Dirac si pone il problema di conciliare la teoria quantistica di

17.11.05
La struttura fine secondo Dirac (vedi Brandsen-Joachain: Theory of Atoms and Molecules)
Dirac si pone il problema di conciliare la teoria quantistica di Schrödinger con la relatività ristretta
di Einstein. Siccome in quest’ultima la variabile temporale è trattata sulla stessa base di quelle
spaziali e siccome la funzione d’onda dell’elettrone, che ha spin ½, è a due componenti (spin su e
spin giù), Dirac pensa che le due componenti possano essere soluzioni di due equazioni differenziali
accoppiate dove tempo e posizione sono trattate allo stesso modo: derivata prima nel tempo e
derivate prime nella posizione (sarà eventualmente l’eliminazione di una componente a portare a
una singola equazione nell’altra componente con derivate seconde nello spazio, che si riduce quindi
a quella di Schrödinger nel limite non relativistico). Dirac scrive un Hamiltoniano
H  c α  p  mc2
(1)
(c = velocità della luce) e l’equazione del moto quantistica per l’elettrone libero
i


 icα 
  mc2 ,
t
r
(2)
ovvero, agli stati stazionari,
( E  icα     mc2 )  0 .
(3)
Dovendo essere la  una funzione d’onda a due componenti, Dirac spera di trovare quattro matrici
numeriche 2  2, ( x , y , z )  α e  , tale che (1) la soluzione del sistema di due equazioni
differenziali dia l’autovalore relativistico
E 2  c 2 p 2  m 2c 4 ,
(4)
e (2) nel limite non relativistico il sistema di equazioni si riduca all’equazione di Schrödinger.
Procede così. Applica alla (3), a sinistra, l’operatore E  icα     mc2 :
[ E 2  (icα     mc2 ) 2 ] 
[ E 2   2c 2 lk  l k l  k  ic l ( l   l )l   2 m 2c 4 ] 
(5)
[ E 2   2c 2 l ( l ) 2 l2  2c 2 l  k ( l k   k l )l  k  ic l ( l   l )l   2 m 2c 4 ]  0
Nel fare questo si tiene conto che le matrici  l e  commutano con le derivate l perchè sono
puramente numeriche e non dipendono da r. Tra loro invece non commutano. L’autovalore (4) può
essere ritrovato se e solo se le matrici incognite soddisfano le condizioni:
( l ) 2  I
(l  x, y, z ),  l k   k l  0 (l  k ),  l   l  0 (l  x, y, z ),  2  I
(6)
NB: [A,B]+ si dice anticommutatore di A e B; si richiede dunque che le matrici incognite, dette
matrici di Dirac, anticommutino tra loro e il loro quadrato dia la matrice identità I.
Sorpresa per Dirac: non esistono quaterne di matrici 2  2, neppure complesse, che soddisfino le
condizioni (6). La dimensione minima delle matrici che consente una soluzione delle (6) è 4, e le
matrici di Dirac, 4  4, risultano essere:
α
0 s
I 0
, 
s 0
0 I
(7)
dove s sono le matrici di Pauli 2  2 definite in una precedente pagina.
Esercizio: ricordando le regole di commutazione delle sl (l = x,y,z), stabilire le regole di
commutazione delle l e dimostrare che anticommutano tra loro e con β. Dimostrare che anche le s
anticommutano tra loro nel loro spazio 2  2.
Dunque la funzione d’onda per una particella relativistica di spin ½ è a 4 componenti anzichè 2.
Quali possibili stati della particella rappresentano le due nuove componenti? Se scrivo la funzione
d’onda come


,

(8)
dove la  e la  sono due vecchie funzioni a 2 componenti, l’equazione di Dirac si scinde nelle due
famose equazioni accoppiate alle derivate prime:
2

( E  mc )  ics  

2

( E  mc )   ics  
.
(9)
Nel limite non relativistico E differisce di pochissimo dall’energia di massa mc2 e quindi la seconda
equazione può essere risolta rispetto a  ,   i( / 2mc)s   ; sostituendo nella prima equazione
ritroviamo
( E  mc2 
2 2
 )  0
2m
(10)
che è l’ordinaria eq. di Schrödinger per la particella libera, a parte l’aggiunta dell’energia di massa
costante all’energia cinetica. D’altra parte la soluzione esatta delle (9) per sostituzione dà gli
autovalori
E   c 2 p 2  m 2c 4 .
(11)
Il significato della soluzione col segno meno diviene trasparente se ripetiamo il ragionamento fatto
per ottenere la (10) immaginando che l’energia sia prossima a –mc2: in tal caso risolviamo
approssimativamente rispetto a  e troviamo per essa un’eq. di Schrödinger dove la massa è –m. Si
deve concludere che per la particella relativistica oltre agli stati noti sono possibili stati a energia
cinetica e di massa negative (sempre con due stati di spin). Il fatto che gli elettroni permangano
ordinariamente negli stati che tutti conosciamo significa (principio di esclusione alla mano) che tutti
quegli stati sotterranei sono occupati. Dobbiamo anche supporre che quando tutti gli stati sotterranei
immaginabili sono pieni di tutte le particelle immaginabili vi sia perfetta neutralità elettrica e
momento di spin totale zero, essendo questa l’evidenza del mondo in cui viviamo. Se però uno di
quegli stati elettronici, mettiamo uno di spin ↓ di energia  E , è privato del suo elettrone, noi
vedremmo nel mondo fisico una particella di massa pari a quella dell’elettrone, di carica positiva +e
e spin ↑. Questo è l’atto di nascita delle antiparticelle e dell’antimateria. La verifica sperimentale
dell’esistenza fisica del positron nella radiazione cosmica è di quei medesimi anni.
Consideriamo ora l’elettrone dell’atomo idrogenoide soggetto al potenziale V (r )   Ze 2 / 40r . Le
equazioni (9) diventano:
2

( E  V (r )  mc )  ics  

2

( E  V (r )  mc )   ics  
(12)
Stessa procedura: risolvo rispetto a  , e sviluppo in serie rispetto a E  mc2 – V che è nel nostro
problema un piccola quantità rispetto a 2mc2 :
i
E  mc2  V (r )
 
(1 
 ...)s  
2mc
2mc2
(13)
e sostituisco nella prima delle (12). Usando d’ora in poi E al posto di E  mc2 , dato che l’energia di
massa dell’elettrone non ci interessa in questo problema, otteniamo
[E  V 
2 2
2
2


 
s


V
s



( E  V ) 2 ]  0 .
2
2
2m
2mc
2mc
(14)
Noto che l’autovalore E non è ancora completamente esplicitato in quanto compare anche
nell’ultimo termine. Quest’ultimo, però, può essere trasformato usando l’identità
( E  V )2  (2V )   2(V )    2[( E  V ) ]
(15)
e nell’ultimo termine posso fare la sostituzione [ E  V ]  ( 2 / 2m)2 senza tutte le ulteriori
correzioni relativistiche in quanto darebbero nella (14) termini di ordine superiore. A questo punto
non resta che un po’ di algebra fino ad ottenere un’equazione di Schrödinger per  con le correzioni
relativistiche all’ordine più basso:
[
2 2
4
1 dV
  2 Ze2
  V (r )  3 2  4 
L

S

 (r)]   E .
2m
8m c
2m2c 2 rdr
2m2c 2 4  0
(16)
Per ottenere questa equazione ricorda: (a) le proprietà delle matrici s di Pauli; (b) che il Laplaciano
del potenziale di Coulomb dà una delta di Dirac per una costante; (c) l’operatore momento angolare
di spin S nello spazio esteso a due componenti è definito da S  12 s . Esercizio: provare a ottenere
la (16) (la dimostrazione in una prossima puntata!).
Ci sono dunque tre correzioni relativistiche dello stesso ordine in 1/c2, che al prim’ordine della
teoria delle perturbazioni danno tre correzioni EK, ESO e ED dell’energia del livello idrogenoide:
il primo è un termine che corregge l’energia cinetica (termine cinetico); il secondo è il già noto
termine di spin-orbita (ove ora il divisore 2 della precessione di Thomas e la posizione gs = 2
risultano automaticamente); il terzo è il cosiddetto termine di Darwin, che ha effetto solo sugli stati
con l = 0. Calcolo gli elementi di matrice diagonali dei tre termini sullo stato idrogenoide generico
 nlm :
EK   En
( Z ) 2  3
1 

n  4n l  12 
ESO   En
( Z ) 2 j ( j  1)  l (l  1)  34
n
2l (l  12 )(l  1)
ED   En
( Z ) 2
l0
n
(l  0);  0 (l  0)
(17)
Z2
e2
1
dove En   Ry 2 è il livello energetico idrogenoide imperturbato ed  
è la

4  0c 137
n
costante di struttura fine. Osservazione importante: il termine di spin-orbita ha una forma 0/0 per l
= 0; sappiamo però che in questo caso L è nullo in partenza e quindi ESO = 0 per l = 0. C’e’ però il
termine di Darwin che invece dà contributo in questo caso (e solo in questo caso). In una trattazione
più semplice (ma non rigorosa) ci si può dimenticare del termine di Darwin e notare che, posto j = l
+1/2 e facendo il limite l  0 l’ultima frazione di ESO tende a 1 (e non a 0) e quindi rimpiazza il
temine di Darwin.
Sommando i tre contributi con j  l  12 si ottengono i nuovi livelli energetici idrogenoidi con la
loro struttura fine secondo Dirac, che aggiunge la dipendenza dal solo ulteriore numero quantico j:
 ( Z ) 2 n

3 ) .
Enj  En 1 
(

j  12 4 

n2
(18)
Esercizio: calcolare (anche numericamente) gli spostamenti dei livelli idrogenoidi di Bohr e gli
splitting di struttura fine per n = 1, 2 e 3, e discutere le degenerazioni residue. Quali livelli sono
ulteriormente interessati dallo splitting di Lamb e Retherford (correzioni radiative di QED)?