Le geometrie non euclidee

Geometrie non-Euclidee
Gli aspetti essenziali che caratterizzano la geometria, scienza antica quanto l’uomo, sono due: i
contenuti e il metodo con cui essa si è andata costruendo nei secoli.
Presso gli antichi popoli (Assiri, Babilonesi, Egizi) la geometria nacque col preciso scopo di aiutare
l’uomo a risolvere problemi della vita pratica, connessi con l’agrimensura e con la costruzione
d’edifici e monumenti ed era vista, semplicemente, come applicazione dell’aritmetica e
dell’algebra. Più tardi, presso i Greci, popolo civilissimo, si qualificò come attività intellettuale e
come metodo per conquistare nuove conoscenze.
Per organizzare logicamente una disciplina, bisogna innanzi tutto precisare di quali enti si occupa.
Definire un ente significa porlo in relazione con altri enti, che, a loro volta, dovranno essere definiti,
cioè collegati con altri enti ancora. Occorre, quindi, disporre di punti di riferimento: i concetti
primitivi di cui non viene data alcuna definizione in quanto sono ritenuti non riconducibili a nozioni
più semplici. Si deve, inoltre, disporre di proprietà che siano accettate vere e che costituiscano il
punto di partenza per ogni successiva dimostrazione: i postulati o assiomi (dal greco “degno di
fiducia”).
Il termine “impostazione assiomatica” indica che, nella costruzione di una teoria, gli enti
fondamentali (concetti primitivi) e le premesse fondamentali (gli assiomi) sono stabiliti all’inizio e
che tutto l’ulteriore della teoria stessa viene derivato logicamente da essi mediante definizioni e
dimostrazioni.
L’impostazione ipotetico-deduttiva euclidea ha rappresentato nel corso dei secoli, per molti
pensatori, un modello di riferimento. In essa si parte da un insieme di postulati, considerati come
ipotesi, per dedurre teoremi.
L’importanza d’Euclide, collocabile intorno al 300 a.C., consiste non tanto nei risultati, quanto
nell’impianto complessivo e nel fatto che tali risultati siano dedotti dai pochi elementi di partenza.
Nel 1° libro degli “Elementi”, Euclide enuncia 23 definizioni o “chiarimenti”:
a. Punto è ciò che è privo di parte o di grandezza
b. Linea è una lunghezza senza larghezza
c. Superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza
d. Retta è quella linea che giace egualmente rispetto ai suoi punti
e. Piano è quella superficie che giace ugualmente rispetto alle sue rette
f. Angolo indica l’inclinazione mutua di due linee e in particolare, di due rette che
s’incontrano. (esclude l’angolo giro e il piatto)
g. Parallele sono i segmenti di un piano che prolungati da tutte e due le parti, in nessuna di
esse s’incontrano.
e introduce le “nozioni comuni”, ovvero gli assiomi (verità ammesse da tutti a fondamento di un
qualunque ragionamento logico), e i postulati (proposizioni che si devono ammettere per svolgere
una certa teoria con un procedimento deduttivo che non dia luogo a critiche e ad obiezioni).
1. Da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto
2. Ogni retta “terminata” si può prolungare continuamente per diritto
3. Con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio
4. Tutti gli angoli retti sono uguali
5. Se una retta terminata, incontrando due altre, forma con esse, da una medesima parte,
angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette, prolungate
indefinitamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore di
due retti. (Se due rette non si intersecano, allora la somma degli angoli coniugati interni
che essi formano con una trasversale è un angolo piatto)
I postulati d’Euclide sono costruttivi, ma in senso ideale. Ad esempio, il primo postulato afferma
una “verità evidente” e costruttiva, ma è ideale perché occorre disporre di una riga di lunghezza
infinita.
Euclide nei suoi ‘Elementi’ partì da 4 assiomi e dimostrò 28 proposizioni tra cui:
 In un triangolo la somma delle misure degli angoli interni è minore o uguale a 180°
 L’angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti
e introducendo un V postulato modificò i due teoremi:
 In un triangolo la somma delle misure degli angoli interni è uguale a 180°
 L’angolo esterno di un triangolo ha ampiezza uguale alla somma delle misure dei due angoli
interni non adiacenti.
Il modo di concepire la geometria di Euclide è quello del filosofo greco Platone (427-347 a.C.).
Per Platone la matematica ha un’esistenza obiettiva in un mondo chiamato “mondo delle idee”.
L’anima, che è stata in quel mondo, prima di entrare nel corpo quaggiù, ritrova con la memoria,
ossia scopre, sia gli enti fondamentali sia i rapporti intercorrenti tra tali enti. Per Euclide, quindi, il
punto, la retta, il piano sono astrazioni, enti ideali, ma perfettamente definiti nel pensiero, in quanto
immagini di una realtà fisica, e ogni assioma, inoltre, è una verità evidente, che riflette in sé una
ben determinata proprietà del reale; ne consegue che la geometria è un’idealizzazione della realtà.
Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli Elementi di Euclide fin dal
momento in cui vennero scritti, esse non erano molto note, o i difetti venivano considerati di scarsa
importanza essendo considerati un modello di rigore.
Nel corso dei secoli i matematici divennero consapevoli delle deficienze della struttura di Euclide,
perché per portare a termine le dimostrazioni dovevano essere particolarmente critici nei confronti
di ciò che stavano accettando e li obbligò a dedicarsi alla costruzione dei fondamenti della
geometria euclidea e delle altre geometrie.
Solo nel XIX secolo divenne chiaro il significato che in matematica deve attribuirsi alla parola
“vero”, e cioè che il vero di una proposizione matematica non ha mai un valore assoluto, non ha
niente a che fare con una verità intuitiva o suggerita dall’esperienza, ma solo un valore relativo ad
un determinato sistema di postulati. In altre parole la stessa proposizione può risultare vera
rispetto ad un dato sistema di postulati e falsa rispetto ad un altro.
Il matematico H. Poincarè (1854-1914) si occupò di precisare la natura degli assiomi: “sono essi
giudizi a priori come vuole Kant? In tal caso ci si imporrebbero con tale forza che sarebbe
impossibile concepire il contrario e quindi potremmo costruirvi sopra un edificio teorico; non ci
sarebbero in tal caso geometrie non euclidee. Gli assiomi della geometria sono dunque verità
sperimentali?… ma se la geometria fosse una scienza sperimentale, non potrebbe essere una
scienza esatta e sarebbe soggetta a continue revisioni… Gli assiomi della geometria non sono
dunque né giudizi sintetici a priori né fatti di esperienza. Sono delle convenzioni; la nostra scelta,
fra tutte le convenzioni possibili, è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera e non trova dei limiti
che nella necessità di evitare le contraddizioni… Una geometria non può essere più vera di
un’altra; può essere soltanto più comoda.”
David Hilbert nei “Fondamenti della geometria” (1899) diede una diversa impostazione ipoteticodeduttiva in cui gli assiomi definiscono implicitamente gli “oggetti” di una teoria. Nella geometria di
Hilbert sono definite le relazioni “appartenere”, “stare tra”, svincolate dall’idea intuitiva che esse
evocano. Dunque l’essenza degli enti geometrici fondamentali diviene “matematicamente senza
importanza” e gli assiomi non sono “verità evidenti”, obbligatorie e che devono essere accettate,
ma sono relazioni che possono essere scelte ad arbitrio, purchè siano indipendenti e non
implichino delle contraddizioni (condizioni di coerenza e di indipendenza).
Si dice che un sistema di assiomi soddisfa la condizione di coerenza, se dagli assiomi non
si possono ricavare due affermazioni opposte.
Un sistema di assiomi è un sistema di assiomi indipendenti l’uno dall’altro, se nessuno di
essi può essere ricavato da uno o più dei rimanenti.
Un sistema di assiomi è completo se gli assiomi che lo formano sono sufficienti per
ricavare tutte le proposizioni della teoria.
Nella geometria euclidea si parla di punto, di retta e di piano, oltre che di altre figure ottenute
collegando fra loro gli enti primitivi, e si stabiliscono, partendo dai postulati, alcune loro proprietà: i
teoremi.
Per dimostrare i teoremi non è necessario sapere che cosa sono il punto, la retta e il piano; è
sufficiente che questi enti ubbidiscano alle proprietà espresse dai postulati. È possibile definire in
modo implicito gli enti geometrici primitivi: “si chiamano punti, rette, piani gli enti che
soddisfano le proprietà espresse dai postulati”.
Ne consegue che, se la scelta dei postulati è arbitraria, allora si possono fare delle scelte diverse
da quella tradizionale. Sono state così create, come frutto di puro pensiero, altre geometrie.
I passi logici seguiti da Hilbert per la costruzione, la riorganizzazione della geometria euclidea sono
i seguenti:
a) vengono introdotti tre diversi insiemi di oggetti primitivi: si chiamano punti gli oggetti del
primo insieme, rette quelli del secondo e piani quelli del terzo.
b) gli oggetti vengono definiti implicitamente mediante la formulazione di cinque gruppi di
assiomi.
c) si ricavano tutte le proprietà, relativa agli oggetti primitivi e alle figure da questi derivate,
mediante deduzioni sulla base delle proprietà ammesse o precedentemente dedotte.
Gli assiomi possono essere formulati in modo da non dover parlare di punti, di rette e di piani, e
Hilbert scherzosamente disse: “Si deve in ogni momento poter parlare di cavoli, sedie e boccali di
birra al posto di punti, di rette e di piani”.
Nella sistematizzazione hilbertiana gli assiomi della geometria del piano sono raggruppati secondo
le proprietà che trattano:
I° gruppo
1. Due punti distinti appartengono ad una e una sola retta
Assiomi
2. Ad ogni retta appartengono almeno due punti distinti
d’incidenza
3. Esistono almeno tre punti non appartenenti alla stessa retta
del piano
Stabiliscono le
proprietà delle
relazioni
d’appartenenza tra
punti e rette del piano
1. Se il punto B sta tra A e C, esso appartiene alla retta AC e sta
tra C ed A
2. Dati 2 punti A, B, sulla retta AB esiste un punto C che sta tra A
eB
II° gruppo
3. Dati tre punti su una retta, ve né al più uno che sta tra gli altri
Assiomi di
due
ordinamento
4. Se una retta interseca uno dei tre lati di un triangolo in un
del piano
punto diverso dal vertice, deve intersecare anche un altro lato
del triangolo
Stabiliscono le
proprietà della
relazione “stare tra”
nell’insieme dei punti
del piano
1. Se A e B sono 2 punti, dato un punto A' si può sempre trovare
un punto B' tale che A'B' sia congruente ad AB
2. La relazione di congruenza tra i segmenti è transitiva
3. Se AB e BC sono due segmenti su una retta e A'B' e B'C' sono
Stabiliscono le
due altri segmenti su un’altra retta, allora se AB è congruente
proprietà della
III° gruppo
a A'B' e BC a B'C' allora AC lo sarà a A'C'
relazione di
Assiomi di 4. Dato un angolo BÂC e una semiretta A'B' di origine A', si può
congruenza tra
congruenza
sempre trovare un punto C' tale che B'Â'C' è congruente a
segmenti e tra angoli
del piano
BÂC
5. Se due triangoli ABC e A'B'C' hanno congruenti 2 lati e
l’angolo compreso, hanno congruente anche un secondo
angolo
Data una qualsiasi partizione di una retta in due classi (tale che
IV° gruppo
ogni elemento della prima è minore di ogni elemento della
Assioma di
seconda) esiste un elemento separatore che appartiene all’una
continuità
oppure all’altra delle due classi.
V° gruppo
Assioma
della
parallela
Dati una retta r e un punto P che non le appartiene, esiste una ed
una sola retta che passa per P e non interseca r
Stabilisce le proprietà
d’ordinamento dei
punti di ogni retta
L’ambiente geometrico in cui valgono i primi 4 gruppi di assiomi di Hilbert si chiama geometria
assoluta. L’insieme dei teoremi, delle proprietà, delle relazioni e degli oggetti che si possono
definire e studiare con il sistema dei 5 gruppi di assiomi si chiama geometria euclidea del piano.
Tutti gli assiomi, in una sistemazione assiomatica rigorosa, dovrebbero essere dichiarati all’inizio e
arbitrariamente con la sola condizione che essi siano coerenti (o compatibili, non in contraddizione
fra loro) e indipendenti. Due assiomi non coerenti utilizzati contemporaneamente porterebbe a
concludere che ogni proposizione dedotta da essi, sarebbe simultaneamente vera e falsa contro la
base del ragionamento deduttivo, se un assioma fosse deducibile da un altro diverrebbe un
teorema.
Nella sistemazione euclidea, il V postulato ha queste caratteristiche: non è evidente (rimanda a
proprietà che si verificano all’∞), la proposizione inversa è dimostrata a partire da altri assiomi ed è
alla base di alcuni teoremi fondamentali e dunque non presenta il carattere costruttivo ed evidente
da lui stesso richiesto. Molti matematici tentarono di dimostrare il V postulato partendo dagli altri4,
senza però riuscirvi.
Tra i tentativi effettuati ebbe particolare importanza quello di Girolamo Saccheri (1667-1733) che
nella sua dimostrazione ragionò assumendo come non vero ciò che voleva “provare”, nel tentativo
di ricavare la proposizione stessa che voleva dimostrare. Formulò, di fatto, una serie di teoremi
diversi da quelli euclidei, alla ricerca di contraddizioni con altre parti della geometria.
(Procedimento diverso dalla dimostrazione per assurdo, in base alla quale, assumendo che una
proposizione non sia vera, si giunge alla negazione di una proposizione già dimostrata o assunta
vera, e con ciò si dimostra la verità della proposizione iniziale).
Il matematico Lobacevskij (1793-1856) ricostruì la geometria sulla base di numerosi principi,
assumendo come enti primitivi oggetti geometrici più vicini all’esperienza sensibile. Da tali
premesse, negò il principio d’unicità della parallela ad una retta data per un punto esterno ad essa.
Data una retta per il punto P che intersechi r nel punto Q, si può
costruire la retta allontanando il punto d’intersezione in due direzioni
e costruire la // destra e la // sinistra.
Date le ‘piccole’ distanze che siamo in grado di misurare, nessuna
effettiva misurazione potrebbe confermare o smentire l’ipotesi di
esistenza di altre rette che intersechino r condotte da P.
Nella geometria di Lobacevskij si dimostra che la somma degli angoli interni di un triangolo è
minore di un angolo piatto π-k con k difetto che dipende dalle dimensioni dei lati e per k piccolo si
ha il ‘normale’ triangolo euclideo. Di conseguenza la geometria di Lobacevskij è una
generalizzazione di quella euclidea.
In modo indipendente altri matematici arrivarono a concludere che la geometria di Euclide non
aveva quei caratteri di necessità assoluta e di verità universale che fino ad allora le si erano
attribuiti. Ciò metteva in crisi il sistema d’idee e il quadro filosofico dell’epoca, la concezione del
filosofo Kant secondo il quale essa era qualcosa di connaturato con la mente umana, ‘una
rappresentazione necessaria a priori… a fondamento dei fenomeni esterni’.
In pochi anni si giunse a capire che era possibile costruire anche altre geometrie non-euclidee
accettabili con lo stesso grado di veridicità o possibilità logica di quella euclidea.
Klein classificò le geometrie in tre classi fondamentali:
Geometria euclidea: G.
delle superfici a curvatura
nulla in cui vale l’assioma di
esistenza e unicità della
parallela; la somma degli
angoli interni di un triangolo
è uguale a un angolo piatto.
Geometria ellittica o
sferica (Riemann): G. delle
superfici a curvatura
positiva in cui non esistono
rette parallele, la somma
degli angoli interni di un
triangolo è maggiore di un
angolo piatto.
Geometria iperbolica
(Lobacevskij): G. delle
superfici a curvatura
negativa in cui per un punto
esterno ad una retta vi sono
più rette parallele, la
somma degli angoli interni
di un triangolo è minore di
un angolo piatto.
MODELLO DI RIEMANN DI GEOMETRIA ELLITTICA
La superficie sferica è un modello di geometria ellittica.
Data una superficie sferica S si chiama
1. Punto di Riemann ogni coppia di punti esterni di un diametro di S.
2. Retta di Riemann ogni circonferenza massima di S. (l’intersezione della superficie sferica con
un piano passante per il suo centro)
3. Piano di Riemann la superficie sferica S.
Si può dimostrare che questi enti (punti, rette, piano) verificano
gli assiomi della geometria euclidea escluso l’assioma delle
parallele:
“ Per un punto esterno a una retta non esiste alcuna retta
parallela alla data” oppure “In un piano, qualunque retta
passante per un punto dato incontra una retta data”.
Infatti, due qualsiasi circonferenze massime di S s’incontrano
sempre in due punti diametralmente opposti.
La negazione del postulato della parallela e l’assunzione del
nuovo postulato portano modifiche sulle proprietà dei triangoli e
delle rette perpendicolari. La somma degli angoli interni di un
triangolo non è uguale a 180° ma è maggiore (180°+k°). Il valore
positivo k, detto eccesso, è tanto più grande quanto maggiori sono le dimensioni del triangolo.
Nella figura, ad esempio, la somma degli angoli interni del triangolo ABC è uguale a 270°
La perpendicolare condotta da un punto ad una retta non è più unica: sia la retta AC e sia la retta
CB sono entrambe perpendicolari alla retta AB.
MODELLO DI GEOMETRIA IPERBOLICA
Un modello di geometria iperbolica è offerto dalla superficie di due trombe disposte in modo che le
circonferenze esterne coincidano. Tale superficie viene chiamata pseudo-sfera. Su tale superficie
si chiama retta la linea di minima lunghezza che congiunge due punti (linea geodetica).
Si dimostra che sulla pseudosfera, da un punto esterno a una retta si possono condurre due rette
parallele alla retta data.
MODELLO DI KLEIN DI GEOMETRIA IPERBOLICA
Sia T un cerchio privato della sua circonferenza, del suo contorno γ, si chiama:
1. Punto di Klein un qualunque punto P interno a T.
2. Retta di Klein una qualunque corda AB di T esclusi gli estremi.
3. Piano di Klein l’insieme dei punti interni a T.
E valgono i seguenti enunciati:
 Due rette di Klein si dicono incidenti se hanno in comune un punto di Klein.
 Due rette di Klein si dicono parallele se hanno in comune un punto di T.
Si può dimostrare che questi enti (punti, rette, piano) verificano gli assiomi della geometria
euclidea ad esclusione di quello delle rette parallele. Valgono infatti:
 Per due punti passa una e una sola retta
 Per un punto passano infinite rette
 In un piano esistono almeno due rette, passanti per un punto e parallele a una retta data.
(enunciato analogo: Per un punto esterno a una retta passano almeno due rette parallele alla
retta data).
Per esempio le rette distinte AC e BD passano per P e sono entrambe
parallele alla retta AB.
Non valendo l’assioma delle parallele comunque si scelgono una retta r
ed un punto P esterno ad essa, esistono infinite rette prive di punti in
comune con r: le due rette PB e PA (Parallele limite) e delle infinite
rette PD, interne ai due angoli delimitati dalle rette PA e PB e non
contenenti r (rette ultraparallele ad r). Il pittore Escher ha tratto
ispirazione da tale cerchio di Klein per uno dei suoi quadri più celebri.
Valgono i teoremi:
 Gli angoli opposti al vertice sono congruenti
 La perpendicolare condotta da un punto ad una retta è unica
 L’angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni ad esso non
adiacente
Non vale il teorema: secondo cui la somma degli angoli interni è pari ad un angolo piatto. Infatti:
 La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto (Π-k) con k detto
difetto ed è, tanto più grande, quanto maggiori sono le dimensioni del triangolo.
I modelli suddetti provano che l’assioma delle parallele è indipendente dai precedenti assiomi della
geometria euclidea.
Le geometrie non-euclidee non sono curiosità matematiche, sono costruzioni geometriche
perfettamente logiche. La geometria ellittica possiede un’interpretazione particolarmente
importante nell’ambito dello spazio fisico, al quale fornisce il quadro matematico per la teoria della
relatività generale. Einstein non avrebbe potuto formulare la sua teoria della “relatività generale” se
non avesse fatto ricorso alle geometrie non-euclidee. Secondo la teoria della relatività generale lo
spazio astronomico è uno spazio ellittico quando c’è materia, anche se non esistono ragioni che
portino a escludere un’interpretazione fondata sulla geometria iperbolica. Non saremo, però, mai in
grado di verificare che lo spazio privo di materia è uno spazio euclideo.