ESAMI DI MATURITÀ TECNICA COMMERCIALE 86 suppletiva

ESAMI DI MATURITÀ TECNICA COMMERCIALE 86 suppletiva
Indirizzo: PROGRAMMATORI
Tema di: MATEMATICA, CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
Trovare il massimo della funzione reale delle variabili reali x e y:
z = xy
considerata nel triangolo T di vertici O(0,0), A(1,0), B(0,1).
Correzione
Si tratta di individuare il
massimo della funzione
nella regione rappresentata
dal seguente grafico:

Massimi e minimi liberi:
Applicando il metodo delle derivate parziali abbiamo che zx = y e zy = x
quindi si ottiene un solo punto critico O(0,0).
Proseguendo con le derivate seconde si ottiene:
zxx = 0 , zyy = 0 e zxy = zyx = 1
H (0,0) 
0 1
 1 perciò punto di sella ,
1 0
(naturalmente se riferito a tutto il dominio della funzione)

Massimi e minimi sulla frontiera:
Lungo il lato OB
 z  xy


z=0
x  0
0  y  1

Lungo il lato OA
 z  xy


y  0
0  x  1

z=0
Lungo il lato AB
 z  xy

 y  x  1 
0  x  1

z = x(-x + 1) = - x2 + x
Si tratta di una parabola che presenta un massimo nel suo vertice V con xV =
1
2
1 1 1
Quindi V  , ,  è punto di massimo
2 2 4

Valori assunti in corrispondenza dei vertici del triangolo:
z(O) = 0
z(A) = 0
z(B) = 0
1 1 1
Concludiamo che la funzione ammette massimo in corrispondenza di V  , , 
2 2 4
Notiamo infine, sebbene non richiesto dalla traccia del quesito, che tutti i punti dei lati OA e
OB sono minimi assoluti per la funzione nella regione del vincolo.