ESAMI DI MATURITÀ TECNICA COMMERCIALE 86 suppletiva
Indirizzo: PROGRAMMATORI
Tema di: MATEMATICA, CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
Trovare il massimo della funzione reale delle variabili reali x e y:
z = xy
considerata nel triangolo T di vertici O(0,0), A(1,0), B(0,1).
Correzione
Si tratta di individuare il
massimo della funzione
nella regione rappresentata
dal seguente grafico:
Massimi e minimi liberi:
Applicando il metodo delle derivate parziali abbiamo che zx = y e zy = x
quindi si ottiene un solo punto critico O(0,0).
Proseguendo con le derivate seconde si ottiene:
zxx = 0 , zyy = 0 e zxy = zyx = 1
H (0,0)
0 1
1 perciò punto di sella ,
1 0
(naturalmente se riferito a tutto il dominio della funzione)
Massimi e minimi sulla frontiera:
Lungo il lato OB
z xy
z=0
x 0
0 y 1
Lungo il lato OA
z xy
y 0
0 x 1
z=0
Lungo il lato AB
z xy
y x 1
0 x 1
z = x(-x + 1) = - x2 + x
Si tratta di una parabola che presenta un massimo nel suo vertice V con xV =
1
2
1 1 1
Quindi V , , è punto di massimo
2 2 4
Valori assunti in corrispondenza dei vertici del triangolo:
z(O) = 0
z(A) = 0
z(B) = 0
1 1 1
Concludiamo che la funzione ammette massimo in corrispondenza di V , ,
2 2 4
Notiamo infine, sebbene non richiesto dalla traccia del quesito, che tutti i punti dei lati OA e
OB sono minimi assoluti per la funzione nella regione del vincolo.
