programma dettagliato - Dipartimento di Matematica

C.d.L. in Scienze Naturali
Matematica e Statistica Applicate
Docenti L. Pisani, M. Lazzo
programma dettagliato – A.A. 2006/07
Cenni di linguaggio insiemistico
Insiemi, operazioni tra insiemi. Funzioni e relative proprietà (iniettività, suriettività);
funzione composta; funzione inversa.
Insiemi numerici
Assiomi di campo ordinato e numeri reali. Numeri interi e razionali in rapporto ad R.
Corrispondenza di R con la retta orientata; intervalli, aperti e chiusi, limitati e illimitati.
Piano cartesiano.
Dati numerici
Rappresentazione decimale dei numeri reali. Approssimazione con un prefissato numero di
cifre; fattorizzazione con potenze di 10. Errore (assoluto e relativo) e sua trasmissione
nelle operazioni. Calcolatrici e sistemi di calcolo simbolico. Problematiche inerenti ai dati
provenienti da misurazioni.
Funzioni reali di variabile reale
Generalità; grafico. Proprietà qualitative: simmetrie, monotonia, punti di estremo,
limitatezza, convessità. Algebra delle funzioni; composizione. Operazioni sui grafici.
Funzioni potenza ad esponente intero, radici, equazioni e disequazioni binomie. Potenze ad
esponente razionale e reale. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Principali basi dei
logaritmi. Funzioni circolari con le rispettive inverse.
Limiti di funzioni
Punti di accumulazione. Definizioni di limite. Casi notevoli: continuità in un punto,
discontinuità di salto, asintoti verticali, asintoti orizzontali. Limiti delle funzioni elementari.
Algebra dei limiti; forme indeterminate; alcuni limiti notevoli. Classificazione della crescita
all'infinito; asintoti obliqui.
Funzioni continue su un intervallo. Teoremi di Weierstrass e di Bolzano.
Calcolo differenziale
Rapporto incrementale medio ed in un punto. Definizione di derivata ed esempi. Punti
singolari (flessi verticali, punti angolosi e cuspidali). Trasmissione dell’errore in una
funzione. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Monotonia in un punto
Punti di estremo relativo e Teorema di Fermat (con controesempi).
Funzioni derivabili su un intervallo. Teorema di Lagrange. Caratterizzazione delle funzioni
delle funzioni monotone su un intervallo. Applicazioni: ricerca dei punti di estremo,
risoluzione qualitativa di equazioni. Teorema di De l'Hôpital.
Derivata seconda e sua interpretazione geometrica. Caratterizzazione delle funzioni
convesse. Cenni sull’approssimazione locale con polinomi.
Studio del grafico di una funzione.
Calcolo integrale
Primitive ed integrale indefinito. Integrale delle funzioni elementari. Integrazione per
scomposizione e per sostituzione (casi immediati). Integrazione delle funzioni razionali
(radici semplici).
Integrabilità secondo Riemann. Integrale definito e Formula fondamentale del Calcolo
Integrale. Cenni sull'integrale improprio.
Elementi di statistica
Variabili categoriche e quantitative. Rappresentazioni grafiche. Media, mediana, moda.
Varianza, deviazione standard. Percentili, quartili. Insiemi di dati bivariati. Diagramma a
dispersione. Correlazione lineare. Regressione lineare. Retta di regressione dei minimi
quadrati. Tabelle di contingenza. Distribuzioni marginali. Distribuzioni condizionate.
Inferenza statistica. Campione aleatorio. Stima puntuale dei parametri. Intervalli di
confidenza per il parametro di una popolazione bernoulliana e per la media di una
popolazione normale. Test delle ipotesi. Significatività. Verifica di ipotesi su una
popolazione bernoulliana e sulla media di una popolazione normale. Test di indipendenza
del chi-quadro.
Elementi di probabilità
Spazio campione. Eventi. Eventi elementari. Assiomi della probabilità. Spazi di esiti
equiprobabili. Cenni di calcolo combinatorio. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie discrete
e continue. Massa e densità di probabilità. Valore atteso e varianza. Teorema del limite
centrale. Variabili aleatorie di Bernoulli, binomiali, uniformi, normali, chi-quadro, di
Student.
In corsivo sono riportati gli argomenti facoltativi.
Testi consigliati
 V. Villani, Matematica per discipline bio-mediche, McGraw-Hill
 D.S. Moore, Statistica di base, Apogeo
 S. Ross, Probabilità e statistica, Apogeo
 J.R. Taylor, Introduzione all’analisi degli errori, Zanichelli
 G. Naldi, L. Pareschi e G. Aletti, Matematica I, McGraw-Hill
 Dispense a cura dei docenti