Geometria Analitica

GEOMETRIA ANALITICA
DISTANZA TRA DUE PUNTI: A( x1 ; y1 ) B( x2 ; y2 )
AB 
 x2  x1    y2  y1 
2
2
Distanza tra due punti con la stessa ordinata: A( x1 ; y1 ) B( x2 ; y1 )
AB  x2  x1
Distanza tra due punti con la stessa ascissa: A( x1 ; y1 ) B( x1; y2 )
AB  y2  y1
 x  x y  y2 
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO: M  1 2 ; 1

2 
 2
 x  x  x y  y  y3 
BARICENTRO DI UN TRIANGOLO: G  1 2 3 ; 1 2

3
3


RETTA in forma esplicita:
y  mx  q
Coefficiente angolare m di una retta passante per due punti:
y y
m 2 1
x2  x1
Consideriamo due rette generiche:
y  m1 x  q1
y  m2 x  q2
Rette parallele se m1  m2
Rette perpendicolari se m1  m2  1  m1  
Retta passante per due punti:
1
m2
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
Retta passante per un punto P( x0 ; y0 ) con coefficiente angolare m dato: y  y0  m  x  x0 
RETTA in forma implicita:
ax  by  c  0
Distanza tra il punto P( x0 ; y0 ) e la retta ax  by  c  0 : d 
| ax0  by0  c |
a 2  b2
CIRCONFERENZA di centro C ( ;  )
x2  y 2  ax  by  c  0
dove:
a
a  2    
2
b
b  2    
2
c   2   2  r2  r   2   2  c
Circonferenza di centro C ( ;  ) e raggio r :  x      y     r 2
2
PARABOLA
y  ax 2  bx  c
a  0 concavità verso l’alto
a  0 concavità verso il basso
 b b2  4ac 
V  ;

4a
 2a

Direttrice: y 
b2  4ac  1
4a
 b b2  4ac  1 
F  ;

4a
 2a

Asse: x  
b
2a
x  ay 2  by  c
a  0 concavità nella direzione positiva dell’asse x
a  0 concavità nella direzione negativa dell’asse x
 b2  4ac
b 
V
; 
4a
2a 

Direttrice: x 
b 2  4ac  1
4a
 b2  4ac  1 b 
F
; 
4a
2a 

Asse: y  
Posizioni di una retta rispetto a una parabola:
  0 retta tangente
  0 retta secante
  0 retta esterna
b
2a
2
ELLISSE
x2 y 2

1
a 2 b2
Se a  b i fuochi si trovano sull’asse delle x:
F1  c;0 F2  c;0
c2  a 2  b2
Eccentricità: e 
c
a 2  b2

a
a
Se a  b i fuochi si trovano sull’asse delle y:
F1  0; c  F2  0; c 
c 2  b2  a 2
Eccentricità: e 
c
b2  a 2

b
b
Posizioni di una retta rispetto a un’ellisse:
  0 retta tangente
  0 retta secante
  0 retta esterna
IPERBOLE
Equazione dell’iperbole con i fuochi appartenenti all’asse x:
x2 y 2

1
a 2 b2
c 2  a 2  b2
b
Asintoti: y   x
a
Fuochi: F1  c;0 F2  c;0
Vertici: A1  a;0 A2  a;0
Eccentricità: e 
c
a 2  b2

a
a
Equazione dell’iperbole con i fuochi appartenenti all’asse y:
x2 y 2

 1
a 2 b2
c 2  a 2  b2
b
Asintoti y   x
a
Fuochi: F1  0; c  F2  0; c 
Vertici: B1  b;0 B2  b;0
Eccentricità: e 
c
a 2  b2

b
b
Posizioni di una retta rispetto a un’iperbole:
  0 retta tangente
  0 retta secante
  0 retta esterna
IPERBOLE EQUILATERA riferita agli assi di simmetria a  b
Se i fuochi sono sull’asse delle x:
x2  y 2  a2
Se i fuochi sono sull’asse delle x:
x 2  y 2  a 2
Asintoti
b
y x
a
a 2
Eccentricità: e 
 2
a
IPERBOLE EQUILATERA riferita agli asintoti
xy  k
FUNZIONE OMOGRAFICA
ax  b
y
cx  d
d
a
y
Asintoti: x  
c
c
 d a
Centro di simmetria: C   ; 
 c c