Bozza di scheda di ripasso del calcolo dei limiti delle funzioni razionali
1) Scrivi i teoremi del calcolo dei limiti
2) Scrivi le forme indeterminate
Limiti di funzioni razionali intere (polinomiali)
Se x tende a un numero finito il limite è il valore che la funzione assume in quel punto
Fai un esempio.
Se k tende a +∞ o a -∞ allora ci si può trovare di fronte ad una forma indeterminata +∞-∞ oppure
no (fai un esempio per entrambi i casi)
La forma indeterminata si scioglie mettendo in evidenza la potenza di x elevato al grado più alto
(esempio): il limite è sempre infinito e il suo segno è determinato solo dal monomio di grado più
alto (dimostralo)
Limiti di funzioni razionali fratte (frazioni algebriche)
Se x tende a un numero finito, o il valore del limite è il valore che la funzione assume in quel punto,
o ci si trova di fronte alla forma indeterminata 0/0, o il numeratore tende a un valore finito e il
denominatore tende a zero (fai un esempio per ogni caso).
La forma indeterminata 0/0 si scioglie scomponendo numeratore e denominatore e semplificando.
In questo caso il limite può essere un numero finito diverso da zero, zero, o infinito (fai un esempio
per ciascun caso)
Se il numeratore tende a un valore finito e il denominatore tende a zero il limite è infinito e il suo
segno dipende dal segno del numero a cui tende il numeratore e dal fatto che il denominatore tende
a zero per valori positivi o negativi: generalmente il segno varia a seconda se cerco il limite destro o
il limite sinistro. (fai un esempio in cui il limite è +∞, uno in cui il limite è -∞, uno in cui il limite
sinistro è +∞ e quello destro -∞ e viceversa.
Se x tende a +∞ o a -∞ ci si trova di fronte alla forma indeterminata ∞/∞. Per scioglierla si mette in
evidenza sia al numeratore che al denominatore la potenza della x elevata al grado più alto
rispettivamente del numeratore e del denominatore.
Se il numeratore è di grado maggiore del denominatore allora il limite viene ∞ e il suo segno
dipende dal rapporto dei termini di grado maggiore del numeratore e del denominatore (fai quattro
esempi che mostrino situazioni diverse per quanto riguarda il segno).
Se, invece, è il denominatore che ha grado maggiore, il limite viene 0. (fai due esempi)
Se, infine, numeratore e denominatore sono due polinomi dello stesso grado, il limite è il rapporto
tra i coefficiente dei due termini di grado maggiore del numeratore e del denominatore. (fai due
esempi)
Asintoti verticale
Le funzioni polinomiali non hanno asintoti verticali.
Le funzioni razionali fratte potrebbero avere degli asintoti verticali per quei valori esclusi dal
dominio. Per verificarlo occorre fare il limite per x che tende al valore escluso dal dominio: se il
limite è finito non c’è asintoto, se il limite è infinito c’è asintoto
Fai un esempio di una funzione che abbia come asintoto verticale x=1 e una che non abbia asintoto
verticale x=1 anche se 1 è escluso dal dominio.
Asintoti orizzontali
Per determinare se una funzione ha un asintoto orizzontale, occorre fare il limite per x che tende a
+∞ e a -∞: se tale limite è infinito non ammette asintoto orizzontale, se è un numero finito allora ha
un asintoto orizzontale. Fai un esempio di una funziona che non ha asintoti orizzontali, di una che
ha un asintoto orizzontale e di una che ha un asintoto orizzontale a destra e uno diverso a sinistra.
