SCHEDA NUMERO 13
Liceo scientifico Da Vinci
Classe seconda G/H
OMOTETIE E SIMILITUDINI con GeoGebra
Ricorderai certamente che le isometrie sono le trasformazioni geometriche che corrispondono, in
senso astratto, ai movimenti rigidi; le omotetie, invece, sono le trasformazioni che corrispondono
in senso astratto, agli ingrandimenti e alle riduzioni delle figure a partire da un “centro di
proiezione”. Vediamo ora degli esempi.
Attività 1: Dato un qualunque triangolo, ABC, determiniamo la figura ingrandita del doppio di tale
triangolo.
Disegna un triangolo ABC e sia P un qualunque punto del piano che sarà il centro di
proiezione (inizialmente, per facilitare la costruzione, fissalo fuori dal triangolo).
Disegna ora tre semirette uscenti da P e passanti per i punti A, B e C.
Individua sulle semirette i punti A', B' e C' tali che PA' = 2PA, PB' = 2PB …
(per individuare tali punti puoi tracciare delle circonferenze).
Disegna il triangolo che ha come vertici A', B' e C', misura i suoi lati e quelli del triangolo
iniziale.
Osservazione: la trasformazione appena applicata al triangolo ABC per ottenere il triangolo A’B’C’
è detta omotetia di centro P e rapporto 2.
Attività 2: Dato un qualunque triangolo, costruisci un secondo triangolo i cui lati siano in
proporzione (con rapporto k) a quelli del primo.
Disegna un triangolo ABC e sia P un qualunque punto del piano.
Inserisci nella barra sottostante la scrittura k = 2.3.
Visualizza la vista algebra: compare l‟elenco degli oggetti inseriti nella vista grafica; fai un
clic sul pallino a fianco della k: a destra compare un segmento con un punto. Esso
rappresenta lo slider di k, ovvero muovendo il punto lungo il segmento il valore del
parametro k varia (si possono impostare intervallo di variazione e incremento attraverso
proprietà del punto).
Ora scegli il comando Omotetia e seleziona nell‟ordine il triangolo, il punto P e poi digita k
nella casella di testo che compare.
Ottieni un secondo triangolo A'B'C': esso è il trasformato di ABC nell’omotetia di centro P e
rapporto k.
Modifica lo slider, vedi come varia l'immagine di ABC, cioè il triangolo A'B'C', al variare
del rapporto di omotetia, cioè k. Modifica la posizione di P e osserva come variano i
triangoli.
Cosa succede se k = 1? …..............................................................................................................
Cosa succede se k = -1? ….............................................................................................................
Cosa succede se k = 2? …...............................................................................................................
Osserva ora i due triangoli e rispondi alle seguenti domande:
Del triangolo ABC possiamo osservare che se esso, percorso da A a B a C, risulta
percorso in senso orario allora A'B'C' percorso da A' a B' a C' risulta percorso in senso
…............. Possiamo quindi affermare che un'omotetia conserva l'orientamento delle
figure?...................................................................................................................................
E' vero che le omotetie conservano le direzioni ovvero una retta viene trasformata in una
retta ad essa parallela?….....................................................................................................
E l'allineamento dei punti è conservato?..........................................................................
E l'ampiezza degli angoli? …..............................................................................................
E cosa possiamo dire delle lunghezze dei segmenti?..........................................................
Che cose viene conservato invece in riferimento ad esse?...................................................
Attività 3: Dato un triangolo ABC, applichiamo ad esso la composizione di un'omotetia con una
isometria.
Traccia un triangolo ABC, un punto P e, utilizzando questa volta l'apposito comando,
applica ad esso un'omotetia di centro P e rapporto 1,5 (si scrive 1.5).
Ottenuto il nuovo triangolo A'B'C' applica ad esso una rotazione di centro C' e angolo 40°
ottenendo un triangolo A”B”C”.
Conclusioni:
Possiamo dire che al triangolo ABC è stata applicata una trasformazione che è data dalla
composizione di un'omotetia e di un'isometria. Tale trasformazione viene chiamata
similitudine.
Poiché sia le isometrie, sia le omotetie conservano le ampiezze degli angoli, anche le
similitudini conservano le ampiezze degli angoli.
Poiché una similitudine è la composizione di un'isometria ( che lascia le lunghezze
invariate) e di un'omotetia ( che varia le lunghezze di un fattore costante), l'effetto delle
similitudini sulle lunghezze è quello di una variazione secondo un fattore costante, detto
rapporto di similitudine. Immediata conseguenza di questa osservazione è che le
similitudini, come le omotetie, conservano i rapporti fra i segmenti.
