CLASSE IV D - a.s. 2014/2015 - Programma di matematica - Prof. Maurizio Berni
0. Richiami sui programmi degli anni precedenti
Risoluzione algebrica e grafica di sistemi lineari.
Richiami di geometria analitica: la retta nel piano cartesiano; equazione in forma
implicita ed esplicita; condizioni di parallelismo e di perpendicolarità; retta per
due punti. Coordinate del punto medio di un segmento.
La circonferenza nel piano cartesiano; intersezione tra retta e circonferenza
La parabola come luogo di punti; equazione a partire dalle coordinate del fuoco e
dall'equazione della direttrice.
Problema inverso: dall'equazione della parabola alle coordinate del fuoco e all'equazione
della direttrice.
Intersezioni tra retta e parabola: risoluzione algebrica e grafica.
1. Disequazioni e funzioni polinomiali
Disequazioni di primo e secondo grado e loro interpretazione geometrica.
Funzioni polinomiali.
Zeri, limiti e segno di funzioni polinomiali.
Zeri semplici e doppi; punti di tangenza.
Disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo.
Divisione di polinomi e loro utilizzo nella scomposizione di polinomi in fattori.
Disequazioni frazionarie.
2. Studio qualitativo di funzioni razionali
2.1 Caso 1: il grado del numeratore è inferiore di quello del denominatore
Zeri e poli, asintoti verticali.
Limiti per x tendente all'infinito: l'asse x come asintoto orizzontale.
Studio del segno.
Grafico qualitativo.
2.2 Caso 2: il grado del numeratore è uguale quello del denominatore
Zeri e poli, asintoti verticali.
Limiti per x tendente all'infinito; l'asintoto orizzontale è parallelo e distinto dall'asse x.
Intersezioni con l'asintoto orizzontale.
Studio del segno.
Grafico qualitativo.
2.3 Caso 3: il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore
Zeri e poli, asintoti verticali.
Funzione polinomiale asintotica.
Caso particolare: il grado del numeratore supera di 1 quello del denominatore: esistenza
dell'asintoto obliquo.
Equazione dell'asintoto obliquo e ascisse delle intersezioni tra grafico e asintoto obliquo
mediante la divisione di polinomi.
Studio del segno.
Grafico qualitativo.
3. Il calcolo differenziale
Rapporto incrementale e sua interpretazione geometria; calcolo esplicito nei casi semplici
(funzioni polinomiali di primo, secondo e terzo grado).
La derivata come limite del rapporti incrementale; ricerca di punti stazionari di una funzione
polinomiale.
Difficoltà nel ricavare la derivata di funzioni razionali; approccio alternativo: i differenziali.
Variazione finita e infinitesima di una grandezza; regole della variazione infinitesima della
costante, della somma e del prodotto.
La derivata come rapporto di differenziali; formula per la derivazione di funzioni razionali
(con dimostrazione, utilizzando i differenziali). Derivazione di funzioni irrazionali coi
differenziali.
Derivata di funzioni razionali; studio completo del grafico di funzioni razionali.
Pisa, 8 giugno 2015
L'Insegnante
Gli Allievi
