le funzioni - Comune di Bologna

LE FUNZIONI
Es. 1 Disegna nello stesso piano cartesiano i grafici relativi alle equazioni :
(a) y  x  3
(b) y  2 x  3
O
1
(c) y  
1
x
2
(a)
x y
1
2
0
-1
....
....
x
(d) y 
(b)
x y
1
x
2
(c)
x y
(d)
x y
LA FUNZIONE LINEARE
Data un’equazione di 1° grado in due incognite (Es. 2x +3y +1 =0)
se ricavo la y ottengo y = - 2 x – 1
3
3
che può essere considerata l’equazione di una FUNZIONE (se do a x dei valori ottengo i corrispondenti y).
1) ax + by + c = 0 equazione di 1° grado (lineare) in 2 incognite. Può essere vista come FUNZIONE LINEARE
se ricavi la y (purchè b non sia 0)
y=-ax–c
b
b
2) y = mx + q dove m = - a
q=-c
m si chiama COEFFICIENTE ANGOLARE
b
b
q si chiama ORDINATA ALL’ORIGINE
la 1) è la FORMA IMPLICITA (tutti i termini al 1° membro, al 2° membro 0)
la 2) è la FORMA ESPLICITA (ricavata la y, tutto il resto al 2° membro)
Es. 2 Dopo averle messe in forma ESPLICITA, rappresenta graficamente le funzioni lineari:
b) x – 2y – 4 = 0
a) 2x + y + 3 = 0
c) 3y – 6 = 0
a)
b)
c)
d)
y  .......
 2 y  .......
 y  .......
3 y  ......  y  .......
x  ...
x
O
1
d) x = - 4
(a)
y
(b)
x y
(c)
x y
(d)
x y
x
1
-1 2
-4
2
1 2
-4
0
3 2
-4
-1
... 2
-4
....
... 2
-4
....
Nei casi C) e D) le equazioni non sono complete (nella c manca la y e nella d manca la x). Puoi trovare lo stesso
comunque delle coppie che soddisfano le equazioni. Ti aiuto: utilizza i valori che trovi nella tabella
(c) (1;2) (2;2) (3;2)
(4;2) ……… (la x è ininfluente, la y deve essere 2)
(d) (-4;1) (-4;2) (-4;3) (-4;4) ……… (la y è ininfluente, la x deve essere -4)
Queste due dovrebbero risultarti due rette parallele agli assi) SE MANCA IL TERMINE IN x E’ PARALLELA ALL’ASSE x
SE MANCA IL TERMINE IN y E’ PARALLELA ALL’ASSE y
1
2
3
...
...
Es. 3
Sul quaderno a quadretti disegna i seguenti punti :
 A(1;1)
 Spostati di 2 quadretti verso destra e di 3 verso l’alto
 Partendo da B fai gli stessi spostamenti
 partendo da C fai gli stessi spostamenti
 partendo da D fai gli stessi spostamenti
Congiungi tutti i punti.
Hai ottenuto una RETTA ?
 Ripeti lo stesso esercizio partendo, invece che da A, dal punto H
Come risultano le rette? …………………………………..
CHIAMIAMO
x lo spostamento in ORIZZONTALE
CHIAMIAMO  y lo spostamento in
B(….;…..)
C(…..;.....)
D(….;….)
E(….;.....)
(0;3)
+ se verso DESTRA
+
se verso SINISTRA
se verso L’ALTO
-
se verso il BASSO
VERTICALE
y
e risulta essere uguale al COEFFICIENTE ANGOLARE
x
y y B  y A
PENDENZA 

m
x x B  x A
In una retta, si chiama PENDENZA il rapporto
PENDENZA o COEFFICIENTE ANGOLARE della retta è il rapporto costante
cioè
m
spostamento verticale
spostamento orizzontale
yB  y A
di due qualsiasi punti A e B della retta
xB  x A
Due rette PARALLELE hanno la stessa pendenza e quindi lo stesso
coefficiente angolare

Disegna una retta perpendicolare alle rette disegnate prima. Sai determinare dal grafico la sua PENDENZA?
Cosa osservi?
Due rette PERPENDICOLARI hanno le PENDENZE che sono una l’opposto e inverso dell’altra. Cioè hanno
prodotto = - 1.
Es. 4 Trova la PENDENZA
y
3
O
1
x
y  …….
Scegli come punto iniziale
un punto qualsiasi e trova
gli spostamenti necessari
per giungere ad altri punti
x  ……..
m
y
y  1 (verso il basso)
3
O
-1
y
 …….
x
x
x  3
y  ….
1
m  ……
O
x
x  ….
m  ….
-3
In questi ultimi due casi la PENDENZA è NEGATIVA perché è il rapporto tra due numeri discordi (  y è negativa
(verso il basso) e
x positiva (verso destra))
Retta (a)
(a)
A
B
D
da A a B lo spostamento Verticale è = 0
Lo spostamento Orizzontale è = 1
m
O
1
C
y 0
 0
x 1
m  ……..
x
Retta (b)
m
(b)
da C a D lo spostamento Verticale è = 1
Lo spostamento Orizzontale è = 0
y 1
 non esiste
x 0
m non c’è
RIASSUMENDO
RETTA
m
COEFFICIENTE ANGOLARE
Ascendente
POSITIVO
Discendente
NEGATIVO
y  mx  q
Eq retta
0
Orizzontale
Verticale
m e
eq. retta verticale
(vedi Es. 1)
Nell’equazione della FUNZIONE LINEARE
sono numeri
y  0 x  q (manca termine x)
eq. retta orizzontale
NON ESISTE
q
xk
(manca termine y)
y  mx  q abbiamo visto che m rappresenta la
PENDENZA
e si chiama COEFFICIENTE ANGOLARE
Cosa rappresenta
q ? che si chiama
Es. 5
Rappresenta le rette di equazione:
ORDINATA ALL’ORIGINE
a) y  2 x
b) y  2 x  3
c) y  2 x  2
(a)
x y
-2
-1
0
1
O
1
d) y  2 x  4
(b)
x y
-2
-1
0
1
(c)
x y
-1
0
1
2
(d)
x y
0
1
2
3
x
Se osservi i grafici delle rette, ognuna di esse
interseca l’asse y proprio nel punto q
q
è quindi l’ordinata del punto in cui la retta incrocia l’asse y
y
y
q
O
Se q= 0 la retta
passa per l’Origine
x
O
x
Es. 6 Sul quaderno
Rappresenta le rette che passano per l’Origine e la cui pendenza è individuata dagli spostamenti indicati:
m
y  1
y  .....x
(a)
equazione di (a)
x  1
(b)
x  4
y  5
equazione di (b)
y =...........
(c)
x  3
y  4
equazione di (c)
…………..
Es. 7 Sul quaderno
Rappresenta le rette che hanno coefficiente angolare
m e incrociano l’asse y nel punto P indicato:
P(0;2)
equazione
…………………………..
m = 4 incrocia asse y nel punto P(0;-1)
3
(f) m = 2 incrocia asse y nel punto P(0;3)
equazione
…………………………..
equazione
…………………………..
(d)
m = -3
incrocia asse y nel punto
(e)
LE FUNZIONI
Rappresenta graficamente le equazioni:
a) 2x + y = 0
b) y = 1
c) y = -x + 1
x
Es. 8
d) y – x = 3
e) y = x²
Una equazione in due incognite ha infinite soluzioni che sono rappresentabili sul piano cartesiano dai punti di una
curva (detta DIAGRAMMA o GRAFICO) : una retta, una parabola, una iperbole….
Se l’equazione è di 1° grado il diagramma è una RETTA
DIAGRAMMA o GRAFICO : insieme dei punti del piano le cui coordinate soddisfano l’equazione, cioè la rendono
VERA
Nei casi
b) c) e) è stato facile trovare le coppie (x;y) perché bastava dare un valore a x per trovare subito y
FUNZIONE
tra due insiemi di valori
x
y
è la corrispondenza che lega due VARIABILI (x;y) in modo tale che dato un valore alla prima (x =
variabile indipendente ) ESISTE UNO e UN SOLO valore della seconda ( y = variabile dipendente).
DOMINIO della funzione : è l’insieme dei valori che si possono dare a x perché esista y
Es: nella corrispondenza y = 1 non possiamo dare a x valore 0 perché 1 non esiste. Quindi il DOMINIO contiene tutti i
numeri tranne 0
x
0
CODOMINIO della funzione : è l’insieme dei valori che assume la y al variare di x (cioè tutti i risultati che otteniamo
dando a x dei valori)