La distribuzione delta di Dirac
a cura di Flavio Cimolin
(formula suggerita da Davide Bucci)
(ultimo aggiornamento: 19/09/2007)
La Teoria delle Distribuzioni è sicuramente uno degli sviluppi più interessanti dell'analisi a livello
non elementare: essa propone una generalizzazione del concetto di "funzione", estendendolo ad
oggetti con proprietà ancora più generali. Sebbene sia impossibile definire in modo
matematicamente corretto il significato di distribuzione in poche parole, è possibile descriverlo
qualitativamente confrontandolo appunto con il più noto concetto di funzione. Anziché assegnare il
valore di una funzione in ogni suo punto, si caratterizza una distribuzione definendo la sua "azione"
su una generica funzione test infinitamente regolare. Si può dimostrare che ad ogni funzione (nel
senso usuale del termine) è associabile una distribuzione, ma il bello è che esistono anche delle
distribuzioni che non sono riconducibili a funzioni! Tutto quanto detto finora potrà apparire
giustamente molto astruso a chiunque non abbia confidenza con la matematica superiore, ma un
semplice esempio - che ci permetterà anche di descrivere la più importante fra le distribuzioni, cioè
la Delta di Dirac - potrà chiarire questi concetti.
Sia δ la distribuzione Delta di Dirac. Essa ha la proprietà di estrarre il valore di una qualsiasi
funzione in un punto. La sua definizione è allora data dalla formula seguente:
L'azione della δ su una generica funzione test f (cioè il loro integrale su tutta la retta reale) è uguale
al valore della f nell'origine. Come si vede il concetto è tutt'altro che complesso, ma solo con la
Teoria delle Distribuzioni esso può essere formulato correttamente in maniera rigorosa.
Per comprendere meglio che cos'è la δ di Dirac, possiamo di definirla come limite di una
successione di funzioni molto semplici.
Le funzioni “porta” illustrate a fianco valgono 0 da
meno infinito a -1/(2n) e da 1/(2n) a più infinito, e
nel tratto intermedio valgono n. Al crescere di n (blu,
viola, giallo, verde, …) i rettangolini diventano via
via sempre più stretti e contemporaneamente più alti,
in modo che la loro area valga sempre 1: protraendo
al limite restringimento si ottiene proprio la Delta di
Dirac.
E' chiaro che essa non può essere rappresentata da
una funzione, in quanto bisognerebbe dire che essa
vale zero in tutti i punti, tranne che nell'origine, dove
vale... infinito!
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Flavio Cimolin – La distribuzione delta di Dirac
Sicuramente il brevissimo accenno alla definizione della Delta di Dirac appena fatto non potrà
rendere giustizia a quello che è uno dei concetti più utilizzati in tutta la matematica, sia essa teorica
o applicata. Per quanto riguarda le implicazioni teoriche, vale la pena notare che la Delta di Dirac
consente la risoluzione (perlomeno formale) di svariati problemi con equazioni differenziali alle
derivate parziali, compito tutt'altro che banale con altri metodi. Nella matematica applicata invece le
applicazioni sono talmente vaste che in quasi ogni ambito è possibile vederla comparire da qualche
parte!
Essa risulta infatti lo strumento ideale per modellizzare un "impulso", cioè un segnale concentrato
tutto in un singolo istante. Utilizzandola assieme alla Trasformata di Fourier, si può creare uno
strumento di analisi in frequenza incredibilmente potente ed efficace nelle applicazioni concrete. E'
praticamente su questa base che nasce quasi tutta la moderna Teoria dei Segnali, disciplina di
importanza fondamentale in tutti i più moderni campi dell'ingegneria.
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