4D – Matematica e Fisica

Ex 4C – Matematica
Compiti per le vacanze
Matematica
Sarebbe utile ripassare equazioni e disequazioni (intere e fratte) di primo e di secondo grado (con il
metodo della parabola) e di grado superiore al secondo (da scomporre con Ruffini) e la parte sulle
funzioni: principali caratteristiche generali e funzioni goniometriche, logaritmiche ed esponenziali.
Gli esercizi sono sul vostro quaderno, riporto qui di seguito una serie di esercizi da risolvere … a vostra
scelta. Non perdete tempo con quelli per voi più facili.
Questi esercizi servono esclusivamente per riprendere alcuni concetti in vista del nuovo anno
scolastico, non servono a chi dovrà affrontare l’esame di riparazione (o meglio servono solo in
parte), dato che l’esame si svolgerà tenendo presente tutto il programma svolto (scaricare il
programma svolto dal sito della scuola).
Buone vacanze
ESPONENZIALI E LOGARITMI
LE FUNZIONI
Nella funzione f : R  R successiva completa le uguaglianze, scrivendo il valore mancante (se esiste)
al posto dei puntini.
1A
1
y  3x 2 ; ...  f  3 ; ...  f   ; 48  f (...) ; 5  f (...) .
3
Traccia il grafico delle seguenti funzioni.
 1
5
 27; ; non esiste;  
3
 3
(!!)
2A
x3
se x  1


2
y   x 3
se  2  x  1
 x 2  2 x  7
se x  2

2B
  x2  3
se x  1

y    x 1
se  3  x  1
 x 2  2 x  7
se x  3

Idee per insegnare la matematica di Bergamini, Trifone, Barozzi
Copyright © 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna
1
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
4A
y
5B
y
ESERCIZI
(!!)
2  5x2
x5  3x 2  x  3
 x  1  x  3

 x 
x2 3
3x  2
Studia il segno delle seguenti funzioni dopo averne determinato il dominio.
2
3 
(!!)
7A
y
x2  x  6
 x2  4 x  5
 D: x  1 x  5; y  0:  3  x  1 2  x  5
7B
y
 x 2  3x  4
x2  2 x  3
 D: x  3  x  1; y  0:  3  x  1 1  x  4
Dopo averla rappresentata, indica in quali intervalli la seguente funzione è crescente e in quali
decrescente.
10 A
3x  2 se x  1
y
7  2 x se x  1
cresc. per x  1; decr. per x  1
10 B
 x  2 se x  0
y
 5 x  2 se x  0
cresc. per x  0; decr. per x  0
LA FUNZIONE ESPONENZIALE
Disegna il grafico delle seguenti funzioni.
11 A
y  2 x 1 ; y  2 x  1 .
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2
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCIZI
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
14 A
y
x R
5
6 x 1
LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolvi le seguenti equazioni esponenziali.
16 A
2 x 1  2 x  2 x 2  5
16 B
3x 1  3x  3x 1  63
17 A
3x  33 x  12
17 B
2x  25 x  12
 x  2
 x  3
 x  1  x  2
 x  2  x  3
Risolvi la seguente disequazione esponenziale.
19 A
1
7  
3
x 1
x
1 1
   
3 3
x 1
 x  1
9
LA DEFINIZIONE DI LOGARITMO
Calcola i seguenti logaritmi applicando la definizione.
21 B
log 3
1
25
; log 2
; log 0, 01 10000 ; log
27
4
5
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2
16 .
[3; 2; 2;8]
3
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCIZI
Calcola il valore della base a usando la definizione di logaritmo.
22 B
log a 49  2 ; log a 5  1 ; log a 3  3 ; log a
1
1
 .
4
2
 1 1

7; 5 ; 3 ;16 
3


LE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
Sviluppa le seguenti espressioni, applicando le proprietà dei logaritmi (supponi che tutti gli argomenti dei
logaritmi considerati siano positivi).
23 A
2
 1 3 
a3
2 2
log
3a
b
;
;
.
log 2 
log



4
ab


5
1


 2 log 2 1  3  4;log 3  2 log a  2 log b; 2 log a  2 log b 


Applica le proprietà dei logaritmi per scrivere la seguente espressione sotto forma di un unico logaritmo.
24 A
1
log x  log  x  2    3log  x 2  1
2


2
log x  2 x 
3
2


x

1




24 B
1
log x  log  x  4    2 log  x 2  1
2
 
2 
x
  x 2  1  
log 
 
  x  4
LA FUNZIONE LOGARITMICA
Rappresenta le seguenti funzioni in uno stesso piano cartesiano.
26 B
y  log 2 x ; y  log 2  x  1 ; y  log 2 x  1 .
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
29 A
y
log  x  2 
log  x  3
 x  3  x  4
29 B
y
log  x  2 
log  x  4 
 x  4  x  5
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4
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCIZI
30 A
y  ln
2x
x 1
 x  1
30 B
y  ln
5x
x 3
 x  3
LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche.
32 B
log3  x  2  log3  x  3  1  log3 4
 x  1
33 B
log 2  log  x 2  4 x  2   2 log  x  2 
 x  4
34 B
ln  9  x 2   ln  x  3  3ln 3
35 B
log2  2 x 1  log4 1  x   log 4  4 x  5

33 5
x  0  x 

2


 x  2
Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche.
37 A
 x4
log 3 
 1
 x2
 2  x  5
37 B
 x3
log 2 
 1
 x4
4  x  11
38 B
log 1  x  2   log 1 x  log 1 10  x 
3
3
2  x  10
3
2  x  0
39 B
log  x  3  log  x  5  log3  log  2 x  5
2A
Determina, senza usare la calcolatrice, se l’espressione log 1 6  log 1 2 è maggiore o
2
minore di 3.
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2
minore 
5
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCIZI
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
LA MISURA DEGLI ANGOLI
Esprimi in forma sessadecimale le seguenti misure di angoli.
1B
43 14 22 ; 7 8 56 ; 91 34 10 .
43, 24; 7,15; 91,569
Esprimi in gradi, primi e secondi le seguenti misure di angoli, espresse in forma sessadecimale
(arrotondando eventualmente i secondi).
2A
45,68 ; 129, 41 ; 76,123 .
45 40 48; 129 24 36; 76 7 22
LE FUNZIONI SENO E COSENO
Utilizzando i dati della figura, deduci ciò che è indicato a fianco.
5A
AC, sen 
 20 2 1 
; 

3
3

5B
AC , cos 
1

 6 6; 5 
6A
Sapendo che sen  
3 
e     , calcola cos  .
5 2
6B
Sapendo che cos  
3 3
e     2 , calcola sen  .
4 2
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 4
  5 
 7


 4 
6
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCIZI
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
7A
3cos90  2sen 0  2sen30  4cos60  cos30  3sen 60  cos0
8B
2 sen
2 3 


 




  cos  sen   4 cos sen
3 
4
4
6
3
 6  3


LA FUNZIONE TANGENTE
Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli.
10 A
3
; ; 120; 315 .
4
12 B
Sapendo che cos   
13 A
Calcola il coseno dell’angolo che la retta di equazione y 
12
e che 90    180 , calcola il valore di tg  .
13
5

 tg    12 
3
x  2 forma con l’asse x.
4
4
 5 
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche elementari.
32 A
 
2 
2  

4 sen  x     4  3sen  x     1
9 
9  

 
5


 x  18   2k, k  Z 
32 B
 

 

6 cos x    6  5cos x    1
9
9 

 



 x   9  2k, k  Z
34 A
7  2sen 3 x
 2sen 3 x  3
2
 x  10  k120; x  50  k120, k Z
34 B
11  2 cos 4 x
 2 cos 4 x  5
2
 x  15  k 90, k Z
37 A
tg x  tg 45
4
 sen 90 
5
5
 x  k180, k Z
37 B
tg x  cos 0
3
 tg 45 
4
4
 x  k180, k Z
38 A
tg x  2
 2  tg x
 2 sen 
2
3
2
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


 x  3  k, k  Z 
7
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCIZI
39 A




 x   12  k 3 , k  Z
2 tg 3x  5  4  tg 3 x
38 B
tg x  3
 2 tg x
 1  2 cos 
3
6
3



 x   3  k, k  Z
39 B




x


k
, k  Z

20
5

3 tg 5 x  2  3  2 tg 5 x
Risolvi in R le seguenti disequazioni goniometriche elementari.
56 A
5
4

 3   2k  x  3   2k, k  Z 
2sen x  3  0
57 A
3
 3

 4   2k  x  4   2k, k  Z 
2cos x  2  0
58 A
3 tg x  2
 tg x  1
2



k  x  2  k, k  Z 
58 B
2 tg x  3
 tg x  1
3
 

 2  k  x  k, k  Z 
56 B
7
5

 4   2k  x  4   2k, k  Z 
2sen x  2  0
LA TRIGONOMETRIA
I TRIANGOLI RETTANGOLI
Misura la lunghezza dei lati con un righello. Partendo da questi dati, determina il seno e il coseno degli
angoli acuti del triangolo rettangolo in figura.
1A
sen   cos   0,94; cos   sen   0,34
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8
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCIZI
In un triangolo rettangolo ABC retto in A, calcola la lunghezza dell’ipotenusa e l’ampiezza dei due angoli
acuti utilizzando una calcolatrice scientifica. Sono noti i seguenti elementi.
2A
AB  4 cm; AC  7,5 cm.
2B
AB  20 cm; AC  4,5 cm.
8,5 cm; 28 4 20,95; 61 55 39
20,5 cm; 77 19 10,6; 12° 40 49,3
APPLICAZIONI DEI TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Di un triangolo rettangolo ABC sono noti i seguenti elementi (espressi usando le convenzioni). Determina
quanto richiesto.
96 cm; 384 cm 2 
4A
cos   0,6; AB  24 cm ; determina perimetro e area.
5A
Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l’ipotenusa,
sapendo che il rapporto del cateto con la proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa vale 2 3 .

 6 
In un rettangolo la diagonale è di 30 cm e forma con un lato un angolo di 80°. Calcola il
perimetro del rettangolo.
69,5 cm
6B
7B
In un triangolo rettangolo, un cateto è lungo 4 cm e forma con l’ipotenusa un angolo di 15°.
Determina la lunghezza dell’ipotenusa.
4 6  2 cm

 
I TRIANGOLI QUALUNQUE
Di un triangolo qualunque sono noti i seguenti elementi (espressi rispettando le convenzioni). Determina
quanto richiesto.
8A
a  14; b  12;   50; determina sen  .
8B
a  20; b  22;   40; determina sen  .
9A
a  8; c  23;   65; determina b .
9B
b  12; c  16;   100; determina a .
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sen   0,893
sen   0,707
b  20,91
a  21,60
9
10 ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCIZI
Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli,
conoscendo gli elementi indicati.
10 B
  38

  80
BC  30 cm

43,02 cm; 47,98 cm; 62
Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i seguenti
elementi.
b  10; c  33;   84 .
11 B
33, 46; 17°17 28; 78° 42 32
Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati a, b e c.
a  20; b  24; c  14 .
12 A
56 23 15; 87° 57 11 ;35° 39 44
Sia ABC un triangolo acutangolo e H il piede dell’altezza rispetto alla base AB. Calcola le misure degli
angoli e dei lati basandoti sui seguenti dati.
  33

13 A
30,71cm; 53,31cm; 54,7 cm; 76
  71
BH  10 cm

13 B
  31

  73
 AH  15 cm

17, 49 cm; 9, 42 cm; 17,75 cm; 76
LE APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
18 A
18 B
Un osservatore vede la cima di un palo verticale sotto un angolo di 30°; avvicinandosi di 10 m al
piede del palo l’angolo diventa di 60°. Calcola l’altezza del palo.
5 3 m 


Calcola l’altezza di un campanile la cui ombra sul terreno è 20 m più lunga quando
l’inclinazione dei raggi solari è di 30° invece che di 45°.
10 3  1 m 



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
10