La formula di Black-Scholes come limite, per n che tende all`infinito

La formula di Black-Scholes come limite, per n che tende all’infinito, del prezzo di
una call in un modello binario su n periodi. Consideriamo un mercato in cui sono
quotati, nell’intervallo di tempo [0, T ], un titolo privo di rischio B ed un titolo rischioso
S. Supponiamo che i prezzi siano fissati in base ad un modello binario su n periodi
[0, t1 ], [t1 , t2 ] . . . , [tn−1 , tn ].
Sotto l’ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio, il prezzo al tempo t = 0 di
un’opzione europea di tipo call sul sottostante S, con scadenza T e prezzo di esercizio K
è
Cn (0) = S(0)(1 − Bn,p̂n (an )) − K(1 + rn )−n (1 − Bn,p∗n (an )),
dove
an =
log(K/S(0)) + n log(un )
2 log(un )
p∗n =
1 + rn − dn
un − dn
p∗n un
1 + rn
e Bn,p denota la funzione di ripartizione della distribuzione binomiale di parametri n e p.
p̂n =
Fissando opportunamente i parametri, si ottiene, sfruttando il teorema centrale del limite,
Bn,p̂n (an ) → N (−
log(S(0)/K) + (ρ + σ 2 /2)T
√
)
σ T
log(S(0)/K) + (ρ − σ 2 /2)T
√
)
σ T
per n → ∞, dove N indica la funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata.
Bn,p∗n (an ) → N (−
Dunque, per n → ∞, Cn (0) tende a
C(0) = S(0)(1−N (−
log(S(0)/K) + (ρ + σ 2 /2)T
log(S(0)/K) + (ρ − σ 2 /2)T
√
√
))−Ke−ρT (1−N (−
))
σ T
σ T
Tenendo conto della simmetria della distribuzione normale standardizzata, si ottiene
C(0) = S(0)N (
log(S(0)/K) + (ρ + σ 2 /2)T
log(S(0)/K) + (ρ − σ 2 /2)T
√
√
)−Ke−ρT N (
).
σ T
σ T
La formula scritta sopra è nota come formula di Black-Sholes e viene effettivamente usata
per il calcolo del prezzo di opzioni di tipo call europee. Essa può essere vista come limite,
per n → ∞, del prezzo che non consente arbitraggi di una call europea in un modello
binario su n periodi.
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