Diario delle lezioni di Algebra IV Anno Accademico 2014/15

Diario delle lezioni di Algebra IV
Anno Accademico 2014/15
Lezione 1 del 2/3/15
Richiami di teoria dei campi. Sottoanello e sottocampo generati da un
sottoinsieme. Elementi algebrici e trascendenti. Estensioni semplici.
Lezione 2 del 3/3/15
Campo di spezzamento. Esistenza e unicità.
Lezione 3 del 9/3/15
Chiusura algebrica di un campo. Esistenza (alla Artin) e (non) unicità.
Lezione 4 del 10/3/15
Gruppo di Galois di una estensione. Estensioni normali. Corrispondenza di
Galois. Oggetti chiusi in L ∪ H.
Lezione 5 del 16/3/15
Teorema Fondamentale della Teoria di Galois (parte prima). Esempi.
Campi intermedi stabili. Corrispondenza tra campi intermedi stabili e sottogruppi normali.
Lezione 6 del 17/3/15
Stabilità e normalità. Teorema Fondamentale della Teoria di Galois (parte
seconda). Polinomi separabili.
Lezione 7 del 23/3/15
Caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito. Esercizi.
Lezione 8 del 24/3/15
Esercizi.
Lezione 9 del 30/3/15
Campi finiti. Gruppo di Galois di Fpn su Fp . Esempio di un campo di
spezzamento non normale.
Lezione 10 del 31/3/15
Chiusura spezzante e chiusura normale. Gruppi risolubili, definizione e proprietà.
Lezione 11 del 13/4/15
Semplicità di An per n ≥ 5. Estensioni radicali, esempi e proprietà.
Lezione 12 del 14/4/15
Gruppo di Galois di estensioni radicali normali. Chiusura spezzante di una
estensione radicale. Criterio di risolubilità per radicali (parte prima).
Lezione 13 del 20/4/15
Traccia e norma. Elementi di traccia 0. Estensioni cicliche. Elementi di
norma 1. Hilbert Satz 90.
Lezione 14 del 21/4/15
Criterio di risolubilità per radicali (parte seconda). Radici n-me dell’unità.
Lezione 15 del 27/4/2015
Polinomi ciclotomici. Irriducibilità su Q[x]. Gruppo di Galois di una estensione ciclotomica di Q. Esercizi.
Lezione 16 del 4/5/15
1
2
Esercizi.
Lezione 17 del 5/5/2015
Complementi sui polinomi ciclotomici. Problema inverso di Galois. Costruzioni
con riga e compasso.
Lezione 18 del 11/5/15
Esercizi.
Lezione 19 del 12/5/2015
Costruzioni con riga e compasso. Problemi classici: quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo. Costruzione dei poligoni
regolari. Teorema di Gauss.
Lezione 20 del 18/5/2015
Campi perfetti. Estensioni puramente inseparabili.
Lezione 21 del 19/5/2015
Grado di separabilità. Derivazioni di un anello.
Lezione 22 del 25/5/2015
Riepilogo
Lezione 23 del 26/5/2015
Riepilogo