QUESITI DI MATEMATICA PER LA TERZA PROVA
Tratti dall’archivio Terze Prove CEDE 1999
Matematica Finanziaria, Funzioni 2variabili,
Programmazione Lineare, Problemi di scelta
1) I problemi di scelta, in condizioni di certezza e con effetti differiti, possono essere affrontati utilizzando vari
criteri. Descrivere sinteticamente come si può scegliere tra più alternative utilizzando il criterio del valore
attuale e precisare i limiti di questo metodo.
2) Dopo aver definito le caratteristiche del modello matematico in un problema di Programmazione Lineare
determinare il massimo della funzione z 4000x 5000y 1000 soggetta al sistema di vincoli
3 x 2 y 12
y 3
x 0
y 0
3) Risolvere il seguente problema di Programmazione Lineare:
Una fabbrica produce due pezzi, A e B, con l’uso di due tipi di macchine MAC1 e MAC2;
ciascun pezzo deve essere lavorato sotto ciascuna macchina non importa in che ordine, durante
i tempi in minuti dati dalla seguente tabella
A
B
MAC1
50
100
MAC2
120
40
Le macchine MAC1 sono disponibili 3700 minuti al giorno e le macchine MAC2 lo sono 3180
minuti al giorno.
Determinare le condizioni che portano al massimo profitto, sapendo che il guadagno dalla vendita di un pezzo
A è di 125 euro e che il guadagno ottenuto con la vendita di un pezzo B è di 100 euro.
4) Individua l’affermazione corretta fra le seguenti:
□ se il dominio dei vincoli è illimitato allora un problema di P.L. non ha soluzioni
□ se il dominio dei vincoli è chiuso allora il problema di P.L. ammette una soluzione ottimale
□ se il dominio dei vincoli è chiuso allora il problema di P.L. ammette almeno una soluzione ottimale
□ se un problema di P.L. ammette infinite soluzioni di minimo, non può avere infinite soluzioni di massimo
5)
Una scuola di 250 alunni si rivolge, per un viaggio di istruzione, ad un’agenzia che fornisce i seguenti
dati:
- il costo è di 75 euro pro capite fino a 150 partecipanti;
- il costo per studente viene ridotto di 0,26 euro per ogni studente che eccede i primi 150.
In questa situazione l’espressione del ricavo è così traducibile in termini analitici:
y [75 0.26( x 150 )] x con x numero di partecipanti alla gita.
Con quanti studenti l’agenzia ha il massimo ricavo ?
Realizzare una rappresentazione grafica del caso considerato.
Calcolare l’ammontare del ricavo massimo per l’agenzia.
6)
Come si risolve, in generale, un problema di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati
nel caso continuo ? Supponi che si debba scegliere tra due cicli di produzione e vendita
per i quali vengono specificati costi e ricavi, come nel problema seguente.
Un’azienda può scegliere tra questi due cicli di produzione e vendita di un prodotto:
a) costo fisso mensile di 1000 euro e costo unitario di 0,5 euro il Kg;
la quantità prodotta può essere venduta a 1 euro il Kg;
b) costo fisso mensile di 6000 euro e costo unitario di (x+0,5) euro essendo x la quantità
prodotta espressa in Kg che viene venduta a 4,5 euro il Kg.
Qual è il ciclo migliore in funzione della quantità prodotta mensilmente ?
7) Una ditta vende un suo prodotto a 5.000. Sapendo che il costo di produzione giornaliero
relativo alla quantità x è dato da:
C( x) 120.000 2.000x x 2
si dica quale è la quantità giornaliera da produrre per avere il massimo profitto
□ 150
□ 3.000
□ 1.500
□ 750
8)
In riferimento ai dati relativi al numero delle donne iscritte ad un sindacato in Gran Bretagna in
funzione del tempo nel presente secolo, si è realizzato il seguente grafico:
In esso compaiono:sull’asse X gli anno dal 1900 (ad X=0 corrisponde 1900 e via di seguito)
in poi; sull’asse delle Y compaiono i dati sul numero delle donne iscritte ad un sindacato in Gran Bretagna,
con proiezione futura ipotizzata in basse all’andamento dell’ultimo periodo.
Supponendo ora che si tratti del grafico di una funzione reale, e tenendo presente che la lettura delle
coordinate può essere oggetto di interpretazione parzialmente personale non essendo disponibile l’equazione
della curva, il candidato si esprima:
1) indicando il dominio della funzione reale ipotizzata, precisando anche come si determina in generale
il dominio di una funzione reale;
2) relativamente alla presenza di punti di massimo e minimo relativi, dandone le coordinate e precisando
anche come si determinano tali punti quando sia data l’equazione della funzione.
9) Due eventi A e B sono stocasticamente indipendenti se:
□ P( A / B) P( A B) / P( B) con P( B) 0
□ P( A B) P( A) P( B)
□ P( A B) P( A) P( B) P( A B)
□ P( A B) P( A) P( B)
1
x definita nell’intervallo aperto (0, )
x
le coordinate del punto di minimo assoluto della funzione in tale intervallo sono:
10
5
□ (3, )
□ (2, )
3
2
3 13
□ (2,5)
□ ( , )
2 6
10) Data la funzione somma y
11) La domanda e l’offerta di un certo prodotto sono espresse rispettivamente dalle funzioni
d 300 3 p
q 180 3 p
Determinare il prezzo di equilibrio e la quantità domandata a tale prezzo.
12) Il valore massimo assoluto della funzione obiettivo z ( x, y) 5x 3 y 2 nel campo
x 2 y 6 0
di scelta definito dai seguenti vincoli x 0
è rappresentato da:
y 0
□ z( x, y) 2
□ z ( x, y) 7
□ z ( x, y) 28
□ non esiste il massimo assoluto
13) Nell’ipotesi di valori sempre positivi per la variabile x
1800
la funzione y 2 x
risulta:
x
□ sempre crescente
□ sempre decrescente
□ prima decrescente e poi crescente, con un punto di minimo per x 30
□ prima crescente e poi decrescente, con un punto di massimo per x 30
14) Risolvere con il metodo grafico il problema che ha dato origine al seguente modello matematico:
Funzione obiettivo z 2x 3 y 1 .
x y 2
Sistema dei vincoli: 3x y 6
x 0
Determinare il massimo e il minimo.
15) Per rifinire un certo prodotto un’azienda può lavorare in proprio (alternativa A)
oppure affidare il lavoro a terzi (alternativa B).
Se i costi sono espressi dalle seguenti funzioni:
C A 400 .000 200 x
C B 300 x
l’alternativa B risulta essere:
□ sempre la meno conveniente;
□ sempre la più conveniente;
□ la più conveniente per 0 x 4.000 ;
□ la più conveniente per x 4.000 .
16) Un’impresa ha accertato che la domanda di un dato bene, espressa in numero di pezzi al mese,
è definita dalla relazione seguente:
x p 3.000
dove p è il prezzo unitario di vendita; per quanto riguarda i costi si prevede un costo fisso
mensile di 450 euro e un costo variabile totale uguale a 200x.
Determinare il prezzo di vendita che rende massimo il guadagno nonché
l’importo di quest’ultimo.
17) Per trasportare della merce la ditta OAM si può servire di due ditte di trasporti, la ditta A e la ditta B.
La ditta A offre il proprio servizio di trasporto a 40 euro la tonnellata.
La ditta B offre lo stesso servizio a 25 euro la tonnellata con l’aggiunta di 125 euro fissi per ogni
viaggio indipendentemente dalla quantità trasportata.
La scelta economicamente più vantaggiosa per la ditta OAM risulta essere:
□ quello della ditta A indipendentemente dalla quantità di merce trasportata;
□ quello della ditta B indipendentemente dalla quantità di merce trasportata;
□ quello della ditta A quando la merce trasportata risulta inferiore ad 11 tonnellate;
□ quello della ditta B quando la merce trasportata risulta inferiore ad 11 tonnellate.
18) Le spese di produzione di un bene, in un ciclo di lavorazione, si suddividono in:
- spese fisse di 10.000.000;
- costo di lavorazione di 700 per ogni unità prodotta;
- spese per la manutenzione degli impianti pari al 5% del quadrato della quantità prodotta.
Il prezzo di vendita è di 2.500 per ogni unità.
La capacità produttiva massima è di 25.000 unità.
Il grafico della funzione dell’utile è il seguente.
Il modello matematico che rappresenta il problema presentato è il seguente:
□ U ( x) 0,05x 2 1800x 10.000.000 0 x 25 .000
□ U ( x) 0,05x 2 1800x 10.000.000
□ U ( x) 0,05x 2 1800x 10.000.000
□ U ( x) 5x 2 1800x 10.000.000
0 x 25 .000
Tenendo presente il testo del problema e il grafico si può affermare che:
□ il massimo utile si ha per x 6.200 .000 e non si ha perdita per 0 x 25 .000
□ il massimo utile si ha per x 6.865 e non si ha perdita per 6.865 x 25.000
□ il massimo utile si ha per x 18.000 e non si ha perdita per 6.865 x 25.000
□ il massimo utile si ha per x 18.000 e non si ha perdita per x 28 .130
19) Dopo aver trattato in forma generale i problemi di decisione, ci si soffermi sui problemi in
condizione di incertezza e su quelli con effetti differiti, trattando più specificatamente ed
esemplificando opportunamente il problema delle scorte.
20) La Ricerca Operativa come applicazione di un metodo scientifico alla soluzione di problemi complessi
e di natura diversa è utilizzata soprattutto da imprese di rilevanti dimensioni, nella politica
economica di Enti e Stati. L’utilizzo della R.O. consente:
□ di ottenere risultati comunque migliori di quelli che si otterrebbero con criteri di decisione
non supportati da un modello matematico;
□ la certezza di ottenere sempre la soluzione ottimale dei problemi;
□ di risolvere problemi complessi altrimenti non risolvibili;
□ di risolvere qualunque problema socio-economico.
21) Una branca assai importante della R.O. comprende i problemi detti di “Programmazione Lineare”
in cui rientrano:
□ problemi in cui la funzione obiettivo è una funzione non lineare dipendente da una sola variabile;
□ problemi in cui la funzione obiettivo è una funzione lineare di due o più variabili legate
da una o più relazioni di vincolo lineare (equazioni o disequazioni);
□ tutti i problemi risolvibili esclusivamente col metodo grafico;
□ problemi in cui la funzione obiettivo consiste sempre nella ricerca del massimo utile
conseguibile con le risorse disponibili.
22) In una funzione lineare di due variabili x e y soggetta a vincoli espressi da equazioni e disequazioni
lineari i massimi ed i minimi si trovano:
□ lungo una curva;
□ sui vertici del dominio dei vincoli;
□ su alcuni punti all’interno del dominio;
□ nel punti rispettivamente di ascissa maggiore/minore.
23) La curva della domanda di una data merce è funzione:
□ del prezzo;
□ della qualità;
□ del costo medio di produzione;
□ del coefficiente angolare.
24) Il punto di minimo della funzione
□ 2.000 ;10.000
□ 1.000 ;12 .000
y 3x
12 .000 .000
è:
x
□ 2.000 ;12.000
□ 1.000 ;10 .000
25) Rappresenta il modello matematico corrispondente al seguente problema:
Un’agenzia turistica deve organizzare un viaggio in aereo al quale partecipano 750 persone
delle quali 450 hanno prenotato la seconda classe e le altre la prima classe.
L’agenzia può noleggiare due tipi di aerei, A e B; il tipo A ha 30 posti di prima classe e 30
di seconda, mentre il tipo B ne ha 30 di prima e 80 di seconda.
Sapendo che ogni volo con un aereo di tipo A viene a costare all’agenzia 15.000 euro
e ogni volo con un aereo di tipo B 25.000 euro, determinare quanti aerei di ciascun tipo
occorre noleggiare per avere il minor costo.
26) Una SIM (Società di Intermediazione Mobiliare) ha dei costi fissi annui per la gestione
della propria struttura di 750 mila euro; effettua transazioni sui titoli il cui costo
unitario è di 1,60 euro incrementato del 10% dei titoli trattati.
Ricavare le funzioni del Costo totale, del Costo unitario e del Costo marginale.
Rappresentare graficamente le funzioni del Costo unitario e del Costo marginale,
evidenziando la relazione che intercorre tra questi.
27) Un’impresa per il noleggio giornaliero di un autocarro può scegliere tra le seguenti tre offerte:
a) 1.000 al Km più un diritto di 20.000
b) 100.000 fisse
c) 1.500 al Km, senza spese fisse.
Il grafico relativo al costo delle tre offerte è il seguente:
I giusti abbinamenti tra le offerte e i relativi grafici sono:
□
□
□
□
l’offerta a)
l’offerta a)
l’offerta a)
l’offerta a)
e la retta t; l’offerta b) e la retta r; l’offerta c) e la retta s
e la retta s; l’offerta b) e la retta r; l’offerta c) e la retta t
e la retta r l’offerta b) e la retta t; l’offerta c) e la retta s
e la retta r; l’offerta b) e la retta s; l’offerta c) e la retta t
28) In riferimento al problema presentato al punto precedente, dall’esame del grafico
si può affermare che l’offerta più conveniente è:
□ la t per x 80 ;la s per x 80
□ la r per x 40 ; la t per 40 x 80 ;la s per x 80
□ la t per x 40 ; la r per 40 x 80 ;la s per x 80
□ la s per x 66 ;la r per x 66
29) Il fabbisogno annuale di un negozio di abbigliamento è in media di 1.200 articoli di
un dato tipo. Il costo di magazzinaggio per ogni articolo è di 2.400 all’anno mentre quello di
ogni ordinazione, indipendentemente dal numero di articoli ordinati, è di 40.000.
Affinché il costo complessivo diventi minimo il numero di articoli da ordinare ogni volta
e il loro costo annuo totale relativo devono essere:
□ Num. Articoli = 200; Costo = 480.000
□ Num. Articoli = 200; Costo = 600.000
□ Num. Articoli = 200; Costo = 3.120.000
□ Num. Articoli = 100; Costo = 600.000
30) Un risparmiatore investe un capitale di 3.000 euro in regime di capitalizzazione composta al tasso
del 4% annuo per sei mesi; dire quale tra le seguenti applicazione è corretta:
□ M 3.000 (1 0.04)
□ M 3.000 (1 0.04) 6
□ M 3.000 (1 0.02)
□ M
1
3.000 (1 0.04) 2
31) Una fabbrica, che può seguire due processi produttivi,può produrre mensilmente non più di 1.000
quintali di merce.
a. la prima lavorazione ha un costo di produzione di 800 al quintale più una
spesa fissa di 500.000;
b.
la seconda lavorazione ha un costo di produzione di 700 al quintale più una
spesa fissa di 800.000,
Il prezzo di vendita è 12.000 al quintale e diminuisce del 6% per ogni quintale di merce venduta.
Quale dei seguenti modelli rappresenta il problema della scelta tra le due possibilità:
□ Y1 12.000 0.06 x x (800 x 500 .000 )
Y2
□ Y1
Y2
□ Y1
Y2
□ Y1
Y2
12.000 0.06 x (700 x 800 .000 )
12.000 0.06 x (800 x 500 .000 )
12.000 0.06 x x (700 x 800 .000 )
12.000 0.06 x (800 x 500 .000 )
12.000 0.06 x x (700 x 800 .000 )
12.000 0.06 x x (800 x 500 .000 )
12.000 0.06 x x (700 x 800 .000 )
0 x 1.000
0 x 1.000
0 x 1.000
0 x 1.000
0 x 1.000
0 x 1.000
0 x 1.000
0 x 1.000
32) In un sistema di assi cartesiani le soluzioni della disequazione 2x y 200 corrispondono:
□ ad un insieme di punti che individuano una retta
□ ad un insieme di punti che individuano un poligono ammissibile
□ ad un insieme di punti che individuano il semipiano delimitato dalla retta di equazione
2x y 200 e contenente il punto P(80,50 )
□ ad un insieme di punti che individuano il semipiano delimitato dalla retta di equazione
2x y 200 e contenente il punto Q(80,50)
33) La funzione obiettivo espressione di un modello di programmazione lineare è:
y 2.000 x1 3.000 x 2
x1 2 x 2 2
x x2 5
sottoposta alle seguenti limitazioni: 1
x1 0
x 2 0
Il massimo di tale funzione si ha per:
□ A(0;0)
□ B(4;1)
□ C (0;5)
□ D(4;2)
34)
Quale, tra le soluzioni proposte, caratterizza la parabola di equazione
y x 2 2x 3
□ il suo vertice cade nel I Quadrante;l’asse di simmetria è parallelo all’asse Y;
non interseca mai l’asse delle ascisse;
□ ha il vertice nell’origine degli assi; l’asse di simmetria coincide con l’asse Y;
interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti;
□ il suo vertice appartiene al I Quadrante; l’asse di simmetria è parallelo all’asse
delle ordinate;interseca l’asse X in due punti distinti;
□ il suo vertice appartiene al I Quadrante; l’asse di simmetria è parallelo all’asse
delle ordinate; interseca l’asse delle ascisse in un solo punto.
35)
Un’azienda deve stabilire qual è la quantità x del bene da produrre per
ottenere il massimo guadagno, essendo vincolata ad una capacità produttiva
che può arrivare al massimo alle 5.000 unità annuali e ad una funzione di guadagno
complessivo esprimibile attraverso la seguente relazione:
1
g ( x) x 2 2.000 x
3
Individua la soluzione del problema,tra quelle di seguito proposte:
□ 0 x 3.000
□ x 3.000
□ 3.000 x 5.000
36)
□ x 5.000
In che cosa consiste il problema delle scorte ?
Qual è il significato di scorta media ?
□
□
□
□
Un problema di scelta si dice continuo quando la variabile d’azione può assumere:
tutti i valori indivisibili di un dato intervallo
tutti i valori reali di un dato intervallo
tutti i valori interi di un dato intervallo
tutti i valori razionali di un dato intervallo
□
□
□
□
Il modello matematico di un problema di scelta:
è la rappresentazione semplificata della struttura di un’azienda
è la rappresentazione grafica di un problema economico
è costituito dalla funzione obiettivo e dalle relazioni che intercorrono tra le variabili
è l’interpolazione di due serie di dati mediante il metodo dei minimi quadrati
37)
38)
39)
Un problema di scelta è in condizioni di certezza se:
□ si conoscono le condizioni iniziali e tutte le conseguenze
□ si conoscono le condizioni iniziali, ma non tutte le conseguenze
□ il problema non ha variabili
□ gli effetti della scelta sono conosciuti
40)
In problema di scelta la funzione obiettivo:
□ permette di individuare il campo di scelta
□ rappresenta il modello matematico che traduce il problema
□ esprime in forma simbolica l’obiettivo che si vuole raggiungere
□ esprime in forma simbolica le condizioni iniziali del problema
41)
Un problema di scelta è in condizioni di certezza è a carattere discreto se:
□ il campo di scelta è costituito da un numero finito di alternative
□ le variabili d’azione sono in numero intero
□ le variabili d’azione sono in numero finito
□ le soluzioni sono in numero finito
42) Il problema di scelta:
“ Per produrre una data merce un’impresa sostiene una spesa fissa settimanale di
5 milioni più una spesa variabile espressa da 5x 2 , essendo x il numero di quintali
prodotti settimanalmente. La capacità produttiva dell’impresa è limitata a 500 quintali
la settimana: Calcolare il numero di quintali da produrre alla settimana perché sia
minimo il costo unitario di produzione”
ha il seguente modello matematico:
□ y (5x 2 5.000.000) x;0 x 500
□ y
5.000 .000 5 x 2
;0 x 500
500
□ y
5.000 .000 5 x 2
;0 x 500
x
□ y 5x 2 5.000.000;0 x 500
43) Un’industria fabbrica due prodotti A e B che richiedono rispettivamente 20 e 30 minuti
di macchina e 20 e 10 minuti di lavoro manuale. La macchina può disporre al
massimo di 1.200 ore-macchina e di 800 ore – operaio.
Indicando con x la quantità di prodotti del tipo A e con y la quantità di prodotti del tipo B,
il sistema di vincoli è:
1.200 x 600 y 800
20 x 10 y 48 .000
20 x 30 y 1.200
1.200 x 1.800 y 1.200
20 x 30 y 72 .000
20 x 10 y 800
□
□
□
x
0
x
0
x 0
y 0
y 0
y 0
20 x 30 y 1.200
20 x 10 y 800
□
x 0
y 0
44) In un problema di P.L. con funzione obiettivo
z ax by l’area ammissibile è data dal poligono
OABCD. Dall’osservazione attenta della
rappresentazione grafica del dominio dei vincoli
e da tutti gli altri elementi evidenziati nel piano
Oxy stabilire in quale punto del suddetto
poligono è da ricercarsi la soluzione
economica ottima per l’azienda, sapendo
che la f.o. rappresenta un ricavo:
□ in uno dei vertici del poligono OABCD
□ indifferentemente nei punti A e B perché tali punti hanno la stessa ordinata che è maggiore di qualsiasi
altra ordinata del dominio dei vincoli
□ nel punto C perché esso appartiene alla linea di livello che rappresenta i punti del piano z ax by
aventi quota maggiore
□ nei punti O o D perché entrambi appartengono ai vertici del poligono che racchiude l’area
ammissibile e rappresentano i punti minimi per la f ( x, y)
45) Un gruppo di amici decide di fare un sondaggio circa i prezzi di ingresso nelle varie discoteche
della zona. Risulta che la discoteca Eolo ha un prezzo di 30.000 a serata ma occorre fornirsi di una
tessera al costo di 50.000. Nella discoteca Vulcano il prezzo di ingresso è di 50.000.
Essendo x il numero di biglietti di ingresso che si prevede di acquistare, la soluzione che rende
Indifferente, dal punto di vista economico, la scelta tra le due discoteche è:
□ x=45
□ x=10
□ x=20
□ x=35
46) L’azienda Rossi & C., i cui costi mensili hanno
l’andamento lineare evidenziato dal grafico,
mentre i ricavi seguono l’andamento parabolico,
può considerarsi in equilibrio economico se:
□ la sua produzione è pari all’ascissa di uno dei
punti A e B poiché l’ordinata relativa a
ciascuno di essi e nulla
□ la sua produzione, che indichiamo con x 0 ,
è tale che x0 R f ( x, y) : x1 x0 x2
□ la sua produzione, che indichiamo con x 0 ,
è tale che x0 R f ( x, y) : x0 x1 oppure x0 x2
□ la sua produzione è pari all’ascissa di uno dei punti C eD in ciascuno di essi le ordinate relative
alle due funzioni si eguagliano
47) Ad un deposito di medicinali sono richieste 160 particolari confezioni di antibiotici al giorno.
La conservazione del medicinale costa 20 per confezione al giorno.
Le spese fisse per il rifornimento periodico del magazzino (indipendenti dalla quantità
rifornita) ammontano a 2.560.000.
L’entità del rifornimento in vista della minor spesa di gestione del magazzino è:
□ 337 confezioni
□ 800 confezioni
□ 6.400 confezioni
□ 4.725 confezioni
48) Il guadagno totale ottenuto da una fabbrica in seguito alla vendita dei suoi prodotti è
rappresentato dalla funzione y x2 3.000x 120.000 .
Sapendo che la fabbrica non può produrre più di 1.400 pezzi, la quantità da produrre
e vendere per avere il massimo profitto è:
□
41 pezzi
□ 1.500 pezzi
□
39 pezzi
□ 1.400 pezzi
49) E’ data la funzione ricavo relativa alla produzione e commercializzazione di un certo bene
G( x) x2 1.200x 300 .
Per quale valore di x la ditta ha il massimo guadagno?:
□ x0
□ x 600
□ x 600
□ x 1.200
50) Il minimo della funzione z 3x 2 y nel campo
di scelta individuato dalla figura è nel punto:
□
□
□
□
(0;3)
(1;2)
(2;2)
(3.5;3)
51) Il costo fisso di un processo produttivo ammonta a 2.500 euro l’anno. Il ricavo per ogni unità
prodotta è 2 euro ed il costo 1 euro. La capacità massima è di 5.000 unità. Determinare:
a. il break-even point;
b. il profitto per 4.000 unità prodotte
c. il profitto massimo conseguibile
d. dare la rappresentazione grafica
52) Una fabbrica può produrre fino a 10.000 q di una certa merce alla settimana. Sapendo che la spesa fissa
settimanale ammonta a 30.000.000, che la merce prodotta ha un costo di 70.000 al q e viene venduta a
130.000 al q determinare la funzione guadagno G (x) ed il numero minimo xmin di quintali che si possono
produrre per non essere in perdita. Calcolare inoltre il numero massimo xmax di quintali da produrre
per ottenere il massimo guadagno Gmax ed il relativo importo.
□ G( x) 60.000 x 30.000 .000 xmin 500 q xmax 10 .000 q
Gmax 570 .000 .000
□ G( x) 60.000x 30.000.000 xmin 500 q xmax 10 .000 q
Gmax 570 .000 .000
□ G( x) 100.000x2 30.000.000 xmin 10 q xmax 15 .000 q
□ G( x) 130.000x 30.000.000 xmin 230 ,8 q xmax 10 .000 q
Gmax 250 .000 .000
Gmax 1.270 .000 .000
53) Una persona vuole impiegare la somma di 10.000 euro e si trova di fronte a tre alternative:
a. dare in prestito la somma al tasso del 12% annuo convenendo che venga
rimborsato in 10 anni con rate costanti posticipate;
dare in prestito la somma convenendo che venga rimborsata globalmente
dopo 10 anni con pagamento annuo degli interessi al tasso annuo del 14%;
b. dare in prestito la somma convenendo che venga rimborsata con il pagamento di 9
rate annue anticipate al tasso annuo del 10%.
Formalizzare il problema e spiegare il procedimento per individuare quale scelta è più conveniente,
applicando il criterio del valore attuale al tasso del 3% annuo.
54) Risolvere il seguente problema di Programmazione Lineare:
a. funzione obiettivo da massimizzare z( x, y) 15 x 8 y
b.
c.
2 x y 4
2 y x 8
campo di scelta definito dai seguenti vincoli x y 10
x 0
y 0
rappresentare graficamente.
55) Un’impresa produce due prodotti surrogati e li vende in condizioni di monopolio.
Detti p1 e p2 i prezzi di vendita, la domanda di ogni prodotto è espressa dalle relazioni
e q2 2.500 p1 p2 .
q1 2.000 2 p1 p2
Sapendo che i costi unitari sono rispettivamente 900 per il primo prodotto e 1.200 per il
Secondo, il profitto, espresso come funzione di q1 e q2 è:
□ 3.600q1 2q12
□ 3.600q1 5.800q2 2q1q2 q12 2q22
□ 3.600q1 5.800q2 2q1q2 q12 2q22
□ 3.600q1 5.800q2 2q1q2 q12 2q22
56) In riferimento al test precedente le quantità dei due prodotti che l’impresa
dovrà produrre per massimizzare il profitto sono:
□ q1 1.100
e q2 700
□ q1 700
e q 2 1.100
□ q1 q2 700
□ q1 q2 1.100
57) Trattare sinteticamente i problemi di scelta in condizioni di incertezza e con effetti immediati,
esemplificando mediante la risoluzione del seguente problema:
Un’ azienda per la produzione di un certo bene deve scegliere quale processo di lavorazione
adottare fra due in alternativa, indicati con A e B.
Gli utili complessivi, espressi in funzione della quantità x venduta, sono dati da:
YA 1.500 x 250 .000 per il processo A
YB 2.600 x 600 .000 per il processo B
La quantità venduta è una variabile aleatoria che assume i valori e le probabilità evidenziati
in tabella:
Probabilità
0.40
0.25
0.35
Valori
200
400
600
Si stabilisca quale processo di lavorazione è più conveniente in base al criterio del valor medio
tenendo contemporaneamente conto del rischio. Si tenga presente che un’alternativa viene
rifiutata se lo scarto quadratico medio degli utili ad essa corrispondenti risulta maggiore del
valor medio degli utili stessi.
58) La domanda di un bene è espressa dalla legge
1.050
xd
d
mentre l’offerta del medesimo bene è espressa dalla legge
x s 40 2 p .
Calcolare il prezzo di equilibrio e rappresentare graficamente.
a
bx c è data:
x
□ dalla somma di una parabola e di una retta
□ dalla somma di una iperbole equilatera e di una retta
□ dalla somma di due rette
□ dalla somma di una iperbole equilatera e di una parabola
59)
La funzione somma y
60)
Dopo aver brevemente illustrato il concetto di funzione lineare in due variabili
reali, esponi il procedimento matematico per trovare i massimi ed i minimi vincolati.
61)
Tra le infinite parabole di equazione y x 2 kx con k R quali sono
tangenti alla retta 2x y 3 0 :
□ y x 2 (2 2 2 ) x
□ y x 2 (2 2 3 ) x
□ y x 2 (3 2 2 ) x
□ y x 2 (2 3 2 ) x
62)
Indica a quale delle seguenti funzioni
corrisponde il grafico rappresentato in figura:
y
□ y
x( x 1)
x
□ y
□ y
x3
1 x2
□ y x2
x2 1
2 x2
x2 1
in figura
2 x2
presenta nell’origine un punto di:
□ massimo relativo
□ minimo relativo
□ massimo assoluto
□ non passa per l’origine
63) La funzione y
x
1 x3
1
x
