Esercitazione 4. Logaritmi (21 Ottobre 2015) Angelica Malaspina Università della Basilicata, Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia Dati y > 0 e a > 0, a 6= 1, esiste un unico x ∈ R tale che ax = y chiamato logaritmo di base a di y. ax = y ⇔ x = loga y. Proprietà. Per ogni x, y > 0 e a > 0, a 6= 1 • loga (x · y) = loga x + loga y; • loga (x/y) = loga x − loga y; • loga xα = α loga x, ∀ α ∈ R; • loga a = 1; • loga 1 = 0; • aloga x = x; • loga ax = x; • se y < x ⇒ • loga x = logb x , logb a loga y < loga x se a > 0, loga y > loga x se 0 < a < 1; ∀ a, b > 0, a, b 6= 1, (formula del cambio di base). 1 Notazione. log x = log10 x (logaritmo in base 10), ln x = loge x (logaritmo in base il numero di Nepero e = 2.7188281 . . . detto logaritmo naturale). Esercizi. 1. Calcolare: log 1; log 10; log 100; log 1000; log 10−12 ; log2 8; log3 27; log2 256; log2 (1/16); log2 /4/5); log 256; log2 (1/1000); log4 (1/4). 2. Determinare i numeri x ∈ R tali che ln(x + 100) < 11. 3. Determinare i numeri x ∈ R tali che 2 ln(x + 1) > ln(x2 + x) + ln 2. 4. Determinare i numeri x ∈ R tali che log3 (4 − x) < −1. 5. Determinare i numeri x ∈ R tali che log4 (3x + 2) − log4 (x − 3) > 0. Esercizi per casa. 1. Calcolare: (a) log5 15 + log2 8; (b) log5 25 + log2 (1/2); (c) ln e4 − log2 16; (d) ln(1/e) − log3 27. 2. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: (a) ln(x + 8) + ln x = 9; (b) log(x2 − 5x + 6) = 0; √ (c) ln x + 2 ≤ 2; √ (d) log2 x + 2 ≤ 2; (e) ln(x2 + x) > 1; (f) ln(x − 5) + ln(3 − x) ≥ ln 9; (g) log(2x2 − x) > log(x2 + x + 1); √ (h) log2 (1 − x − 2). 2