Molto spesso la risoluzione di problemi tratti dalla fisica, chimica, economia,
elettronica ecc.inducono a risolvere equazioni non lineari.
Le più semplici sono quelle di secondo grado o equazioni quadratiche.
Ricordiamo che il grado di una equazione ridotta in forma normale è il massimo
esponente della variabile.
a,b,c vengono chiamati coefficienti dell’equazione.
Il coefficiente a deve essere diverso da zero altrimenti l’equazione diventa
un’equazione di primo grado.
Il coefficiente c è detto termine noto
Teorema fondamentale dell’algebra
Un'equazione di grado n ammette sempre n soluzioni reali distinte, reali coincidenti o
complesse e coniugate.
Allora una equazione di secondo grado (grado 2) ammette sempre due soluzioni che
possono essere reali e distinte, reali e coincidenti, complesse (nel senso che fanno
parte dell’insieme dei numei complessi)
ax2 + bx + c = 0 questa è una equazione di secondo grado completa
Analizziamo i casi particolari
Equazione pura
E' l'equazione di secondo grado del tipo:
ax2 + c = 0 con b=0
Per risolverla usiamo le regole gia' viste per le equazioni di primo grado:
ax2 + c = 0
trasporto la c dall'altra parte dell'uguale cambiandola di segno
ax2 = -c
trovo x2
ax2 = -c
a
a
2
x = -c/a
ora siccome cerco la x mentre ho x2 per fare in modo che x2 diventi x dovro' fare la
radice ad entrambe i termini
√x2 = ±√c/a
x = ±√-c/a
le due soluzioni sono
x1 = -√-c/a
x2 = +√-c/a
ATTENZIONE!!!!!!
La radice quadrata di un numero negativo non si può fare perche' nessun numero
reale al quadrato mi da' un numero negativo). il segno meno davanti a c/asignifica
semplicemente cambiare il segno di c/a
Facciamo un esempio
3x2 - 12 = 0
trasporto il -12 dopo l'uguale
3x2 = + 12
per il secondo principio divido entrambe i membri per 3 per liberare x2
3x2 = 12
3
3
semplifico
x2 = 4
applico la radice ad entrambe i membri
√x2 = ±√4
x = ±√4
x1 = -2
x2 = +2
Ricorda le soluzioni di una equazione PURA sono sempre opposte
Equazione spuria
E' l'equazione di secondo grado del tipo:
ax2 + bx = 0 con c=0
si ottiene dall'equazione completa ax2 + bx + c = 0 quando manca il termine noto c
Per risolverla trattiamola come un polinomio e scomponiamola:
raccogliamo a fattor comune la x prima dell'uguale
x ( ax + b) = 0
il principio di annullamento del prodotto dice che
un prodotto e' zero se e solo se uno dei suoi fattori e' zero
siccome devo trovare i valori per cui il prodotto e' zero, per il principio di
annullamento del prodotto dovro' porre ogni fattore uguale a zero
quindi
x ( ax + b) = 0
x=0
ax + b = 0
ax = -b
x = -b/a
le soluzioni sono:
x1 = 0
x2 = -b/a
Nelle equazioni spurie una soluzione è sempre zero
Facciamo un esempio
3x2 - 12x = 0
raccolgo la x
x( 3x - 12) = 0
applico la legge dell'annullamento del prodotto
x=0
3x - 12 = 0
3x = + 12
x = 12/3 = 4
le soluzioni sono:
x1 = 0
x2 = 4
