Equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado
La forma tipica di una equazione di secondo grado ridotta a forma norma le è:
ax2 +bx + c = 0
con a  0 , a,b,c sono i coefficienti ( cioè numeri reali)
Una equazione di secondo grado si dice completa se tutti e tre i coefficienti sono diversi
dallo zero. Esempio: 3x2 –5x +4 = 0
Altrimenti si verificano tre casi:
Equazioni incomplete
Casi
Forma generale
Esempi
b=0
ax2 + c = 0 (pura)
x2 – 9= 0
x 9
x
c
a
x  3
x2 + 4 = 0
l’equazione è risolvibile se il
x2 = - 4 impossibile
radicando è positivo.
questa equazione NON ha
soluzioni reali perché non
esiste un numero reale che
elevato al quadrato dia - 4.
c=0
ax2 +bx = 0 (spuria)
x2 +6x = 0
x(ax+b)=0
x(x+6)=0
per la legge di annullamento
x= 0,
del prodotto :
x=0
e
ax + b=0 cioè x  
b=0 e c =0
(x+6)=0 , x= - 6
b
a
ax2= 0 (monomia)
3x2=0
x=0
x=0
unica soluzione
Formula risolutiva per l’equazione completa: ax2 +bx +c = 0
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
Ex: 2x2 +5x –3 = 0
a =2 b = 5 c = - 3
x1, 2 
 5  25  4(2)  (3) 
4
x1, 2 
 5  25  24
4
x1, 2 
 5  49
4
x1, 2 
x1 
 5  7  12

 3
4
4
x2 
57 2 1
 
4
4 2
57
=
4
La quantità sotto al segno di radice quadrata = b2 – 4ac è detta discriminante (delta) e si
hanno i seguenti casi:
se >0 allora l’equazione ha due soluzioni reali distinte
se = 0 allora l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti uguali a x 
b
2a
se <0 allora l’equazione è impossibile
Per l’equazione completa è possibile utilizzare una formula RIDOTTA quando b è pari.
2
x1, 2
b
b
     ac
2
2

a
Esempio:
3x2 –4x+1=0
x1, 2 
2  4  3 1
3
a =3 b= - 4
x1, 2 
c= 1
2 43
3
x1 
x1, 2 
2 1
3
x1, 2 
2 1
1
3
2 1

3
x2 
2 1 1

3
3