Programma di Algebra II A.A. 2016/2017

Programma di Algebra II A.A. 2016/2017
1. Semigruppi. Monoidi. Elementi invertibili. Gruppi.
2. Gli invertibili di un monoide formano un gruppo. Gruppi e sottogruppi.
3. Gruppi diedrali. Gruppo generale lineare e gruppo speciale lineare.
4. Morfismi di gruppi. L’immagine di un morfismo è un sottogruppo del
codominio.
5. Intersezione di sottogruppi.
6. L’immagine di un morfismo è un sottogruppo del codominio.
7. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Gruppi ciclici. Ordine di un
elemento e del sottogruppo da lui generato.
8. Ordine delle potenze di un elemento.
9. Classi laterali destre e sinistre.
10. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange.
11. Un gruppo di ordine primo è ciclico. Teorema di Eulero-Fermat.
12. Sottogruppi normali. Proprietà equivalenti alla normalità. I nuclei dei
morfismi sono normali.
13. Lemma di Poincarè. Formula sul prodotto egli indici di sottogruppi.
14. Gruppo quoziente.
15. Primo teorema di isomorfismo per gruppi.
16. Teorema di struttura dei gruppi ciclici.
17. Teorema di corrispondenza.
18. Prodotti di sottogruppi.
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19. Formula per l’ordine di un prodotto di sottogruppi.
20. Secondo e terzo teorema di isomorfismo per gruppi.
21. Automorfismi di gruppi. Automorfismi interni. Inn(G) E Aut(G).
22. Prodotti diretti.
23. Gruppi simmetrici. Teorema di Cayley. Se esiste una biiezione tra ∆ e
Ω allora Sym(∆) ' Sym(Ω).
24. Supporto di una permutazione e punti fissi. Permutazioni con supporto
disgiunto commutano.
25. Cicli. Ordine di un ciclo.
26. Decomposizione in cicli disgiunti (enunciato).
27. Coniugato di una permutazione.
28. Permutazioni con lo stesso tipo ciclico sono coniugate.
29. Segno di una permutazione.
30. Decomposizione in trasposizioni e gruppo alterno.
31. Azioni di gruppi su insiemi. Morfismo associato ad una azione.
32. Nucleo di un’azione. Azioni Fedeli. Stabilizzatore di un elemento.
Orbita di un elemento. Azioni transitive.
33. Teorema orbita/stabilizzatore. Equazione delle orbite.
34. Gli stabilizzatori di elementi nella stessa orbita sono coniugati.
35. Punti fissi nell’aziione di un p-gruppo.
36. Se il primo p divide l’ordine del gruppo G, allora G ha un elemento di
periodo p.
37. Azione sui laterali di un sottogruppo.
38. Azione per coniugio. Classi di coniugio e centralizzanti. Formula delle
classi. I p-gruppi hanno centro non banale.
39. Teoremi di Sylow.
40. Formula di Frobenius e sue applicazioni.
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41. Lemma di Gauss. Criterio di irriducibilità di Eisenstein e applicazioni.
42. Estensioni. Estensioni semplici.
43. Teorema di struttura per estensioni semplici.
trascendenti.
Elementi algebrici e
44. Anelli come spazi vettoriali su un sottocampo. Grado di un anello su
un suo sottocampo.
45. Polinomio minimo di un elemento algebrico.
46. Se α è algebrico sul campo F, allora |F[α] : F| è uguale al grado del
polinomio minimo di α su F.
47. Formula dei gradi.
48. Estensioni algebriche. Le estensioni di grado finito sono algebriche.
Esistono estensioni algebriche di grado infinito.
49. Ogni polinomio non costante ammette una radice in una opportuna
estensione.
50. Campi di spezzamento. Esistenza di un campo di spezzamento.
51. Estensione di isomorfismi tra campi.
52. Unicità dei campi di spezzamento. Zeri di un polinomio irriducibile in
un campo di spezzamento.
53. Estensioni normali.Le estensioni normali sono campi di spezzamento.
54. Derivata formale. Zeri multipli. Estensioni separabili.
55. Gruppo di Galois.
56. Se K è il campo di spezzamento di un polinomio con fattori irriducibili
separabili f ∈ F[x], allora |Gal(K | F)| = [K : F].
57. Estensioni di Galois.
58. Teorema fondamentale della teoria di Galois (Corrispondenza di Galois)
(solo enunciato).
59. Teorema fondamentale dell’algebra.
60. Campi finiti: esistenza e unicità.
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61. Gruppo di Galois di un campo finito e sottocampi di un campo finito.
62. Costruzioni con riga e compasso. Duplicazione del cubo, trisezione
dell’angolo.
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