Problema
In un sistema di riferimento cartesiano Oxy sono date le due rette
r ed s di equazione, rispettivamente, y=1 e y=-k, dove k è un
parametro reale positivo.
a)Indicati con P il punto di r di ascissa
di ascissa k/√3, determinare
triangolo OPQ.
1/√3 e Q il punto di s
la circonferenza circoscritta al
b)Scrivere in funzione di k:
le coordinate del centro C
il valore del raggio r
l’equazione di
le coordinate del punto S, diverso da O in cui incontra
l’asse x e del punto R diverso da P in cui incontra la
retta r
c) Verificare che per qualunque valore
di k :
il quadrilatero OPRQ è un trapezio isoscele
il triangolo PQS è equilatero
d)Determinare la posizione limite , al tendere di k a 0 :
del centro C
della circonferenza
SOLUZIONE
a)-b)Siano
Le rette OP e OQ hanno equazione
y= √3 x
y=- √3 x
rispettivamente
Possiamo determinare le coordinate di C e il valore di r prima di scrivere l’equazione di , infatti C
è il punto di incontro degli assi dei segmenti OP e OQ, mentre il raggio corrisponde alla distanza
CO
Asse del segmento OP
Asse del segmento OQ
Il punto C si determina risolvendo il sistema
Equazione della circonferenza
Raggio r=
=
dopo opportune semplificazioni
,0)
c)
QUADRILATERO OPRQ
Risoluzione analitica:
Si trova la pendenza della retta RQ
Qualunque sia il valore di k le rette OP e QR sono parallele quindi il quadrilatero OPRQ è un
trapezio, isoscele , in quanto inscritto in un cerchio.
Considerazioni geometriche:
I coefficienti angolari delle due rette OP e OQ sono rispettivamente √3 e -√3, quindi entrambe
formano con l’asse x angoli di 60° e di conseguenza sarà 120° l’ampiezza dell’angolo
Per le proprietà delle rette parallele, anche
avrà ampiezza 120°
Gli altri due angoli interni avranno ampiezza 60° per le proprietà dei quadrilateri inscritti in un
cerchio , in cui gli angoli opposti sono supplementari
Si ritrova quindi che il quadrilatero è un trapezio poiché i lati OP e QR sono tra loro paralleli
TRIANGOLO PQS
Risoluzione
analitica:
Troviamo la lunghezza dei tre lati
ovvero
Uguale a
Uguale a
I tre lati sono congruenti qualunque sia il valore di k.
Considerazioni geometriche:
L’angolo in P ha ampiezza 60° in quanto insiste sull’arco QS, come l’angolo QOS
Anche l’angolo in S ha ampiezza 60° in quanto supplementare dell’angolo
(120°)
Anche il terzo angolo avrà ampiezza 60°, quindi il triangolo PQS è equilatero
d) Al tendere di k a 0 il punto Q tende a sovrapporsi al punto O e l’asse del
segmento OQ diventa al perpendicolare in O alla retta di equazione y=- √3 x ,
ovvero la retta di equazione x-√3 y=0 .
Il punto C tende
ad assumere la posizione
La circonferenza deve ora passare per P e per i due punti coincidenti
risulta tangente nell’origine alla retta di equazione y=- √3 x
, ovvero
La sua equazione diventa
Dove
nell’origine.
→ y=- √3 x
rappresenta proprio l’equazione della tangente
