Analisi per le applicazioni all’ingegneria
Programma d’esame
Docente del corso, prof. Andrea Laforgia
Cenni di logica matematica, uso dei quantificatori esistenziale e universale;
I numeri reali come campo ordinato e completo, senza dimostrazioni;
Il metodo di induzione e applicazioni;
Il concetto di funzione, le funzioni reali di variabile reale;
Proprietà principali dei polinomi e delle loro radici;
Limite di una funzione. Funzioni continue;
Teorema dell’unicità del limite con dimostrazione;
Algebra dei limiti, senza dimostrazioni;
Teorema del confronto, con dimostrazione;
senx
lim
1 con dimostrazione;
x 0
x
Continuità delle funzioni composte, senza dimostrazione;
Limiti infiniti e all’infinito;
Asintoti, classificazione delle discontinuità;
Teorema della permanenza del segno, con dimostrazione;
Teorema di Bolzano Cauchy, senza dimostrazione;
Teorema dei valori intermedi, con dimostrazione;
Teorema della limitatezza delle funzioni continue, senza dimostrazione;
Teorema di Weierstrass, con dimostrazione;
La derivata di una funzione e algebra delle derivate;
Derivata di funzioni elementari;
Continuità delle funzioni derivabili, con dimostrazione;
Derivata della funzione composta con dimostrazione;
Coefficiente angolare;
Derivata delle funzioni inverse;
Il differenziale e il simbolo “o piccolo”;
Teorema di Fermat, con dimostrazione;
Teorema di Rolle, con dimostrazione;
Teorema di Lagrange, con dimostrazione;
Corollari del Teorema di Lagrange con dimostrazioni;
Proprietà geometriche delle funzioni e studio delle funzioni.
Teorema di l’Hopital, senza dimostrazione;
Definizione rigorosa dell’ integrale di Riemann;
Esempi espliciti di calcolo di somme integrali;
Esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann ;
Teorema della media con dimostrazione;
Teoremi fondamentali del calcolo integrale, con dimostrazioni;
Funzione logaritmo come funzione integrale;
Funzione esponenziale e funzioni iperboliche;
Polinomi di Taylor;
Resto secondo Lagrange (dimostrazione solo per il primo ordine),
applicazioni ;
Irrazionalità di e, con dimostrazione;
Resto con l’”o piccolo” e calcolo dei limiti;
Successioni e serie numeriche;
Proprietà delle successioni senza dimostrazione;
Proprietà delle serie e criteri di convergenza, senza dimostrazione;
Criterio integrale di Cauchy, con dimostrazione;
Serie assolutamente e semplicemente convergenti;
Applicazioni;
Numeri compressi: notazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale.
Formula di de Moivre, con dimostrazione.
Radici ennesime di un numero complesso.
P.S. Gli esempi
devono essere discussi dettagliatamente.
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