La risposta alla funzione impulsiva nelle reti lineari

Anno Accad. 2005/2006 II anno :Corso di Laurea in Ing. Informatica– Nuovo Ordinamento
Corso di
Introduzione ai circuiti (DF-M)
(prof.G.Lupò)
La risposta alla funzione impulsiva nelle reti lineari (dominio del tempo)
Nella caratterizzazione dinamica delle reti assumono un ruolo fondamentale sia le soluzioni
della equazione algebrica associata all’omogenea (esprimibili come frequenze naturali k o
attraverso le costanti di tempo k =-1/k, reali o complesse coniugate) sia l’integrale
particolare. Poiché le soluzioni k sono negative o a parte reale negativa nei circuiti reali
(dissipativi), l’integrale particolare può essere costituito, se individuabile, dalla soluzione
secolare o a tempo infinito ovvero dalla soluzione a regime (es. stazionario, sinusoidale,
periodico, etc). Nel caso di forzamento polinomiale, esponenziale o cisoidale (ossia costituito
da una combinazione di funzioni esponenziali, trigonometriche ed iperboliche), la soluzione
secolare sarà del tipo polinomiale, esponenziale o cisoidale; il principio di identità applicato
al sistema differenziale ci permette di valutare completamente l’integrale particolare e quindi
l’integrale completo.
Laddove il forzamento non fosse del tipo suddetto o addirittura non esprimibile analiticamente
(si pensi ad esempio ad una tensione indotta da un fulmine o, più semplicemente, al segnale
derivante da un microfono), l’evoluzione delle grandezze nella rete potrà essere ricondotta a
delle risposte “canoniche” ossia a forzamenti tipo(“standard”).
Forzamenti-tipo fondamentali sono la sollecitazione “a gradino” e la sollecitazione “ad
impulso”. La prima sembra più “accessibile” anche dal punto di vista sperimentale, la seconda
si presenta più adatta ad una formulazione analitica compatta. Rientrano nelle sollecitazionitipo gli impulsi di ogni ordine, ricavabili per derivazione successiva della funzione a gradino,
nel senso delle distribuzioni.
La funzione a gradino
Per una utile presentazione della funzione a gradino (che ci permetterà di interpretare meglio
la funzione impulsiva), consideriamo una funzione continua e generalmente derivabile del
tipo
 0 per t  (t 0  )

 1
U  (t  t 0 )
(t  t 0 ) per (t 0  )  t  (t 0  )
 2
 1 per t  (t 0  )

U
1
 t0 
Definiamo funzione a gradino di valore unitario applicato nel punto t0 la funzione
t
 0 per t  (t 0  )

U (t  t 0 )
 lim 0 U  (t  t 0 )
  1 per t  (t  )
0

La funzione a gradino risulta discontinua nel punto di applicazione1.
Funzione impulsiva
Consideriamo la funzione
 0 per t  (t 0  )

 1
P (t  t 0 )
per (t 0  )  t  (t 0  )
2


 0 per t  (t 0  )

P
1/(2)
 t0 
Tale funzione può essere considerata la derivata dalla funzione U.
Una proprietà notevole della funzione suddetta è la seguente

 P (t  t


0
)dt 
t0  
 P (t  t

0
)dt 1
t0  
Al tendere a zero di , il valore di P tende ad infinito.
La funzione impulsiva unitaria del 1° ordine (impulso di Dirac nell’istante t0) viene definita
nel modo seguente:
 0 per t  t 0

b
1 se t 0  (a, b)
 (t  t 0 ) 

(
t

t
)
dt


0

 0 se t 0 (a, b)
a
Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, la funzione impulsiva può essere considerata la
derivata della funzione a gradino.
La funzione P può essere considerata come la differenza tra due funzioni a gradino, uno di
valore 1/2 applicato in t0- e l’altro di valore -1/2 applicato in t0+. Possiamo quindi
pensare di reiterare il procedimento precedente ed arrivare alla definizione di impulso del 2°
ordine (doppietto, costituito da due impulsi del primo ordine “contigui” e di segno opposto, di
valore illimitato) e degli impulsi di ordine superiore.
Campionamento di una funzione f(t)
Consideriamo una funzione f(t) generalmente continua e derivabile. Volendo descrivere tale
funzione in un intervallo (0,t1) si può immaginare di suddividere l’intervallo in N
sottointervalli di ampiezza = t1/N e di considerare la funzione f*(t) (di tipo “a scaletta) di
valore costante nei sottointervalli e pari al valore della funzione f(t) nell’estremo sinistro.
1
Si è soliti assegnare alla funzione a gradino nel punto di discontinuità il valore 0,5, desunto dalla U Δ.
t
f(t)
f*(t)
1
k

k+
1
t1
La funzione f*(t) si “compone” con funzioni “finestra” del tipo P(t-k), ma di ampiezza pari
al valore che la funzione f(t) ha nell’estremo sinistro del sottointervallo:
N
f * (t )   f ( k )  P (t   k )  
k 1
Per N, 0 e f*(t)f(t). Pertanto possiamo concludere che la funzione f(t) può essere
descritta, nell’intervallo suddetto, attraverso i “campioni” f() “filtrati” da impulsi di Dirac2:
t1
f (t )   f ( )   t   dt
0
Risposta forzata (integrale di convoluzione)
Considerata una rete lineare passiva, tempo-invariante, a riposo all'istante to, sollecitata dal
forzamento f(t) (in tensione o corrente), la risposta (tensione o corrente di lato) yf(t)
(evoluzione forzata) può quindi essere espressa, per ogni istante t>to, dalla sovrapposizione
“contemporanea” dei contributi dovuti ai termini componenti la f(t) e quindi dall'integrale di
convoluzione
t
y f (t ) 
 f ( )  ht   d
t0
dove h(t-) è la risposta ad un forzamento impulsivo unitario centrato nell'istante generico 
(to<<t)3.
Se la rete non è a riposo, essa può essere ricondotta ad una rete a riposo considerando degli
opportuni “forzamenti impulsivi” per la ricostruzione delle variabili di stato. La risposta a
questi forzamenti fittizi (a forzamento f(t)=0) rappresenta l’evoluzione libera per cui, per una
rete non a riposo, la risposta y(t) è la somma dell’evoluzione libera e dell’evoluzione forzata:
y (t )  y f (t )  y libera (t ) .
In realtà in questa presentazione non viene considerato il campione nello zero [nell’estremo destro t1]. Per tener conto
di tale campione, occorre considerare inizialmente non il valore nell’estremo sinistro ma al centro del sottointervallo e
considerando di estendere “temporaneamente” l’intervallo (0, t1) di /2 a sinistra dello zero e a destra di t1.
2
L’espressione del campionamento diventa
f (t ) 
t1 
 f ( )   t   dt
0
3poiché
vale il principio di causalità (ossia la risposta non può dipendere dal forzamento futuro), h(t-) è nulla per t>t1 e

l'integrale di convoluzione può essere riscritto come
y f (t ) 
 f ( )  ht   d

L’uso della funzione impulsiva permette quindi:
a) di introdurre propedeuticamente generatori fittizi (impulsivi) per ricostruire “in un
attimo” lo stato di non-riposo di una rete; se abbiamo interesse a conoscere
l’evoluzione delle grandezze per t>0, basterà inserire in parallelo ad un condensatore C
(nella realtà carico ad una tensione Vo all’istante t=0, ma che supponiamo scarico per
t<0) un generatore di corrente
i (t )  CVo (t ) 4
ovvero basterà inserire in serie ad un induttore L (nella realtà carico ad una intensità di
corrente Io all’istante t=0, ma che supponiamo scarico per t<0) un generatore di
tensione
e (t )  LI o (t ) 5
b) di determinare la risposta impulsiva h(t) ad un generico forzamento f(t) applicato ad
una rete a riposo, tramite l’integrale di convoluzione
Si vuole nel seguito riportare alcune considerazioni generali sulla h(t), che possono essere di
aiuto nelle applicazioni per la determinazione della stessa.
Seguiranno alcuni esercizi per la valutazione della risposta impulsiva basati essenzialmente
sulla osservazione che, nel sistema fondamentale, devono essere bilanciati gli impulsi di
tensione e corrente ( ossia non è possibile che in un’equazione compaia un solo termine
impulsivo); basteranno semplici considerazioni per distinguere le grandezze impulsive da
quelle non impulsive e per valutare eventuali discontinuità delle grandezze di stato.
1. RETI DI ORDINE ZERO
Si consideri una rete costituita da soli resistori6. Essa è di ordine zero (nel sistema
fondamentale non vi sono relazioni differenziali).
E' immediato riconoscere che per un forzamento impulsivo unitario f(t)=(t), ogni risposta
h(t) è impulsiva (fig.1); è da sottolineare che h(t)=0 per t>0, essendo la rete senza memoria.
f(t)= (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
In tal modo al condensatore viene trasferita, nell’intervallo (0-,0+) una carica Qo=CVo; tale operazione (si
ripete,fittizia) è indipendente dalla presenza del resto della rete, come si potrà anche verificare dagli esercizi rsposti
nell’ultimo paragrafo di questa nota. Si sottolinea comunque che in questa “simulazione” perdiamo tutta l’informazione
sull’evoluzione reale delle grandezze fino allo 0- (consideriamo la rete perfettamente a riposo) ed anche nell’intervallo
infinitesimo (0-,0+), in cui le grandezze di stato raggiungono i valori effettivi.
4
In tal modo nelll’induttore viene creato , nell’intervallo (0-,0+) un flusso concatenato Φ=LIo; tale operazione (si
ripete,fittizia) è indipendente dalla presenza del resto della rete, come si potrà anche verificare dagli esercizi rsposti
nell’ultimo paragrafo di questa nota.
5
6
ed altri bipoli, n-poli o n-bipoli di ordine zero quali il trasformatore ideale.
fig.1
Quindi la risposta forzata generica è la "copia modificata" attraverso il fattore di riporto kh
(dimensionale o adimensionale a seconda dei casi)
t
yf (t)   f ( )   t   d  k h f(t )
t0
y(t)= =k f(t)
f(t)
h
fig.2
2. RETI DEL I ORDINE
Si considerano i due casi rilevanti:
a) un solo bipolo condensatore di capacità C (fig.3a);
b) un solo bipolo induttore di induttanza L (fig.3b)7;
C
A
L
A
B
f(t)= (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
B
f(t)= (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
a)
b)
fig.3
Nel caso a) si può affermare, salvo le eccezioni di cui appresso, che l'impulso in ingresso
carica il condensatore. Infatti la rete a monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può
7Il
caso del mutuo induttore ad accoppiamento perfetto si riconduce immediatamente al caso del singolo induttore:
L
A
2
A
M =L1L2
B
L1
B
a
f(t)=
 (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
a)
f(t)=
 (t)
y(t)=h(t)=k (t)
h
b)
sostituire il bipolo equivalente di Norton (fig.4a); l'intensità di corrente del generatore
equivalente di Norton e la tensione che si ritrova immediatamente ai capi del condensatore
valgono rispettivamente
iABcc(t)= kABN (t)
k
v AB  0    ABN
C
dove kABN è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di
tempo (0-,+)
t
t


k
k
CR
v AB t   ABN  e eq  ABN  e c
C
C


v t 
k
k
CR
i AB t   k ABN  t   AB  k ABN  t   ABN  e eq  k ABN  t   ABN  e c
R eq
CR eq
c
t
t
vAB
A
iAB
f(t)=
 (t)
L
C
A
B
B
iAB
ReqAB
y(t)=h(t)=k (t)
h
f(t)=
 (t)
ReqAB
y(t)=h(t)=k (t)
h
e oAB
iccAB
a)
b)
fig.4
Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta
h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato (fig.5a):
ht   k h  t   h0  e

t
c
 k h  t   k c v AB 0    e

t
c
 k h  t  
t
k c k ABN  c
e
C
Il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto kh; esso sarà nullo se la risposta è la
tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare "in
parallelo" al condensatore (come la resistenza equivalente del bipolo equivalente di Norton);
negli altri casi tale fattore si determina in una rete di ordine zero, ottenuta sostituendo al
condensatore un corto circuito8. Il fattore kc si ottiene invece considerando il “riporto” della
tensione sul condensatore alla grandezza di uscita prescelta (anche in questo caso il calcolo
del riporto viene effettuato su una rete di ordine zero, in cui tra l’altro il forzamento, valutato
dallo 0+, è nullo per definizione)9. Il fattore kABN dipende invece dalla posizione del
condensatore rispetto al forzamento.
8
La sostituzione con un cortocircuito è legittimata dal fatto che la tensione sul condensatore è comunque limitata e
quindi “trascurabile” rispetto alle altre tensioni impulsive presenti nella rete.
9
In altri termini, la tensione sul condensatore è la sola tensione nota, da “ripartire”.
L
C
δ(t)
ht   k h t   k c v AB 0    e

t
ht   k h  t   k L i AB 0    e
δ(t)
c
a
b
fig.5
Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig.6a certamente non contengono
termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente interessati da
termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica è necessaria per meglio determinare il
comportamento della porzione N'.
A
N'
f(t)= (t)
N"
B
A
L
B
N"
f(t)= (t)
C
risposte impulsive
N'
risposte non impulsive
risposte impulsive
risposte non impulsive
b)
a)
fig.6
E' tuttavia da sottolineare che vi sono casi banali e "patologici":
- se la corrente di cortocircuito iABcc(t) è nulla (perchè la tensione a vuoto ai morsetti AB è
nulla: ad es. parallelo con un cortocircuito o condensatore inserito sulla diagonale di un ponte
bilanciato), la rete è di ordine zero e senza memoria ( il condensatore non si carica);
- se lo stesso condensatore è alimentato con un generatore di tensione impulsivo, il
condensatore si carica ad una tensione impulsiva, la corrente nel condensatore è un'impulso
del secondo ordine, le grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la
rete non ha memoria.
Trattasi, come si vede, di casi marginali.
Anche nel caso b) si può affermare che l'impulso in ingresso carica l'induttore. Infatti la rete a
monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può sostituire il bipolo equivalente di Thévénin
(fig.4b); la tensione del generatore equivalente di Thévénin e la intensità della corrente che si
ritrova immediatamente nell'induttore valgono rispettivamente
voAB(t)= kABT (t)
iAB(0+)= kABT /L
dove kABT è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di
tempo (0-,+)

k
i AB t   ABT  e
L
tReq
L
t

k
 ABT  e  L
L

t
L
Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta
v AB t   k ABT t   R eq i AB t   k ABT t  
k ABT R eq

tReq
k ABT
e
 k ABT t  
e
L
L
h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato :
ht   k h  t   h0  e

t
L
 k h  t   k L i AB 0    e

t
L
L
 k h  t  

t
L
t
k L k ABT   L
e
L
il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto kh; esso sarà nullo se la risposta è la
tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare "in
serie" dall'induttore (come la resistenza equivalente del bipolo equivalente di Thévénin); negli
altri casi tale fattore si determina in una rete i ordine zero, ottenuta sostituendo all’induttore
un circuito aperto. Il fattore kL si ottiene invece considerando il “riporto” corrente
dell’induttore alla grandezza di uscita prescelta (anche in questo caso il calcolo del riporto
viene effettuato su una rete di ordine zero, in cui tra l’altro il forzamento, valutato dallo 0+, è
nullo per definizione). Il fattore kABT dipende invece dalla posizione dell’induttore rispetto al
forzamento.
Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig.6b certamente non contengono
termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente interessati da
termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica sarebbe necessaria per migliorare
l'analisi del comportamento della porzione N'.
E' tuttavia da sottolineare che anche qui vi sono casi banali e "patologici":
- se la tensione a vuoto è nulla (perché la corrente di cortocircuito nel ramo AB è nulla: ad es.
serie con un circuito aperto o induttore inserito sulla diagonale di un ponte bilanciato), la rete
è di ordine zero e senza memoria ( l'induttore non si carica);
- se lo stesso induttore è alimentato con un generatore di corrente impulsivo, esso si carica ad
una corrente impulsiva, la tensione sull'induttore è un impulso del secondo ordine, le
grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la rete non ha memoria.
3. RETI DI ORDINE SUPERIORE
Si possono considerare i seguenti casi fondamentali:
a) reti con due condensatori C1 e C2;
b) reti con due induttori L1 ed L2;
c) reti resistive con un accoppiamento magnetico non perfetto M;
d) reti con un induttore ed un condensatore.
Nei primi due casi non si considereranno i casi di bipoli in serie o parallelo, in quanto si
rientrerebbe in problemi del primo ordine.
Nel caso a) si considerino il caso fondamentale di forzamento impulsivo di corrente Qo(t) su
C1 (fig.3.1). In tal caso C1 si carica istantaneamente alla tensione di valore Qo/C1, mentre C2
non si carica in quanto le correnti nella rete N” non possono essere impulsive. La tensione su
C2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso del tipo d) descritto
dalla fig. 3.2; in questo vaso infatti, non potendo essere impulsive neanche le tensioni in N”,
non si può dar luogo ad una brusca variazione della corrente nell’induttore, che resta quindi
continua.
Nel caso b) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo in tensione o(t) su
L1 (fig.3.3). In tal caso L1 si carica istantaneamente alla corrente di valore o/L1, mentre L2
non può caricarsi istantaneamente in quanto tutte le tensioni in N” sono limitate. La corrente
in L2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso del tipo d)
descritto dalla fig. 3.4; in questo vaso infatti, non potendo essere impulsive neanche correnti
in N”, non si può dar luogo ad una brusca variazione della tensione sul condensatore, che resta
quindi continua.
In generale, nei casi di tipo a) [di tipo b)] occorrerà considerare se le correnti [le tensioni] nei
condensatori [sugli induttori] prodotti dai generatori impulsivi di tensione e di corrente siano
o meno impulsive. Per avere questa informazione, ricordando che le grandezze di stato –
escluso i casi patologici – possono avere nello zero al più un salto limitato e quindi
trascurabile rispetto all’impulso, basterà considerare al posto dei condensatore [degli
induttori] un generatore di tensione [di corrente] di valore trascurabile e valutare in una rete
“praticamente” resistiva la distribuzione delle correnti [delle tensioni] relativi ai rami dove
sono ubicati i suddetti generatori di valore trascurabile. Se le correnti [le tensioni] risulteranno
impulsive di valore Ak, si avranno dei corrispondenti salti di tensione [di corrente] pari a Ak/Ck
[Ak/Lk]. Tali considerazioni possono essere estese anche a casi più complessi. Ad esempio, in
fig. 3.5A (in fig.3.5B è disegnata la rete resistiva associata) l’induttore L1 si carica al valore
i L1 (0) 
 R2  R3
,
L1 R1  R2  R3
il condensatore C1 al valore
vC1 (0) 
1

,
C1 R1  R2  R3
l’induttore L2 al valore
i L2 (0) 
R2

,
L1 R1  R2  R3
mentre il condensatore C2 non si carica nello zero perchè interessato da corrente di intensità
limitata.
I casi del tipo c) rientrano nei casi di due induttori, potendo per un accoppiamento mutuo non
perfetto considerare una rete equivalente contenente un trasformatore ideale (senza memoria)
e quattro induttanze fittizie L’1,L”1,L’2,L”2 (L1=L’1+L”1; L2=L’2+L”2) di cui una (L’1 o L’2) può
essere scelta arbitrariamente mentre L”1 ed L”2 danno luogo ad una accoppiamento perfetto
(ossia ad una sottorete del primo ordine).
Si può controllare che i casi a),b),c) danno luogo a frequenze naturali (o a costanti di tempo)
reali e distinte.
Le considerazioni sopra esposte possono essere facilmente estese a reti di ordine superiore
contenenti:
a’) un numero qualsiasi di condensatori;
b’) un numero qualsiasi di induttori;
c’) un numero qualsiasi di mutui accoppiamenti ed induttori;
d’) un numero qualsiasi di condensatori, induttori e mutui accoppiamenti.
In particolare, si può notare che la configurazione di fig.3.6 “protegge” la rete N” da impulsi
di tensione, la rete di fig.3.7 protegge la rete N” da impulsi di corrente. Considerando gli
impulsi come “disturbi”, le due figure presentano un primo esempio di “filtri”. Ovviamente il
filtro va opportunamente dimensionato.
i=Q0δ(t)
C1
fig.3.1
i=Q0δ(t)
fig.3.2
Error!
N”
C2
N”
C1
L
N”
fig.3.3
L1
v=Φδ(t)
L2
N”
L1
fig.3.4
v=Φδ(t)
A)
C2
Φδ(t)
+
R1
C1
L1
R3
fig.3.5
+
B)
Φδ(t)
R1
L1
L
i=Q0δ(t)
fig.3.7
C
N”
L
C
L2
R2
N”
v=Φδ(t)
C2
C1
R3
fig.3.6
L2
R2
C2
CONSIDERAZIONI FINALI
La metodologia tipica di valutazione della risposta impulsiva può essere parallelamente
riportata sia per la risposta al gradino (dove potranno essere rapidamente distinte le grandezze
discontinue da quelle continue –non solo di stato-), sia per la risposta a sollecitazioni
impulsive di ordine superiore.
La convenienza di approfondire il caso degli impulsi del primo ordine sta sia nel considerare
tali sollecitazioni di ampio interesse applicativo (basti pensare ai disturbi transitori veloci
introdotti nei circuiti elettrici -tali disturbi sono ovviamente intesi quali ingressi indesiderati-),
oppure, di converso, ai segnali digitali, che sono ingressi voluti di breve durata e che vogliamo
siano riportati nella rete quali grandezze di notevole intensità rispetto ai “rumori” di varia
origine).
L’ulteriore convenienza dell’impiego delle funzioni impulsive risiede nella semplicità delle
trasformate integrali lineari quali quella £ di Laplace in cui risulta

£ (t )  F ( s)    (t )e  st dt  1
0
L’applicazione di trasformate di tale tipo al sistema fondamentale di una rete lineare lo rende
algebrico; con le debite attenzioni, si possono quindi definire in questo caso (analogamente a
quanto visto in regime sinusoidale) operatori quali impedenze ed ammettenze e si potranno
ancora applicare proprietà e teoremi fondamentali quali sovrapposizione degli effetti ed
equivalenze di bipoli attivi e passivi.
L’allievo informatico troverà nel seguito dei suoi studi la sistematica applicazione di metodi
operatoriali del tipo suddetto, che potranno avvalersi di numerosi e consolidati algoritmi di
calcolo automatico.
Ci è sembrato utile in questa sede – data anche la ristrettezza del tempo a disposizione –
insistere, per motivi di formazione, sull’analisi della risposta impulsiva nel dominio del
tempo, che consente una verifica diretta della sintesi personale dell’allievo sulla dinamica
delle reti lineari.
ULTERIORI ESEMPI ED ESERCIZI
1. Carica istantanea di un condensatore scarico C e di un induttore scarico L10
ik
i
A
ic
C
v
Vk
L
i(t)=CVoδ(t)
e(t)=LIoδ(t)
VL
a)
b)
Nel caso a) l’impulso di corrente del generatore deve essere “bilanciato” da almeno un
altro termine nell’equazione al nodo A; la corrente ik nella rete non può essere
impulsiva (escluso i casi patologici di generatore di tensione ideale o di altro
condensatore in parallelo): in tal caso infatti se la rete fosse resistivo e/o induttiva, la
tensione v sarebbe impulsiva (del primo o secondo ordine) e quindi ic sarebbe di ordine
superiore e non bilanciabile nel nodo A. Quindi ik è trascurabile (nello zero) rispetto a
i e ic ; la tensione v sul condensatore diventa:
0
0
0
1
1
1
v(0)   ic dt   idt   CV0 (t )dt V0
C 0
C 0
C 0
Nel caso b) l’impulso di tensione del generatore deve essere “bilanciato” da almeno un
altro termine nell’equazione alla maglia; la tensione vk ai capi della rete non può essere
impulsiva (escluso i casi patologici di generatore di corrente ideale o di altro induttore
in serie): in tal caso, infatti, se la rete fosse resistiva e/o capacitiva, la corrente i
sarebbe impulsiva (del primo o secondo ordine) e quindi vL sarebbe di ordine superiore
e non bilanciabile nella maglia. Quindi vk è trascurabile (nello zero) rispetto a e e vL ;
lacorrente nell’induttore diventa:
0
0
0
1
1
1
i(0)   v L dt   edt   LI 0 (t )dt I 0
L 0
L 0
L 0
2) Nei casi non riconducibili agli schemi a) e b) di cui sopra, occorre valutare caso per
caso il bilanciamento degli impulsi; nel caso di reti non elementari, potrà essere di
notevole aiuto la considerazione che le tensione sui condensatori è limitata e quindi,
nell’ambito di un bilancio di impulsi, il condensatore può essere considerato un …
“quasi” cortocircuito; inoltre l’intensità della corrente negli induttori, per la presenza
di generatori impulsivi, potrà al più avere un salto limitato e quindi l’induttore può
essere considerato un “quasi-aperto”. Se l’intensità della corrente nei “cortocircuiti” è
impulsiva di valore Q, il condensatore di capacità C si caricherà alla tensione Vo=Q/C;
se la tensione ai capi degli “aperti” è impulsiva di valore Φ, l’intensità di corrente
nell’induttore di induttanza L avrà un salto Φ/L.
Notare che, in relazione alle fissate grandezze di stato, sui generatori “impulsivi” va applicata la convenzione del
generatore.
10
Esempio A) Calcolare i1(t) – La rete è a riposo per t<0.
R
R1
R2
e=Φδ(t)
V1
C1
V2
C2
i2
i1
L’espressione generale della risposta è la seguente:
i1 (t )  A (t )  k1e 1t  k 2 e 2t
I valori di λ1 e di λ2 si ricavano dall’equazione caratteristica11; i valori di k1 e k2 si
ricavano “fotografando” la rete allo 0+ e ricavando i valori in tale istante della
intensità di corrente i1(t) e della sua derivata. Per tale “fotografia” occorre conoscere
gli effetti dell’impulso, ossia quali elementi a memoria si sono caricati allo 0+.
Con riferimento a grandezze impulsive (nello zero), i due condensatori sono
assimilabili a “cortocircuiti” e quindi i due resistori risultano in parallelo; i1 è
impulsiva e carica il condensatore al valore
v1 (0) 
1
C1
0
 i1dt 
0
1
C1
0
R
 (t )
1
dt 
0 R1 2R2
R1R2
C1
R
R1  R2
0
R2
1
R2
 (t )dt 
C1 RR1  RR2  R1R2
1  RR2  R1R2
 RR
0
Analogamente si carica l’altro condensatore:
0
0
R1
1
1
v 2 (0  ) 
i2 dt  

C 2 0
C1 0 R1  R2
 (t )
1
dt 
RR
C2
R 1 2
R1  R2
0
R1
R1
1
 (t )dt 
C 2 RR1  RR 2  R1 R2
1  RR 2  R1 R 2
 RR
0
La “foto” allo 0+ è la seguente
R
R1
R2
V2
V1
i1
i2
da cui
11
Nel nostro caso
1, 2 
 R  R1 C1  R  R2 C 2  
R  R1 C1  R  R2 C 2 2  4C1C 2 RR1  RR 2  R1 R2 
2C1C 2 RR1  RR 2  R1 R2 


 V1
i1 (0)  k1  k 2  
RR 2
 R1 
R  R2

 

 

V2
R   v1 0  R  R 2   v 2 0  R



 
RR1 R  R1 
RR1  RR 2  R1 R 2
R

  2

R  R1
 

 RR1 R 2 ( R  R 2 ) 
 R 2  R  R 2 
R1
1
1







2
2
2 
C1 ( RR1  RR 2  R1 R 2 )
C 2 ( RR1  RR 2  R1 R 2 )
C1
( RR1  RR 2  R1 R 2 )  C 2

12
Il circuito bloccato allo 0+ per il calcolo della seconda condizione iniziale è il seguente
R
R1
R2
V’2
V’1
i’1


 V '1
'
i1 (0)  1 k1   2 k 2  

RR 2
 R1 
R  R2

 

 

'
'
V2
R   v1 0  R  R2   v ' 2 0  R


 
RR1 R  R1 
RR1  RR 2  R1 R2
  R2 

R

R
1
 

dove
 RR1 R2 ( R  R2 ) 



C1
 C2

 RR 2 R1 ( R  R1 ) 
i (0  )



v 2' 0    2


2 
C2
C2
C 2 ( RR1  RR 2  R1 R2 )  C1

v1' 0   
i1 (0)


C1
C1 ( RR1  RR 2  R1 R2 ) 2
12
Se le tre resistenze hanno ugual valore R e le due capacità ugual valore C, si ha
  R 2 2R 2 

1
1
 , con carica e scarica “simultanea” dei due


i 0    i 0   

;  
;  
; k  0; k  
1
2
9R 4  C
C 
9 R 2C
1
RC
2
3RC
1
2
9 R 2C 2
condensatori, che (solo) in questo caso risultano sottoposti sempre alla stessa tensione e quindi possono considerarsi in
parallelo. Per il calcolo della costante di tempo τ2 basterebbe quindi considerare la capacità del “parallelo” pari a 2C e la
resistenza vista dal detto parallelo, pari a 3R/2. Ritroviamo quindi   (2C )( 3 R)  3RC   1 . L’altra costante di tempo
2
2
2
comparirebbe esplicitamente se (k1≠0) se i due condensatori, nelle stesse condizioni, non sono inizialmente caricati a
tensioni di valore uguale.
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Esempio b)
R
R1
R2
iL
e=Φδ(t)
V1
C1
vL
L
i1
La corrente nell’induttore è limitata, quindi quel ramo può considerarsi “aperto”. Il
condensatore si carica al valore
v1 (0) 
1
C1
0
 i1dt 
0
1
C1
0
 (t )
1

dt 
C1 R1  R2
1  R2
R
0
Tuttavia anche la tensione sull’”aperto” è impulsiva, a causa della corrente impulsiva
su R1; quindi l’induttore si carica al valore
i L (0) 
0
0
0
1
1
1 R1 (t )
1 R1
v
dt

R
i
dt

dt 
L
11



L 0
L 0
L 0 R1  R2
L R1  R2