Logaritmi
Dati due numeri reali positivi a e b, con b 1, si dice logaritmo in base b di a quell’unico numero
x che assegnato come esponente alla base b dà come risultato il numero a. In simboli:
bx a
x log b a
Il numero a che compare nell’espressione log b a , è detto argomento del logaritmo.
Come si è detto, oltre che positiva, la base b dev’essere diversa da 1. Infatti se fosse b = 1 e se a 1
non esisterebbe alcun numero x tale che b x a , cioè 1x a , in quanto 1 elevato alla x darà sempre
1.
Vediamo alcuni esercizi facili facili:
Completa:
log 10 100 ...
log10 1 ...
log 3 81 ...
log 2 8 ...
log ... 16 4
log ... 36 2
log ... 1000 3
log ... 25 1
log10 ... 3
log 3 ... 2
log 2 ... 2
log 4 ... 4
1
log 1 4 ...
log 2 ...
log10 0,1 ...
log 2 0,25 ...
4
2
Rispondi ora alle seguenti domande:
1) Perché la base del logaritmo non può essere 0?
2) Perché la base non può essere negativa?
3) Perché non esiste il logaritmo di un numero negativo?
4) Qual è il logaritmo di 1? Perché qualunque sia la base del logaritmo, il logaritmo di uno ha
sempre lo stesso valore?
Proprietà dei logaritmi
Il logaritmo di un numero gode di alcune proprietà fondamentali (per la cui dimostrazione puoi
consultare il libro di testo):
Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli numeri:
log ab log a log b
Il logaritmo della divisione tra due numeri è uguale alla differenza dei logaritmi dei singoli numeri:
a
log log a log b
b
Il logaritmo della potenza ac è pari a c volte il logaritmo di a:
log a c c log a
Storicamente, i logaritmi si rivelarono molto utili per eseguire difficili calcoli in un’epoca in cui non
esistevano le calcolatrici. Prime tavole dei logaritmi (Napier, 1614). Immaginiamo di dover
eseguire il calcolo 123,4 × 87,65: consultiamo le tavole dei logaritmi:
x
…
87,65
…
123,4
…
log(x)
…
Nelle tavole dei logaritmi in realtà ci sono solo i numeri minori di 1: ci sono ,1234 e ,8765, Come si
calcola il logaritmo di 123,4 e di 87,65 conoscendo i logaritmi di ,1234 e di ,8765?
Un esempio importante: M = C(1+r)n
R = 0,02 (=2%) 0,015 (=1,5%) ecc.
M,C,r,n sono le variabili: se ne conosco 3 posso trovare la quarta. Questo è sempre possibile con le
quattro operazioni e la radice tranne quando l’incognita è n:
n = log(M/C)/log(1+r)
Altro esempio: noi sappiamo risolvere l’equazione esponenziale: 3x = 81 perché 81 = 34, quindi x =
4 ma se fosse da risolvere 3x = 10? È ovvio che 2 < x < 3, probabilmente x è più vicino a 2 che a 3
ma per calcolarlo esattamente devo ricorrere ai logaritmi:
x = log(10)/log(3), come si vede da: 3x = 10 log(3x) = log(10) x log(3) = log(10)
