esame del 22-6-2009

Esame di Statistica (nuova attivazione) – 22 giugno 2009
A
docenti: J. Mortera/P. Vicard
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_________________________
LEGGERE PRIMA DI INIZIARE LA PROVA
 Al termine di ogni esercizio è lasciato lo spazio per scrivere la soluzione. La soluzione non
sarà ritenuta valida se non è corredata degli opportuni passaggi.
 Verrà accettato in consegna solo il presente plico. Per lo svolgimento potete usare anche il
retro dei fogli.
 La prova si ritiene superata se ottenete la sufficienza sia nella parte pratica che in quella
teorica
 Le risposte alle domande a risposta multipla devono essere giustificate, altrimenti la risposta
non è valida.
 Le domande in corsivo hanno carattere teorico.
Aspettare l’autorizzazione dei docenti per iniziare il compito
1. [7] Nella Facoltà di Economia vengono aperte le iscrizioni all’esame di Statistica. Di seguito
trovate il numero di iscritti (Y) nei primi sei giorni (X) di iscrizioni.
Giorni (X)
1
2
3
4
5
6
Numero di iscritti (Y)
12
10
10
8
5
2
a) Calcolare il coefficiente di correlazione tra le variabili X e Y.
b) Determinare la retta di regressione per esprimere il numero degli iscritti (Y) in funzione del giorno
(X).
c) Valutare la bontà di adattamento, calcolare la devianza residua e quella spiegata dalla retta di
regressione. Commentare.
2.[5] Il “tempo di reazione” di un automobilista, definito come l'intervallo di tempo che impiega dal
momento in cui si illuminano le luci di frenata di un veicolo che lo precede al momento in cui
l’automobilista agisce sui freni, può essere descritto da una variabile casuale normale con media 1,25 secondi
e deviazione standard pari a 0,46 secondi.
Si calcoli:
a) la probabilità che il “tempo di reazione” sia compreso tra 1 e 2 secondi;
b) se il “tempo di reazione” supera 2 secondi allora si causa sicuramente un incidente.
Si determini la probabilità che su 10 assicurati almeno uno abbia un incidente.
3. [4] Illustrare le principali proprietà della distribuzione normale e motivare la rilevanza della
distribuzione normale nell’inferenza statistica.
4. [4] Dato un campione casuale di ampiezza n, X1, X2, . . ., Xn
a) definire la proprietà di non distorsione di uno stimatore
b) definire l’errore quadratico medio di uno stimatore
5. [4] Siano X e Y due variabili statistiche con X = 3, Y = 6 e Var(X)=1 e Var(Y)=2. Sia W=3X-2Y-20
a) Calcolare la media e la varianza di W quando X e Y sono indipendenti
b) Supponendo che  XY  0.3 , calcolare la media e la varianza di W.
6. [6] Un’indagine su un campione di 20 comuni governati dall’alleanza A mostra che essi spendono in
media una somma di 170 Euro annui per ciascun contribuente in spese di amministrazione, con una
deviazione standard campionaria di 25 Euro mentre una simile indagine su un campione di 15 comuni
governati dall’alleanza B trova una media di 156 Euro con deviazione standard campionaria di 30 Euro.
Nell’ipotesi di distribuzione normale della spesa:
a) Costruire un intervallo di confidenza per la differenza tra le spese medie delle due amministrazioni
comunali al livello di confidenza 99%.
b) Verificare l’ipotesi che l’alleanza A spende in media significativamente più dell’alleanza B? (Usare un
livello =5%)
N.B. si supponga che le deviazioni standard campionarie fornite siano quelle non distorte.