Nota integrativa n.9 – La risposta alla funzione

Anno Accad. 2003/2004 II anno :Corso di Laurea in Ing. Elettrica– Nuovo Ordinamento
Corso di
Principi di Ingegneria Elettrica
(prof.G.Lupò)
Nota integrativa n.9 – La risposta alla funzione impulsiva nelle reti lineari.
Nella caratterizzazione dinamica delle reti assumono un ruolo fondamentale sia le soluzioni
della equazione algebrica associata all’omogenea (esprimibili come frequenze naturali k o
attraverso le costanti di tempo k =-1/k, reali o complesse coniugate) sia l’integrale
particolare. Poiché le soluzioni k sono negative o a parte reale negativa nei circuiti reali
(dissipativi), l’integrale particolare può essere costituito, se individuabile, dalla soluzione
secolare o a tempo infinito ovvero dalla soluzione a regime (es. stazionario, sinusoidale,
periodico, etc). Ne caso di forzamento polinomiale, esponenziale o cisoidale (ossia costituito
da una combinazione di funzioni esponenziali e trigonometriche), la soluzione secolare sarà
del tipo polinomiale, esponenziale o cisoidale; il principio di identità applicato al sistema
differenziale ci permette di valutare completamente l’integrale particolare e quindi l’integrale
completo.
Laddove il forzamento non fosse del tipo suddetto o addirittura non esprimibile analiticamente
(si pensi ad esempio ad una tensione indotta da un fulmine o, più semplicemente, al segnale
derivante da un microfono), l’evoluzione delle grandezze nella rete potrà essere ricondotta a
delle risposte “canoniche” ossia a forzamenti “standard”.
Forzamenti standard fondamentali sono la sollecitazione “a gradino” e la sollecitazione “ad
impulso”. La prima sembra più “accessibile” anche dal punto di vista sperimentale, la seconda
si presenta più adatta ad una formulazione analitica compatta.
La funzione a gradino
Per una utile presentazione della funzione a gradino (che ci permetterà di interpretare meglio
la funzione impulsiva), consideriamo una funzione continua e generalmente derivabile del
tipo
 0 per t  (t 0  )

 1
U  (t  t 0 )
(t  t 0 ) per (t 0  )  t  (t 0  )
 2
 1 per t  (t 0  )

U
1
 t0 
Definiamo funzione a gradino di valore unitario applicato nel punto t0 la funzione
 0 per t  (t 0  )

U (t  t 0 )
 lim 0 U  (t  t 0 )
  1 per t  (t  )
0

t
La funzione a gradino risulta discontinua nel punto di applicazione.
Funzione impulsiva
Consideriamo la funzione
P
 0 per t  (t 0  )

 1
P (t  t 0 )
per (t 0  )  t  (t 0  )
 2
 0 per t  (t 0  )

1/(2)
 t0 
Tale funzione può essere considerata la derivata dalla funzione U.
Una proprietà notevole della funzione suddetta è la seguente

t0  

t0  
 P (t  t 0 )dt 
 P (t  t

0
)dt 1
Al tendere a zero di , il valore di P tende ad infinito.
La funzione impulsiva unitaria del 1° ordine (impulso di Dirac nell’istante t0) viene definita
nel modo seguente:
 0 per t  t 0

b
1 se t 0  (a, b)
 (t  t 0 ) 
 (t  t 0 )dt  


 0 se t 0 (a, b)
a
Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, la funzione impulsiva può essere considerata la
derivata della funzione a gradino.
La funzione P può essere considerata come la differenza tra due gradini, uno di valore 1/2
applicato in t0- e l’altro di valore -1/2 applicato in t0+. Possiamo quindi pensare di
reiterare il procedimento precedente ed arrivare alla definizione di impulso del 2° ordine
(doppietto, costituito da due impulsi del primo ordine “contigui” e di segno opposto, di valore
illimitato) e degli impulsi di ordine superiore.
Campionamento di una funzione f(t)
Consideriamo una funzione f(t) generalmente continua e derivabile. Volendo descrivere tale
funzione in un intervallo (0,t1) si può immaginare di suddividere l’intervallo in N
sottointervalli di ampiezza = t1/N e di considerare la funzione f*(t) (di tipo “a scaletta) di
valore costante nei sottointervalli e pari al valore della funzione f(t) nell’estremo sinistro.
f(t)
f*(t)
1
k
k+

1
t1
La funzione f*(t) si “compone” con funzioni “finestra” del tipo P(t-k), ma di ampiezza pari
al valore che la funzione f(t) ha nell’estremo sinistro del sottointervallo:
t
N
f * (t )   f ( k )  P (t   k )  
k 1
Per N, 0 e f*(t)f(t). Pertanto possiamo concludere che la funzione f(t) può essere
descritta, nell’intervallo suddetto, attraverso i “campioni” f() “filtrati” da impulsi di Dirac1:
t1
f (t )   f ( )   t   dt
0
Risposta forzata (integrale di convoluzione)
Considerata una rete lineare passiva, tempo-invariante, a riposo all'istante to, sollecitata dal
forzamento f(t) (in tensione o corrente), la risposta (tensione o corrente di lato) yf(t)
(evoluzione forzata) può quindi essere espressa per ogni istante t>to dalla sovrapposizione
“contemporanea” dei termini componenti la f(t) e quindi dall'integrale di convoluzione
t
y f (t ) 
 f ( )  ht   d
t0
dove h(t-) è la risposta ad un forzamento impulsivo unitario centrato nell'istante generico 
(to<<t)2.
Se la rete non è a riposo, essa può essere ricondotta ad una rete a riposo considerando degli
opportuni “forzamenti impulsivi” per la ricostruzione delle variabili di stato. La risposta a
questi forzamenti fittizi (a forzamento f(t)=0) rappresenta l’evoluzione libera per cui, per una
rete non a riposo, la risposta y(t) è la somma dell’evoluzione libera e dell’evoluzione forzata:
y (t )  y f (t )  y libera (t ) .
Si vuole nel seguito riportare alcune considerazioni generali sulla h(t), che possono
essere di aiuto nelle applicazioni per la determinazione della stessa.
1. RETI DI ORDINE ZERO
Si consideri una rete costituita da soli resistori. Essa è di ordine zero (nel sistema
fondamentale non vi sono relazioni differenziali).
E' immediato riconoscere che per un forzamento impulsivo unitario f(t)=(t), ogni risposta
h(t) è impulsiva (fig.1); è da sottolineare che h(t)=0 per t>0, essendo la rete senza memoria.
In realtà in questa presentazione non viene considerato il campione nell’estremo destro t 1. Per tener conto di tale
campione, occorre considerare inizialmente non il valore sull’estremo sinistro ma al centro del sottointervallo e
considerando di estendere “temporaneamente” l’intervallo (0, t1) di /2 a sinistra dello zero e a destra di t1.
1
L’espressione del campionamento diventa
f (t ) 
t1 
 f ( )   t   dt
0
2poiché
vale il principio di causalità (ossia la risposta non può dipendere dal forzamento futuro), h(t-) è nulla per t> e

l'integrale di convoluzione può essere riscritto come
y f (t ) 
 f ( )  ht   d

f(t)= (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
fig.1
Quindi la risposta forzata generica è la "copia modificata" attraverso il fattore di riporto kh
(dimensionale o adimensionale a seconda dei casi) (fig.2)
t
yf (t)   f ( )   t   d  k h f(t )
t0
y(t)= =k f(t)
f(t)
h
fig.2
2. RETI DEL I ORDINE
Si considerano i due casi rilevanti:
a) un solo bipolo condensatore di capacità C (fig.3a);
b) un solo bipolo induttore di induttanza L (fig.3b)3;
3Il
caso del mutuo induttore ad accoppiamento perfetto si riconduce immediatamente al caso del singolo induttore:
L
A
2
A
M =L1L2
B
L1
B
a
f(t)=
 (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
a)
f(t)=
 (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
b)
C
L
A
A
B
f(t)= (t)
B
f(t)= (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
y(t)=h(t)=k (t)
h
a)
b)
fig.3
Nel caso a) si può affermare, salvo le eccezioni di cui appresso, che l'impulso in ingresso
carica il condensatore. Infatti la rete a monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può
sostituire il bipolo equivalente di Norton (fig.4a); l'intensità di corrente del generatore
equivalente di Norton e la tensione che si ritrova immediatamente ai capi del condensatore
valgono rispettivamente
iABcc(t)= kABN (t)
k
v AB  0    ABN
C
dove kABN è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di
tempo (0-,+)
t
t


k
k
CR
v AB t   ABN  e eq  ABN  e c
C
C


v t 
k
k
CR
i AB t   k ABN  t   AB  k ABN  t   ABN  e eq  k ABN  t   ABN  e c
R eq
CR eq
c
t
t
vAB
A
iAB
f(t)=
 (t)
L
C
A
B
B
iAB
ReqAB
y(t)=h(t)=k (t)
h
f(t)=
 (t)
ReqAB
y(t)=h(t)=k (t)
h
e oAB
iccAB
a)
b)
fig.4
Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta
h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato (fig.5a):
ht   k h  t   h0  e

t
c
 k h  t   k c v AB 0    e

t
c
t

k k
 k h  t   c ABN  e c
C
il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto kh; esso sarà nullo se la risposta è la
tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare
"alimentata" dal condensatore (come la resistenza equivalente del bipolo equivalente di
Norton); negli altri casi tale fattore si determina in una rete di ordine zero, ottenuta
sostituendo al condensatore un corto circuito. Il fattore kc si ottiene invece considerando il
“riporto” della tensione sul condensatore alla grandezza di uscita prescelta (anche in questo
caso il calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine zero, in cui tra l’altro il
forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione). Il fattore kABN dipende invece dalla
posizione del condensatore rispetto al forzamento.
a)
b)
C
L
A
A
B
f(t)= (t)
B
f(t)= (t)
y(t)=h(t)=k (t)+h(0+) exp()

h
y(t)=h(t)=k (t)+h(0+) exp()
a)
b)
fig.5
Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig.6a certamente non contengono
termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente interessati da
termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica è necessaria per meglio determinare il
comportamento della porzione N'.
A
N'
f(t)= (t)
N"
B
A
L
B
N"
f(t)= (t)
C
risposte impulsive
N'
risposte non impulsive
risposte impulsive
risposte non impulsive
b)
a)
fig.6
E' tuttavia da sottolineare che vi sono casi banali e "patologici":
- se la corrente di cortocircuito iABcc(t) è nulla (perchè la tensione a vuoto ai morsetti AB è
nulla: ad es. parallelo con un cortocircuito o condensatore inserito sulla diagonale di un ponte
bilanciato), la rete è di ordine zero e senza memoria ( il condensatore non si carica);
- se lo stesso condensatore è alimentato con un generatore di tensione impulsivo, il
condensatore si carica ad una tensione impulsiva, la corrente nel condensatore è un'impulso
del secondo ordine, le grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la
rete non ha memoria.
Trattasi, come si vede, di casi marginali.
Anche nel caso b) si può affermare che l'impulso in ingresso carica l'induttore. Infatti la rete a
monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può sostituire il bipolo equivalente di Thévénin
(fig.4b); la tensione del generatore equivalente di Thévénin e la intensità della corrente che si
ritrova immediatamente nell'induttore valgono rispettivamente
voAB(t)= kABT (t)
iAB(0+)= kABT /L
dove kABT è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di
tempo (0-,+)
tR
t
eq


k
k
i AB t   ABT  e L  ABT  e  L
t
L
L
k ABT R eq  tReq
k ABT   L
L
v AB t   k ABT t   R eq i AB t   k ABT t  
e
 k ABT t  
e
L
L
Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta
h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato :
ht   k h  t   h0  e

t
L
 k h  t   k L i AB 0    e

t
L
t

k k
 k h  t   L ABT  e  L
L
il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto kh; esso sarà nullo se la risposta è la
tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare
"alimentata" dall'induttore (come la resistenza equivalente del bipolo equivalente di
Thévénin); negli altri casi tale fattore si determina in una rete i ordine zero, ottenuta
sostituendo all’induttore un circuito aperto. Il fattore kL si ottiene invece considerando il
“riporto” corrente dell’induttore alla grandezza di uscita prescelta (anche in questo caso il
calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine zero, in cui tra l’altro il forzamento,
valutato dallo 0+, è nullo per definizione). Il fattore kABT dipende invece dalla posizione
dell’induttore rispetto al forzamento.
Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig.6b certamente non contengono
termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente interessati da
termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica sarebbe necessaria per migliorare
l'analisi del comportamento della porzione N'.
E' tuttavia da sottolineare che anche qui vi sono casi banali e "patologici":
- se la tensione a vuoto è nulla (perché la corrente di cortocircuito nel ramo AB è nulla: ad es.
serie con un circuito aperto o induttore inserito sulla diagonale di un ponte bilanciato), la rete
è di ordine zero e senza memoria ( l'induttore non si carica);
- se lo stesso induttore è alimentato con un generatore di corrente impulsivo, esso si carica ad
una corrente impulsiva, la tensione sull'induttore è un impulso del secondo ordine, le
grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la rete non ha memoria.
3. RETI DI ORDINE SUPERIORE
Si possono considerare i seguenti casi fondamentali:
a) reti con due condensatori C1 e C2;
b) reti con due induttori L1 ed L2;
c) reti resistivi con un accoppiamento magnetico non perfetto M;
d) reti con un induttore ed un condensatore.
Nei primi due casi non si considereranno i casi di bipoli in serie o parallelo, in quanto si
rientrerebbe in problemi del primo ordine.
Nel caso a) si considerino il caso fondamentale di forzamento impulsivo di corrente Qo(t) su
C1 (fig.3.1). In tal caso C1 si carica istantaneamente alla tensione di valore Qo/C1, mentre C2
non si carica in quanto le correnti nella rete N” non possono essere impulsive. La tensione su
C2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso del tipo d) descritto
dalla fig. 3.2; in questo vaso infatti, non potendo essere impulsive neanche le tensioni in N”,
non si può dar luogo ad una brusca variazione della corrente nell’induttore, che resta quindi
continua.
Nel caso b) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo in tensione o(t) su
L1 (fig.3.3). In tal caso L1 si carica istantaneamente alla corrente di valore o/L1, mentre L2
non può caricarsi istantaneamente in quanto tutte le tensioni in N” sono limitate. La corrente
in L2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso del tipo d)
descritto dalla fig. 3.4; in questo vaso infatti, non potendo essere impulsive neanche correnti
in N”, non si può dar luogo ad una brusca variazione della tensione sul condensatore, che resta
quindi continua.
In generale, nei casi di tipo a) [di tipo b)] occorrerà considerare se le correnti [le tensioni] nei
condensatori [sugli induttori] prodotti dai generatori impulsivi di tensione e di corrente siano
o meno impulsive. Per avere questa informazione, ricordando che le grandezze di stato –
escluso i casi patologici – possono avere nello zero al più un salto limitato e quindi
trascurabile rispetto all’impulso, basterà considerare al posto dei condensatore [degli
induttori] un generatore di tensione [di corrente] trascurabile e valutare in una rete
“praticamente” resistiva la distribuzione delle correnti [delle tensioni] relativi ai rami dove
sono ubicati i suddetti generatori di valore trascurabile. Se le correnti [le tensioni] risulteranno
impulsive di valore Ak, si avranno dei corrispondenti salti di tensione [di corrente] pari a Ak/Ck
[Ak/Lk]. Tali considerazioni possono essere estese anche ai casi di tipo d).
I casi del tipo c) rientrano nei casi di due induttori, potendo per un accoppiamento mutuo non
perfetto considerare una rete equivalente contenente un trasformatore ideale (senza memoria)
e quattro induttanze fittizie L’1,L”1,L’2,L”2 (L1=L’1+L”1; L2=L’2+L”2) di cui una (L’1 o L’2) può
essere scelta arbitrariamente mentre L”1 ed L”2 danno luogo ad una accoppiamento perfetto
(ossia ad una sottorete del primo ordine).
Si può controllare che i casi a),b),c) danno luogo a frequenze naturali (o a costanti di tempo)
reali e distinte.
Le considerazioni sopra esposte possono essere facilmente estese a reti di ordine superiori
contenenti:
a’) un numero qualsiasi di condensatori;
b’) un numero qualsiasi di induttori;
c’) un numero qualsiasi di mutui accoppiamenti ed induttori;
d’) un numero qualsiasi di condensatori, induttori e mutui accoppiamenti.