Esercitazione sui logaritmi

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Esercitazione 4. Logaritmi
(21 Ottobre 2015)
Angelica Malaspina
Università della Basilicata, Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia
Dati y > 0 e a > 0, a 6= 1, esiste un unico x ∈ R tale che ax = y chiamato
logaritmo di base a di y.
ax = y
⇔
x = loga y.
Proprietà. Per ogni x, y > 0 e a > 0, a 6= 1
• loga (x · y) = loga x + loga y;
• loga (x/y) = loga x − loga y;
• loga xα = α loga x,
∀ α ∈ R;
• loga a = 1;
• loga 1 = 0;
• aloga x = x;
• loga ax = x;
• se y < x ⇒
• loga x =
logb x
,
logb a
loga y < loga x se a > 0,
loga y > loga x se 0 < a < 1;
∀ a, b > 0, a, b 6= 1, (formula del cambio di base).
1
Notazione.
log x = log10 x (logaritmo in base 10),
ln x = loge x (logaritmo in base il numero di Nepero e = 2.7188281 . . . detto
logaritmo naturale).
Esercizi.
1. Calcolare:
log 1; log 10; log 100; log 1000; log 10−12 ; log2 8; log3 27; log2 256;
log2 (1/16); log2 /4/5); log 256; log2 (1/1000); log4 (1/4).
2. Determinare i numeri x ∈ R tali che ln(x + 100) < 11.
3. Determinare i numeri x ∈ R tali che 2 ln(x + 1) > ln(x2 + x) + ln 2.
4. Determinare i numeri x ∈ R tali che log3 (4 − x) < −1.
5. Determinare i numeri x ∈ R tali che log4 (3x + 2) − log4 (x − 3) > 0.
Esercizi per casa.
1. Calcolare:
(a) log5 15 + log2 8;
(b) log5 25 + log2 (1/2);
(c) ln e4 − log2 16;
(d) ln(1/e) − log3 27.
2. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:
(a) ln(x + 8) + ln x = 9;
(b) log(x2 − 5x + 6) = 0;
√
(c) ln x + 2 ≤ 2;
√
(d) log2 x + 2 ≤ 2;
(e) ln(x2 + x) > 1;
(f) ln(x − 5) + ln(3 − x) ≥ ln 9;
(g) log(2x2 − x) > log(x2 + x + 1);
√
(h) log2 (1 − x − 2).
2
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