Laurea Triennale in Scienze Naturali
Corso di Matematica e Statistica Applicate – a.a. 2007/08
Docenti: Monica Lazzo, Paolo Facchi
Cenni di linguaggio insiemistico
Insiemi, operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano). Funzioni e relative proprietà
(ingettività, surgettività, bigettività); funzione composta; funzione inversa.
Insiemi numerici
Operazioni e relazione d’ordine nell’insieme Q dei numeri razionali. Rappresentazione geometrica dei numeri razionali.
Esistenza di numeri non razionali. L’insieme R dei numeri reali e sua corrispondenza con la retta orientata. Intervalli,
aperti e chiusi, limitati e illimitati. Piano cartesiano.
Dati numerici
Rappresentazione decimale dei numeri reali. Approssimazione con un prefissato numero di cifre; fattorizzazione con
potenze di 10. Errore (assoluto e relativo) e sua trasmissione nelle operazioni. Calcolatrici e sistemi di calcolo
simbolico; problematiche inerenti ai dati provenienti da misurazioni (cenni).
Funzioni reali di variabile reale
Generalità; grafico. Test delle rette verticali. Test delle rette orizzontali. Algebra delle funzioni. Trasformazioni sui
grafici. Proprietà qualitative: simmetrie, monotonia, punti di estremo locale e globale, limitatezza, convessità. Funzione
costante, identica, reciproca, valore assoluto, parte intera, mantissa. Funzioni potenza ad esponente intero, radici.
Potenze ad esponente razionale e reale. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Principali basi dei logaritmi. Funzioni
circolari con le rispettive inverse.
Limiti di funzioni
Intorni di un punto nella retta ampliata. Punti di accumulazione. Definizione di limite. Casi particolari: funzioni
convergenti e funzioni divergenti, in un punto e all’infinito. Continuità in un punto, discontinuità eliminabili e a salto.
Asintoti verticali, asintoti orizzontali. Classificazione dell’andamento all'infinito; asintoti obliqui. Limiti delle funzioni
elementari. Algebra dei limiti; forme di indecisione. Cambiamento di variabile nei limiti. Funzioni continue su un
intervallo. Teoremi di Weierstrass e di Bolzano.
Calcolo differenziale
Rapporto incrementale medio e in un punto. Definizione di derivata ed esempi. Retta tangente; significato geometrico
della derivata. Punti singolari (flessi verticali, punti angolosi e cuspidali). Derivabilità e continuità. Derivate delle
funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti di estremo locale e teorema di Fermat. Funzioni derivabili su un
intervallo. Teorema di Lagrange e sue conseguenze: caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo e criterio
di monotonia. Test della derivata prima. Derivata seconda e derivate successive. Criterio di convessità. Studio del
grafico di una funzione. Risoluzione qualitativa di equazioni. Teorema di De l'Hôpital; calcolo di alcuni limiti notevoli.
Calcolo integrale
Somme inferiori e somme superiori. Integrale definito. Interpretazione geometrica: calcolo di aree. Formula
fondamentale del calcolo integrale. Primitive ed integrale indefinito. Integrale indefinito delle funzioni elementari.
Integrazione per scomposizione e per sostituzione (casi immediati). Integrazione per parti. Integrazione delle funzioni
razionali. Integrali impropri.
Elementi di probabilità
Spazio campione. Eventi. Eventi elementari. Assiomi della probabilità. Spazi di esiti equiprobabili. Eventi indipendenti.
Variabili aleatorie discrete e continue. Densità di probabilità. Funzione di ripartizione. Valore atteso e varianza.
Variabili aleatorie di Bernoulli, binomiali, uniformi, normali, chi-quadro, di Student.
Elementi di statistica
Variabili categoriche e quantitative. Rappresentazioni grafiche. Media, mediana, moda. Varianza, deviazione standard.
Percentili, quantili. Insiemi di dati bivariati. Diagramma a dispersione. Correlazione lineare. Regressione lineare. Retta
di regressione dei minimi quadrati. Tabelle di contingenza. Distribuzioni marginali. Distribuzioni condizionate.
Inferenza statistica. Campione aleatorio. Stima puntuale dei parametri. Intervalli di confidenza per il parametro di una
popolazione bernoulliana e per la media di una popolazione normale. Test delle ipotesi. Significatività. Verifica di
ipotesi su una popolazione bernoulliana e sulla media di una popolazione normale. Test di indipendenza del chi-quadro.
Testi consigliati
V. Villani, Matematica per discipline bio-mediche, McGraw-Hill
G. Naldi, L. Pareschi e G. Aletti, Matematica I, McGraw-Hill
S. Invernizzi, Matematica nelle scienze naturali, Edizioni Goliardiche
J.R. Taylor, Introduzione all’analisi degli errori, Zanichelli
D. S. Moore, Statistica di base, Apogeo
S. M. Ross, Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze, Apogeo
