 19 del 12/5/2015 Costruzioni con riga e compasso. Problemi classici: quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo. Costruzione dei poligoni regolari. Teorema di Gauss. Lezione 20 del 18/5/2015 Campi perfetti. Estensioni puramente inseparabili. Lezione 21 del 19/5/2015 Grado di separabilità. Derivazioni di un anello. Lezione 22 del 25/5/2015 Riepilogo Lezione 23 del 26/5/2015 Riepilogo